Ведение в социально - экономическую статистику. Учебник. Новосибирск, 2004. 739 с

10.5. Упражнения и задачи

343

где эндогенными переменными являются валовой доход (выпуск) y, объем личных потребительских расходов c, объем инвестиций i, чистый экспорт nx и ставка процента r. Экзогенные переменные: g — совокупные государственные расходы и m — предложение денег. Опишите процедуру оценивания модели с помощью двухшагового метода наименьших квадратов.

12.Дано одно уравнение x1t = β12x2t + β13x3t + α11z1t + ε1t модели, состоящей из трех уравнений. В нее входят еще три экзогенные переменные z1 , z2 и z3 . Наблюдения заданы в виде следующих матриц:

Z Z =	20	15	−5		Z X =		2	2	4	5
	15	60	−45	,			0	4	12	−5	,
	−5	−45	−70				0	−2	−12	10
				1	0	0	0
			X X =	0	2	0	0
							.
				0	0	4	0
				0	0	0	5

Получите оценки двухшаговым методом наименьших квадратов для параметров этого уравнения и оцените их стандартные ошибки.

Рекомендуемая литература

1.Айвазян С.А. Основы эконометрики. Т.2. — М.: «Юнити», 2001. (Гл. 4).

2.Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. — М.: «Мир», 1980. (Гл. 10).

3.Джонстон Дж. Эконометрические методы. — М.: «Статистика», 1980. (Гл. 12).

4.Доугерти К. Введение в эконометрику. — М.: «Инфра-М», 1997. (Гл. 11).

5.Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Вып. 2. — М.: «Статистика», 1977. (Гл. 13).

344	Глава 10. Оценка параметров систем уравнений

6.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика — начальный курс. — М.: «Дело», 2000. (Гл. 10).

7.(*) Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 2. — М., 1975. (Гл. 17–20).

8.Тинтер Г. Введение в эконометрию. — М.: «Статистика», 1965. (Гл. 6).

9.Baltagi, Badi H. Econometrics, 2nd edition, Springer, 1999. (Ch. 11).

10.Davidson, Russel, Mackinnon, James. Estimation and Inference in Econometrics, No. 9, Oxford University Press, 1993. (Ch. 7, 18).

11.Greene W.H. Econometric Analysis, Prentice-Hall, 2000. (Ch. 15, 16).

12.Judge G.G., Hill R.C., Griffiths W.E., Luthepohl H., Lee T. Introduction to the Theory and Practice of Econometric. John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 14, 15).

13.Maddala G.S. Introduction to Econometrics, 2nd ed., Prentice Hall, 1992. (Ch. 9).

14.Ruud Paul A. An Introduction to Classical Econometric Theory, Oxford University Press, 2000. (Ch. 26).

15.William E., Griffiths R., Carter H., George G. Judge Learning and Practicing econometrics, N 9 John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 17).

Часть III

Эконометрия — I: Анализ временных рядов

345

Это пустая страница

Глава 11

Основные понятия в анализе временных рядов

11.1. Введение

В каждой сфере экономики встречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии, т.к. они изменяются во времени. С течением времени изменяются цены, экономические условия, режим протекания того или иного производственного процесса. Совокупность измерений подобного рода показателей в течение некоторого периода времени и представляет временной ряд.

Цели анализа временных рядов могут быть различными. Можно, например, стремиться предсказать будущее на основании знаний прошлого, пытаться выяснить механизм, лежащий в основе процесса, и управлять им. Необходимо уметь освобождать временной ряд от компонент, которые затемняют его динамику. Часто требуется сжато представлять характерные особенности ряда.

Временным рядом называют последовательность наблюдений, обычно упорядоченную во времени, хотя возможно упорядочение и по какому-либо другому параметру. Основной чертой, выделяющей анализ временных рядов среди других видов статистического анализа, является существенность порядка, в котором производятся наблюдения.

Различают два вида временных рядов. Измерение некоторых величин (температуры, напряжения и т.д.) производится непрерывно, по крайней мере теоретически. При этом наблюдения можно фиксировать в виде графика. Но даже в том случае,

= (x1, . . . , xT ) ,

348	Глава 11. Основные понятия в анализе временных рядов

когда изучаемые величины регистрируются непрерывно, практически при их обработке используются только те значения, которые соответствуют дискретному множеству моментов времени. Следовательно, если время измеряется непрерывно, временной ряд называется непрерывным, если же время фиксируется дискретно, т.е. через фиксированный интервал времени, то временной ряд дискретен. В дальнейшем мы будем иметь дело только с дискретными временными рядами. Дискретные временные ряды получаются двумя способами:

–выборкой из непрерывных временных рядов через регулярные промежутки времени (например, численность населения, величина собственного капитала фирмы, объем денежной массы, курс акции), — такие временные ряды называются моментными;

–накоплением переменной в течение некоторого периода времени (например, объем производства какого-либо вида продукции, количество осадков, объем импорта), — в этом случае временные ряды называются интервальными.

Вэконометрии принято моделировать временной ряд как случайный процесс, называемый также стохастическим процессом, под которым понимается статистическое явление, развивающееся во времени согласно законам теории вероятностей. Случайный процесс — это случайная последовательность. Обычно предполагают, что эта последовательность идет от минус до плюс бесконечности: {Xt}t=−∞, ..., +∞. Временной ряд — это лишь одна частная реализация тако-

го теоретического стохастического процесса: x = {xt}t=1, ..., T

где T — длина временного ряда. Временной ряд x = (x1, . . . , xT ) также часто неформально называют выборкой1. Обычно стоит задача по данному ряду сделать какие-то заключения о свойствах лежащего в его основе случайного процесса, оценить параметры, сделать прогнозы и т.п. В литературе по временным рядам существует некоторая неоднозначность, и иногда временным рядом называют сам случайный процесс {Xt}t=−∞, ..., +∞, либо его отрезок {xt}t=1, ..., T , а иногда статистическую модель, которая порождает данный случайный процесс. В дальнейшем мы не будем в явном виде посредством особых обозначений различать случайный процесс и его реализацию. Из контекста каждый раз будет ясно, о чем идет речь.

Возможные значения временного ряда в данный момент времени t описываются с помощью случайной величины xt и связанного с ней распределения вероятностей p(xt). Тогда наблюдаемое значение xt временного ряда в момент t рассматривается как одно из множества значений, которые могла бы принять случайная величина xt в этот момент времени. Следует отметить, однако, что, как правило, наблюдения временного ряда взаимосвязаны, и для корректного его описания следует рассматривать совместную вероятность p(x1, . . . , xT ).

1Хотя, по формальному определению, выборка должна состоять из независимых, одинаково распределенных случайных величин.

11.1. Введение

349

Для удобства можно провести классификацию случайных процессов и соответствующих им временных рядов на детерминированные и случайные процессы (временные ряды). Детерминированным называют процесс, который принимает заданное значение с вероятностью единица. Например, его значения могут точно определяться какой-либо математической функцией от момента времени t, как в следующем примере: xt = R cos(2ωt − θ). Когда же мы будем говорить о случайном процессе и случайном временном ряде, то, как правило, будем подразумевать, что он не является детерминированным.

Стохастические процессы подразделяются на стационарные и нестационарные. Стохастический процесс является стационарным, если он находится в определенном смысле в статистическом равновесии, т.е. его свойства с вероятностной точки зрения не зависят от времени. Процесс нестационарен, если эти условия нарушаются.

Важное теоретическое значение имеют гауссовские процессы . Это такие процессы, в которых любой набор наблюдений имеет совместное нормальное распределение. Как правило, термин «временной ряд» сам по себе подразумевает, что этот ряд является одномерным (скалярным). Часто бывает важно рассмотреть совместную динамику набора временных рядов xt = (x1t, . . . , xkt), t = 1, . . . , T . Такой набор называют многомерным временным рядом, или векторным временным рядом. Соответственно, говорят также о многомерных, или векторных, случайных процессах.

При анализе экономических временных рядов традиционно различают разные виды эволюции (динамики). Эти виды динамики могут, вообще говоря, комбинироваться. Тем самым задается разложение временного ряда на составляющие, которые с экономической точки зрения несут разную содержательную нагрузку. Перечислим наиболее важные:

–тенденция — соответствует медленному изменению, происходящему в некотором направлении, которое сохраняется в течение значительного промежутка времени. Тенденцию называют также трендом или долговременным движением.

–циклические колебания — это более быстрая, чем тенденция, квазипериодическая динамика, в которой есть фаза возрастания и фаза убывания. Наиболее часто цикл связан с флуктуациями экономической активности.

–сезонные колебания — соответствуют изменениям, которые происходят регулярно в течение года, недели или суток. Они связаны с сезонами и ритмами человеческой активности.

350	Глава 11. Основные понятия в анализе временных рядов

–календарные эффекты — это отклонения, связанные с определенными предсказуемыми календарными событиями — такими, как праздничные дни, количество рабочих дней за месяц, високосность года и т.п.

–случайные флуктуации — беспорядочные движения относительно большой частоты. Они порождаются влиянием разнородных событий на изучаемую величину (несистематический или случайный эффект). Часто такую составляющую называют шумом (этот термин пришел из технических приложений).

–выбросы — это аномальные движения временного ряда, связанные с редко происходящими событиями, которые резко, но лишь очень кратковременно отклоняют ряд от общего закона, по которому он движется.

–структурные сдвиги — это аномальные движения временного ряда, связанные с редко происходящими событиями, имеющие скачкообразный характер и меняющие тенденцию.

Некоторые экономические ряды можно считать представляющими те или иные виды таких движений почти в чистом виде. Но бо´ льшая часть их имеет очень сложный вид. В них могут проявляться, например, как общая тенденция возрастания, так и сезонные изменения, на которые могут накладываться случайные флуктуации. Часто для анализа временных рядов оказывается полезным изолированное рассмотрение отдельных компонент.

Для того чтобы можно было разложить конкретный ряд на эти составляющие, требуется сделать какие-то допущения о том, какими свойствами они должны обладать. Желательно построить сначала формальную статистическую модель, которая бы включала в себя в каком-то виде эти составляющие, затем оценить ее, а после этого на основании полученных оценок вычленить составляющие. Однако построение формальной модели является сложной задачей. В частности, из содержательного описания не всегда ясно, как моделировать те или иные компоненты. Например, тренд может быть детерминированным или стохастическим. Аналогично, сезонные колебания можно комбинировать с помощью детерминированных переменных

или с помощью стохастического процесса		определенного	вида. Компонен-
ты временного ряда могут входить	в него	аддитивно или	мультипликатив-
но. Более того, далеко не все временные ряды имеют			достаточно про-
стую структуру, чтобы можно было	разложить их на указанные составляю-
щие.

Существует два основных подхода к разложению временных рядов на компоненты. Первый подход основан на использовании множественных регрессий с факторами, являющимися функциями времени, второй основан на применении линейных фильтров.

11.2. Стационарность, автоковариации и автокорреляции

351

11.2.Стационарность, автоковариации и автокорреляции

Статистический процесс называется строго стационарным, если взаимное распределение вероятностей m наблюдений инвариантно по отношению к общему сдвигу временного аргумента, т.е. совместная плотность распределения случайных

величин xt1 , xt2 , . . . , xtm такая же, как для величин xt1+k , xt2+k , . . . , xtm +k при любых целых значениях сдвига k. Когда m = 1, из предположения стационарности

следует, что безусловное распределение величины xt, p(xt), одинаково для всех t и может быть записано как p(x).

Требование стационарности, определенное этими условиями, является достаточно жестким. На практике при изучении случайных процессов ограничиваются моментами первого и второго порядка, и тогда говорят о слабой стационарности или стационарности второго порядка2. В этом случае процесс имеет постоянные для всех t моменты первого и второго порядков: среднее значение µ = E(xt), определяющее уровень, относительно которого он флуктуирует, дисперсию σ2 = E(xt − µ)2 и автоковариацию γk = E(xt − µ)(xt+k − µ). Ковариация между xt и xt+k зависит только от величины сдвига k и не зависит от t. Автокорреляция k-го порядка стационарного процесса с ненулевой дисперсией

ρk =		E(xt − µ)(xt+k − µ)
		E(xt − µ)2E(xt+k − µ)2
сводится к простой формуле
		ρk =	γk	.
			γ0

Следует иметь в виду, что два процесса, имеющие одинаковые моменты первого и второго порядка, могут иметь разный характер распределения.

Автоковариационной функцией стационарного процесса называют последовательность автоковариаций {γk }k=−∞, ..., +∞. Так как автоковариационная функция симметрична относительно нуля: γk = γ−k , то достаточно рассматривать k = 0, 1, 2, 3, . . .

Aвтокорреляционной функцией (АКФ) называют последовательность автокорреляций {ρk }k=−∞, ..., +∞. Автокорреляционная функция также симметрична, причем ρ0 = 1, поэтому рассматривают k = 0, 1, 2, 3, . . .

2В русскоязычной литературе строгую стационарность также называют стационарностью в узком смысле, а слабую стационарность — стационарностью в широком смысле.

352		Глава 11. Основные понятия в анализе временных рядов
Автоковариационная матрица ΓT							для стационарного ряда x1, . . . , xT							имеет
вид:
	γ0	γ1	· · ·			γT −1		1	ρ1	· · ·			ρT −1
ΓT =	γ1	γ0	· · ·			γT −2	= γ0	ρ1	1	· · ·			ρT −2	,
	.	.	.	.		.		.	.	.	.		.
	.	.			.	.		.	.			.	.
	.	.				.		.	.				.
	γT −1	γT −2 · · ·				γ0		ρT −1	ρT −2 · · ·				1

ΓT = γ0PT .

Особенность автоковариационной матрицы ΓT и соответствующей автокорреляционной матрицы PT в случае стационарности состоит в том, что они имеют одни и те же элементы на любой диагонали. Матрицы такого вида принято называть тёплицевыми матрицами.

Как известно, любая ковариационная матрица является симметричной и положительно полуопределенной. Кроме того, если компоненты рассматриваемого случайного вектора x линейно независимы в том смысле, что не существует ненулевой вектор коэффициентов λ, такой что λ x — детерминированная величина, то ковариационная матрица является положительно определенной. Напомним, что, по определению (см. Приложение A.1.1), симметричная T × T матрица A называется положительно полуопределенной, если для каждого вектора λ выполняется неравенство λ Aλ 0; матрица A называется положительно определенной, если для каждого ненулевого вектора λ выполняется неравенство λ Aλ > 0. Автоковариационная и автокорреляционная матрица являются ковариационными матрицами, поэтому они обладают указанными свойствами. С другой стороны, если матрица обладает указанными свойствами, то она может быть автоковариационной матрицей некоторого временного ряда.

Из этих рассуждений следует, что условие слабой стационарности процесса, компоненты которого линейно независимы в указанном выше смысле, налагает ряд ограничений на вид автокорреляционной и автоковариационной функций. Они вытекают из того, что главные миноры положительно определенной матрицы, в том числе ее определитель, должны быть положительны.

В частности, положительная определенность главного минора второго порядка дает

	1	ρ1	= 1	− ρ12 > 0,	или	− 1 < ρ1 < 1,
	ρ1	1