Ведение в социально - экономическую статистику. Учебник. Новосибирск, 2004. 739 с

8.6. Упражнения и задачи

283

Таблица 8.3

N	ε	εz1	εz2	z10	z20	z1	z2	X
1	26.19	1.96	37.94	13.9	364	15.86	401.94	92.67
2	6.94	–5.94	3.57	15.6	390	9.66	393.57	73.10
3	5.55	–13.85	–18.78	18.8	411	4.95	392.22	68.88
4	14.00	24.48	14.49	27.4	459	51.88	473.49	69.05
5	0.89	23.91	51.48	24.5	506	48.41	557.48	63.79
6	46.61	–32.80	10.99	23.7	515	–9.10	525.99	111.36
7	–20.52	13.27	11.07	26.9	517	40.17	528.07	39.87
8	10.15	–16.17	18.86	22.2	538	6.03	556.86	78.85
9	–13.95	–28.22	–18.57	26.8	541	–1.42	522.43	48.50
10	14.94	20.64	–10.89	27.7	551	48.34	540.11	76.92
11	19.38	–36.99	–0.91	19.3	576	–17.69	575.09	95.21
12	5.72	–32.44	–12.71	29.1	604	–3.34	591.29	69.97
13	1.08	25.91	7.70	25.3	610	51.21	617.70	71.17
14	11.07	10.90	9.24	25.3	616	36.20	625.24	81.64
15	5.81	–42.77	8.25	31.1	636	–11.67	644.25	69.80
16	27.21	25.63	–29.14	31.2	645	56.83	615.86	91.78
17	–11.63	–13.07	13.20	33.3	651	20.23	664.20	50.46
18	–4.24	10.27	–37.62	29.5	653	39.77	615.38	63.37
19	46.56	44.81	33.93	30.3	682	75.11	715.93	115.36
20	–7.57	–40.10	–6.34	24.7	697	–15.40	690.66	70.32

284	Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

3.Рассматривается регрессионная модель X = Zα + ε. Пусть α = AX — это любая несмещенная оценка параметра α. Полагая, что E (εε ) = σ2Ω, покажите, что матрица ковариации α превышает матрицу ковариации αомнк = (Z Ω−1Z)−1Z Ω−1X на какую-то положительно полуопределенную матрицу.

4. Докажите, что σ2	=	(x − zα) Ω−1 (x − zα)	есть оценка σ2 .
омнк		N − n − 1

5.Какое преобразование матрицы наблюдений перед оценкой регрессии полезно сделать, если среднеквадратические отклонения ошибок регрессии пропорциональны какому-либо фактору?

6.Оценивается регрессия по 10 наблюдениям. Известно, что дисперсия ошибок для первых 5 наблюдений в два раза больше, чем дисперсия ошибок остальных 5 наблюдений. Опишите процедуру оценивания этой регрессии.

7.Рассмотрите регрессию xt = α1t + β + εt , t = 1, . . . , 5, где

E(εt) = 0, E(ε2t ) = σ2t2, E(εtεs) = 0, при t = s. Пусть ε = (ε1, ε2, ε3, ε4 , ε5) и E(εε ) = σ2Ω.

–определите Ω;

–найдите Ω−1 ;

– найдите матрицу ковариации МНК-оценки параметра α =	α1 ;
	β
– найдите матрицу ковариации ОМНК-оценки параметра α =	α1 .
	β

8.Рассмотрите регрессию xt = α1t + εt , t = 1, . . . , 5,

где E(εt) = 0, E(ε2t ) = σ2t2 , E(εtεs) = 0, t = s. Если x = (6, 4, 9, 8, 7) :

–определите оценку МНК для α1 и ее дисперсию;

–определите оценку ОМНК для α1 и ее дисперсию;

–сравните эти оценки друг с другом и сделайте вывод.

9.Рассматривается модель X = Zα + ε, где εi — нормально и независимо распределенная случайная величина с E (εi) = 0 и E ε2i = σi2 = eyiγ .

8.6. Упражнения и задачи								285
	4		2	1		2	1
	8		5	1		3	1
В предположении, что X =	6	, Z =	2	1	, Y =	1	1	,
	2		1	1		0	1
	9		10	1		2	1

–найдите МНК-оценки a = (Z Z)−1 ZX ;

–найдите ОМНК-оценки aомнк = Z Ω−1Z −1 Z Ω−1X ;

–постройте два 95%-х доверительных интервала для α1 : один неправильный, основанный на результатах МНК, а другой правильный, основанный на результатах ОМНК;

–проверьте гипотезу γ1 = 0.

10.Параметры трехфакторного уравнения регрессии оценены по 20 наблюдениям. S1 и S2 — остаточные дисперсии по первой и второй половинам временного ряда. В каком случае гипотезы о гомоскедастичности следует отвергнуть?

11.Приведите примеры графиков зависимостей ошибки от времени в авторегресионной схеме первого порядка для случаев, когда модуль коэффициента авторегрессии превышает единицу. Что можно сказать об автокорреляции ошибок, если этот коэффициент равен нулю?

12.Ошибка в регрессии задана процессом εi = 0.6εi−1 + ηi, и η — нор-

мально распределенная случайная величина с E(ηi) = 0, E(ηi2) = ση2 и i = 1, . . . , 5. Как выглядит матрица преобразования в пространстве переменных для ОМНК?

13. Проверьте, что D D = Ω−1, где

		√
			1 − r2
	D =		−r
		0
		.
		.
		.
		0

0	0	· · ·			0
1	0	· · ·			0
−r	1	· · ·			0	,
.	. .		.		.
.	.			.
.	.			. .
0	0	· · ·			1

286	Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели
					1	r	r2	· · ·		rN −1
	Ω =		1		r	1	r	· · ·		rN −2
					r2	r	1	· · ·		rN −3 .
			− r	2
	1				.	.	.			.
					.	.	.	..	.	.
					.	.	.			.
					rN −1	rN −2	rN −3 · · ·			1

14.Найдите D0D0 , где D0 — это матрица размерности (N −1)×N , полученная из матрицы D путем удаления первой строки, и сравните ее с матрицей Ω−1.

15.Какое преобразование матрицы наблюдений перед оценкой регрессии полезно сделать, если ошибки в каждом наблюдении имеют одинаковую дисперсию и коррелированы с ошибками в предыдущем наблюдении?

16.Почему при использовании критерия Дарбина—Уотсона требуется знать два критических значения для расчетной статистики?

17.Фактическое значение dc статистики Дарбина—Уотсона равно 0.5. Что это означает? Какое преобразование следует применить к этой модели (запишите формулу)?

18.В регрессионной модели X = Zα + ε существует автокорреляции ошибок первого порядка и ρ = 0.6. Предположим, что

	4		2	1
	8		5	1
X =	6	, Z =	2	1	,
	2		1	1
	9		10	1

–найдите преобразованные наблюдения Dx и Dz;

–найдите ОМНК-оценки параметра α;

– найдите фактическое значение dc статистики Дарбина—Уотсона по остаткам после применения ОМНК.

8.6. Упражнения и задачи				287
19. Положим, построили регрессию для N = 20 и n = 4 и нашли оценку
	N
	eiei−1
z =	i=2	= 0.5, e e = 40, e2	= 1, e2	= 4.
	N	1	N

e2i

i=1

Найдите фактическое значение dc статистики Дарбина—Уотсона и с ее помощью проведите тест на автокорреляцию.

20.На основе годовых данных 1959–1983 годов были оценены следующие функции спроса на продовольственные товары.

ln Qt	=	2.83	−	0.47 ln P Ft	+	0.64 ln Yt,
		(6.69)		(−3.94)		(24.48)
R2 = 0.987,			DW = dc = 0.627,
ln Qt	=	1.87	−	0.36 ln P Ft	+	0.38 ln Yt + 0.44Qt−1 ,

(3.24)	(−2.79)	(3.20)	(24.10)
R2 = 0.990,	DW = dc = 1.65,
где Q — спрос на продукты питания,		P F — цены на продукты питания,
Y — доход, в скобках приведены значения t-статистики.

Проверьте каждое уравнение на наличие автокорреляции первого порядка

и дайте короткий комментарий результатов.

21.Пусть остатки в регрессии xi = α + βzi + εi равны (1, 2, 0, −1, −2) . Опишите первый шаг метода Кочрена—Оркарта.

22.Денежная масса измеряется с ошибкой. Как смещен коэффициент зависимости динамики цен от динамики денежной массы относительно его истинного значения?

23.Пусть в парной линейной регрессии ошибки зависимой переменной и фактора независимы и имеют одинаковую дисперсию. Запишите задачу для нахождения оценок коэффициентов данной регрессии (с объяснением обозначений).

Рекомендуемая литература

1. Айвазян С.А. Основы эконометрики. Т.2. — М.: Юнити, 2001. (Гл. 2)

288	Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

2.Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. — М.: «Финансы и статистика», 1981. (Гл. 1).

3.Джонстон Дж. Эконометрические методы. — М.: «Статистика», 1980. (Гл. 7, 8).

4.Доугерти К. Введение в эконометрику. — М.: «Инфра-М», 1997. (Гл. 7).

5.Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х книгах. Кн.1 — М.: «Финансы и статистика», 1986. (Гл. 2, 3).

6.Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.: «Статистика», 1977. Вып. 2. (Гл. 15).

7.Лизер С. Эконометрические методы и задачи. — М.: «Статистика», 1971. (Гл. 2).

8.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика — начальный курс. — М.: Дело, 2000. (Гл. 6, 7, 9).

9.Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 1. — М.: «Статистика», 1975. (Гл. 10).

10.Тинтер Г. Введение в эконометрию. — М.: «Статистика», 1965. (Гл. 6).

11.Baltagi, Badi H. Econometrics, 2nd edition, Springer, 1999. (Ch. 5).

12.Davidson, Russel, Mackinnon, James. Estimation and Inference in Econometrics, N 9, Oxford University Press, 1993. (Ch. 16).

13.William E., Griffiths R., Carter H., George G. Judge Learning and Practicing econometrics, N 9 John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 9, 15, 16).

14.Greene W.H. Econometric Analysis, Prentice-Hall, 2000. (Ch. 9, 12, 13).

15.Judge G.G., Hill R.C., Griffiths W.E., Luthepohl H., Lee T. Introduction to the Theory and Practice of Econometric. John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch 8, 9).

16.Maddala G.S. Introduction to Econometrics, 2nd ed., Prentice Hall, 1992. (Ch. 5, 6, 7).

Глава 9

Целочисленные переменные

врегрессии

9.1.Фиктивные переменные

С помощью фиктивных или псевдопеременных, принимающих дискретные, обычно целые значения, в регрессию включают качественные факторы.

Уточнение обозначений:

Z — N × n-матрица наблюдений за «обычными» независимыми факторами;

α — n-вектор-столбец параметров регрессии при этих факторах;

Z0 = 1N ; β0=β.

В этих обозначениях уравнение регрессии записывается следующим образом:

X = Zα + Z0β0 + ε.

Пусть имеется один качественный фактор, принимающий два значения (например: «мужчина» и «женщина», если речь идет о модели некоторой характеристики отдельных людей, или «годы войны» и «годы мира» — в модели, построенной на временных рядах наблюдений, которые охватывают периоды войны и мира и т.д.). Ставится вопрос о том, влияет ли этот фактор на значение свободного члена регрессии.

290	Глава 9. Целочисленные переменные в регрессии

ZG = {zijG} — N ×2-матрица наблюдений за качественным фактором (матрица фиктивных переменных): ziG1 равен единице, если фактор в i-м наблюдении принимает первое значение, и нулю в противном случае; ziG2 равен единице, если фактор в i-м наблюдении принимает второе значение, и нулю в противном случае.

β1

β =

β2

—двухкомпонентный вектор-столбец параметров при фиктивных переменных. Исходная форма регрессии с фиктивными переменными:

X = Zα + Z0β0 + ZGβ + ε.

Поскольку сумма столбцов матрицы равна Z0 , оценка параметоров непосредственно по этому уравнению невозможна.

Проводится преобразование фиктивных переменных одним из двух способов.

а) В исходной форме регрессии исключается один из столбцов матрицы фиктивных переменных, в данном случае — первый.

¯G — матрица фиктивных переменных без первого столбца;

Z

¯	1	1	0
C =		−1	.
	0		1

Тогда эквивалентная исходной запись уравнения имеет вид:

	0	¯G ¯	β0
			+ ε,
	X = Zα + Z	, Z C
			β

и после умножения матрицы ¯ справа на вектор параметров получается за-

C

пись уравнения регресии, в которой отсутствует линейная зависимость между факторами-регрессорами:

				0	¯0	¯G ¯
				X = Zα + Z	β	+ Z β + ε,
¯0	= β	0	¯	− β1 .
где β			+ β1, β = β2

После оценки этих параметров можно определить значения исходных параметров β0 и β, предполагая, что сумма параметров при фиктивных переменных

9.1. Фиктивные переменные

291

(в данном случае β1 +β2 ) равна нулю, т.е. влияние качественного фактора приводит к колебаниям вокруг общего уровня свободного члена:

¯	= −β2, β	0	¯0	+ β2.
β2 = β/2, β1			= β

б) Предполагая, что сумма параметров при фиктивных переменных равна нулю, в исходной форме регрессии исключается один из этих параметров, в данном случае — первый.

β — вектор-стобец параметров при фиктивных переменных без первого элемента;

C =	−1
	.
	1

Эквивалентная исходной запись уравнения принимает форму:

X= Zα + Z0β0 + ZGCβ + ε,

ипосле умножения матрицы C слева на матрицу наблюдений за фиктивными переменными получается запись уравнения регрессии, в которой также отсутствует линейная зависимость между регрессорами:

X = Zα + Z0β0 + ZGβ + ε.

После оценки параметров этого уравнения недостающая оценка параметра β определяется из условия β1 = −β2 .

Качественный фактор может принимать больше двух значений. Так, в классической модели выделения сезонных колебаний он принимает 4 значения, в случае поквартальных наблюдений, и 12 значений, если наблюдения проводились по месяцам. Матрица ZG в этой модели имеет размерность, соответственно, N ×4 или

N × 12.

Пусть в общем случае качественный фактор принимает k значений. Тогда:

матрица ZG имеет размерность							N × k, вектор-столбец β — размерность k,
¯G	и	Z	G	— N × (k −				¯	и β — (k − 1);
матрицы Z							1), вектор-столбцы β
k × (k + 1)		матрица			¯	1	1	0
					C =	0 −1k−1		;
								Ik−1
k × (k − 1)		матрица			C =	−1k−1 ;

Ik−1

292

Глава 9. Целочисленные переменные в регрессии

β

0

¯0

1k β = 0, C¯

=

β

, ZGC = ZG .

¯

β

β

Можно показать, что

1

−1k−1

β0

=

β¯0

, или

0 Ik−1 − 1k−1

β

β¯

1 1

(I

1 1k−1) β¯0

=

β0

,

k−1

k−1 − k

β¯

0

Ik−1 − k1 1k−1

β

где

k−1

k−1

—

(k

−

1)

×

(k

−

1)-матрица, состоящая из единиц; и далее по-

1k−1 = 1

1

казать, что результаты оценки параметров уравнения с фиктивными переменными при использовании обоих указанных подходов к устранению линейной зависимости факторов-регрессоров одинаковы.

В дальнейшем для устранения линейной зависимости столбцов значений фиктивных переменных используется способ «б».

После оценки регрессии можно применить t-критерий для проверки значимости влияния качественного фактора на свободный член уравнения.

Если k слишком велико и приближается к N , то на параметры при фиктивных переменных накладываются более жесткие ограничения (чем равенство нулю их суммы). Так, например, если наблюдения проведены в последовательные моменты времени, и вводится качественный фактор «время», принимающий особое значение в каждый момент времени, то ZG = IN , и обычно предполагается, что значение параметра в каждый момент времени (при фиктивной переменной каждого момента времени) больше, чем в предыдущий момент времени на одну и ту же величину. Тогда роль матрицы C играет N -вектор-столбец T , состоящий из чисел натурального ряда, начиная с 1, и β = T βT , где βT — скаляр. Уравнение регрессии с фактором времени имеет вид (эквивалентная исходной форма уравнения при использовании способа «б» исключения линейной зависимости фиктивных переменных):

X = Zα + Z0β0 + T βT + ε.

Метод фиктивных переменных можно использовать для проверки влияния качественного фактора на коэффициент регрессии при любом обычном факторе. Исходная форма уравнения, в которое вводится качественный фактор для параметра α, имеет следующий вид:

X = Zα + Z0β0 + Zj ¯ ZGαj + ε,