Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Госы 5к Надя / ДУ / лекция 1

.doc
Скачиваний:
13
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
264.19 Кб
Скачать

Лекция №1.

Тема: Дифференциальные уравнения первого порядка.

Вопросы:

1. Геометрические и физические задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения.

2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений: дифференциальное уравнение, порядок ДУ, решение ДУ, интегральная кривая, начальные данные.

3. ДУ первого порядка. Нормальная форма записи. Понятия поля направлений и изоклин. Задача Коши и теорема Пикара. Общее, частное и особое решения ДУ.

В различных областях науки и техники часто встречаются задачи, для решения которых требуется решить одно или несколько уравнений, содержащих производные искомых функций. Рассмотрим несколько задач, приводящих к таким уравнениям.

Задача 1. На плоскости хОу найти кривую, проходящую через точку , у которой угловой коэффициент касательной, проведенной в любой точке кривой, равен удвоенной абсциссе точки касания.

Решение. Пусть уравнение искомой кривой. По условию задачи в каждой точкесуществует касательная к этой кривой, угловой коэффициент которой, т.е.. Таким образом, имеем

. (1)

Это уравнение содержит производную искомой функции. Уравнения такого типа, которые содержат производные искомой функции, называют дифференциальными уравнениями. Таким образом, наша задача свелась к нахождению функции, которая удовлетворяла бы дифференциальному уравнению (1), т.е. обращала бы это уравнение в тождество. Такая функция называется решением дифференциального уравнения, а процесс нахождения решений – интегрированием этого уравнения.

Из уравнения (1) следует, что функцияу есть первообразная функции . Следовательно, , или

, (2)

где С – произвольная постоянная.

Из формулы (2) следует, что дифференциальное уравнение (1) имеет бесконечное множество решений, т.е. уравнению (1) удовлетворяет не одна кривая, а бесконечное множество кривых - парабол. Чтобы из этого множества кривых выбрать нужную нам кривую, нужно воспользоваться тем, что искомая кривая проходит через точку . Следовательно, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (2). Поэтому, т.е.. Значит, искомая кривая

. (3)

Искомая кривая является графиком решения дифференциального уравнения (1). Она называетсяинтегральной кривой этого уравнения.

Таким образом, интегральными кривыми уравнения (1) будут парабола (3) и все параболы (2), получающиеся из нее сдвигом вдоль оси ОУ на С единиц. Все эти параболы обладают одним общим свойством, выраженным дифференциальным уравнением (1): угловой коэффициент касательной равен удвоенной абсциссе точки касания.

Задача 2. Найти закон движения свободно падающего в пустоте тела, если пройденный путь начинает отсчитываться от момента времени и начальная скорость падания равна 0.

Решение. Скорость в этом случае выражается формулой . Как известно, скорость прямолинейного движения равна производной от пути по времени. Поэтому

. (4)

Равенство (4) есть дифференциальное уравнение движения рассматриваемого тела. Оно задает закон движения в дифференциальной форме. Интегрируя уравнение (4), найдем интересующий нас закон движения в конечной форме.

Из уравнения (4) следует, что функция является первообразной для функции. Следовательно, или

. (5)

Выделим интересующее нас решение, в котором

при . (6)

Для этого положим в формуле (5) ,. Получим , откуда , следовательно, искомым решением (движением) будет

. (7)

Формула (7) дает искомый закон движения тела. Других движений, определяемых дифференциальным уравнением (4) и условием (6), нет.

Условие (6) называется начальным условием, а числа и-начальными данными решения (движения).

В рассмотренных двух задачах мы приходим к дифференциальному уравнению вида . Это уравнение является простейшим дифференциальным уравнением. Однако в большинстве случаев естественные и технические процессы описываются более общими и сложными дифференциальными уравнениями. Дадим теперь определение дифференциального уравнения и связанных с ним общих понятий.

Дифференциальное уравнение – это соотношение, связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию и ее производные до некоторого порядка

. (8)

Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком уравнения. Оба уравнения, рассмотренные нами в задачах 1 и 2, являются уравнениями первого порядка. Уравнения

, ,

являются соответственно уравнениями второго, третьего и четвертого порядков.

В теории дифференциальных уравнений изучаются и такие уравнения, которые содержат несколько независимых переменных, искомую функцию и частные производные от искомой функции по независимым переменным, например ,.

Такие уравнения называются уравнениями с частными производными. В отличие от них уравнения, в которых искомая функция является функцией только от одной независимой переменной, называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Мы будем рассматривать главным образом уравнения, разрешенные относительно старшей производной, т.е. уравнения вида

. (9)

Относительно такого уравнения будем говорить, что оно задано в нормальной форме. Например, нормальной формой уравнения

будет .

Всякая функция , определенная и непрерывная на некотором множествеХ вместе со своими производными до порядка, равного порядку данного дифференциального уравнения, и обращающая это уравнение в тождество, справедливое при всех значениях х из этого множества, называется решением этого дифференциального уравнения на множестве Х. Так, функция ,будет решением уравнения (8) на множествеХ, если ,. Иногда решение получают в неявном видеили в параметрической форме,(t - параметр).

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Часто ради краткости интегральную кривую называют решением.

Рассмотрим следующий пример.

Пример 1. Функция

, (*)

является решением уравнения

(**)

при (и во всяком конечном интервале), так как

, .

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Согласно определению, данному выше, уравнение первого порядка имеет следующий вид:

. (10)

Будем рассматривать уравнения первого порядка в нормальной форме, т.е. разрешенные относительно производной от искомой функции:

, (11)

где функция определена и непрерывна в некоторой областиG плоскости . Напомним, что областью называется непустое множествоG точек, обладающее следующими свойствами:

  1. любая точка G – внутренняя, т.е. она имеет окрестность, целиком принадлежащую G;

  2. множество G связно, т.е. любые две его точки можно соединить ломаной, целиком лежащей внутри G.

Установим связь между уравнением (11) и его интегральными кривыми. Пусть

(12)

есть интегральная кривая этого уравнения, проходящая через точку . Проведем касательную к интегральной кривой (12) в точкеМ и обозначим через  угол, образованный касательной МТ с положительным направлением оси ОХ. Тогда , но, поэтому.

Таким образом, если через точку проходит интегральная кривая (12), то наклон касательной к ней в этой точке определяется формулой

, (13)

так что наклон касательной к интегральной кривой определен заранее самим дифференциальным уравнением.

Если в каждой точке области G задано значение некоторой величины, то говорят, что в области G задано поле этой величины.

Наклоны касательных можно указать, не находя интегральных кривых. Для этого построим в каждой точке М области G отрезок (для определенности – единичной длины) с центром в точке М, составляющий с положительным направлением оси ОХ угол , тангенс которого определяется формулой (13). Получим так называемое поле направлений, определяемое уравнением (11). Всякая интегральная кривая этого уравнения обладает тем свойством, что направление касательной в каждой ее точке совпадает с направлением поля, определяемым уравнением (11) в этой точке.

Направление поля в точке задается функцией, где. При построении поля направлений, заданного формулой, удобно использовать так называемыеизоклины, т.е. линии, вдоль которых поле имеет одно и то же направление. Изоклины поля задаются равенствами .

Таким образом, дифференциальное уравнение (11) определяет поле направлений.

Тройка чисел определяет направление прямой, проходящей через точку. Совокупность отрезков этих прямых дает геометрическую картину поля направлений.

Задача интегрирования дифференциального уравнения (11) может быть истолкована следующим образом: найти такую кривую, чтобы касательная к ней в каждой точке имела направление, совпадающее с направлением поля в этой точке.

Пример. Построим поле направлений, определяемое уравнением .

Решение. Изоклины этого поля направлений задаются равенством , т.е., следовательно, являются прямыми, проходящими через начало координат (сама точкавыбрасывается из этих прямых, так как при,дробьне имеет числового значения). Для прямойугловой коэффициент поля равенС, т.е. совпадает с угловым коэффициентом изоклины. Поэтому поле имеет вид, изображенный на рисунке.

Построим поле направлений для уравнения.

Изоклины задаются равенством , т.е. являются окружностями с центром в начале координат. Приполучаем окружность нулевого радиуса, т.е. точку. В этой точкеи поэтому поле параллельно оси абсцисс. На окружностирадиуса 1 имеем:, и поэтому поле образует уголс положительным направлением оси абсцисс. Изобразим это поле направлений и его изоклины.

Во многих задачах, которые приводят к дифференциальным уравнениям первого порядка, требуется найти решение, принимающее заданное значение при заданном значении независимой переменной. Такая задача называется начальной задачей или задачей Коши.

В общем виде для уравнения первого порядка в нормальной форме (11) задача Коши ставится так: требуется найти решение уравнения (11), удовлетворяющее начальному условию (условию Коши)при(). При этом предполагается, что правая часть уравнения (11) определена при,.

Геометрически речь идет о нахождении интегральной кривой, проходящей через заданную точку .

Для теории дифференциальных уравнений большое значение имеет вопрос о существовании решения задачи Коши и о единственности этого решения.

Теорема Пикара (существования и единственности решения). Пусть дано дифференциальное уравнение (11), где функция определена и непрерывна в некоторой окрестности начальной точкии имеет непрерывную в этой окрестности частную производную, то уравнение (11) имеет единственное решение, определенное в некоторой окрестности точкии удовлетворяющее начальному условию.

Теорема дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для уравнения (11), но эти условия не являются необходимыми.

Пусть G некоторая область на плоскости , через каждую точку которой проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (11). Функция, определенная в некоторой области изменения переменныхх и С и непрерывно дифференцируемая относительно х, называется общим решением уравнения (11) в области G, если она удовлетворяет двум условиям:

1. равенство разрешимо в областиG относительно произвольной постоянной: ,

2. функция является решением уравнения (11) при всех значениях произвольной постоянной, гдепроизвольная точка областиG.

Каждое решение, получаемое из общего подстановкой вместо С конкретного числового значения, называется частным решением уравнения. Особым решением называется решение , в каждой точке которого нарушается единственность задачи Коши.

Пример. Рассмотрим уравнение

. (14)

Легко проверить, что функция , гдеявляется общим решением этого уравнения в верхней полуплоскости. Действительно,. Всякое решение вида,является частным решением. В частности, приполучаем частное решение,. Очевидно, что правая часть уравнения (16) непрерывна во всей области определения и ее частная производная поу обращается в бесконечность только при, т.е. в точках осиОХ. Следовательно, только функция может быть особым решением уравнения (14). Чтобы эта функция действительно была особым решением уравнения (14), нужно, во-первых, чтобы она была решением уравнения (14) и, во-вторых, чтобы в каждой точке этого решения нарушалась единственность решения задачи Коши. Оба эти условия выполняются. Следовательно, функцияявляется особым решением уравнения (14).

6

Соседние файлы в папке ДУ