Ведение в социально - экономическую статистику. Учебник. Новосибирск, 2004. 739 с

10.2 Взаимозависимые или одновременные уравнения				323
	s1
x	s2	s
		3s4	s5

d2 d3d4d5 d6 d1

p

Рис. 10.4

добавляется слагаемое

a11	0
[ z1 z2 ]	.
0	a22

В этом случае идентифицированы оба уравнения: k = 2, n = 1 , r1 = r2 = 1 = k−1. Но поскольку подвижны обе линии — и спроса, и предложения — облако наблюдений не имеет вытянутостей (рис. 10.4), и регрессия x на p опять оказывается не значимой. Для оценки параметров регрессии требуется использовать специальные методы, рассматриваемые ниже. Впрочем, и в двух предыдущих случаях необходимо использование специальных методов оценки параметров взаимозависимых систем, т.к. обычный МНК дает смещенные и несостоятельные оценки.

Пусть теперь на предложение товара влияет еще один фактор z3 , показывающий, например, количество удобрений на единицу площади, с которой собирается продукт, принимающий в дальнейшем форму товара. Тогда в правой части уравнения (10.15) возникает слагаемое

a11	0
[ z1 z3 ]	,
a31	0

и первое уравнение по-прежнему остается не идентифицированным, а второе оказывается сверхидентифицированным.

Далее ряд утверждений будет иллюстрироваться на примере модели (10.15, 10.16). В иллюстрациях эту модель удобнее записывать в сокращенном виде:

[ xˆ pˆ ]	1	1	= zˆ1 [ α11			0 ] + [ ε1		ε2 ] .	(10.18)
−β21		β22
Поскольку
1	1	−1		1		β22	−1
		=						,
			β21	+ β22
−β21	β22					β21	1

324		Глава 10. Оценка параметров систем уравнений
приведенная форма модели имеет следующий вид:
[ xˆ pˆ] = zˆ1 [ d11 d12 ] + [ η1 η2 ] =
=	1	(ˆz1 [ α11β22	− α11 ] + [ ε1	β22	+ ε2β21	ε2 − ε1 ]). (10.19)
	β21 + β22

Из этого соотношения видно, как d и η связаны с β и ε.

Дальнейшее изложение ведется в предположении, что строки матрицы Rl — орты.

10.3. Оценка параметров отдельного уравнения

Вводятся дополнительные обозначения:

Xl — N ×kl -матрица наблюдений за изучаемыми переменными xl , входящими в l-е уравнение;

Xl — N -вектор-столбец наблюдений за l-й переменной xl ;

X−l — N × (kl − 1)-матрица Xl без столбца Xl наблюдений за xl−;

βl — kl -вектор-столбец параметров при изучаемых переменных в l-м уравнении;

βl — (kl − 1)-вектор-столбец βl с обратным знаком и без l-го элемента

βll = 1;

Zl — N ×(nl+1)-матрица наблюдений за независимыми факторами zl , входящими в l-е уравнение, включая единичный столбец, соответствующий свободному члену;

αl — (nl + 1)-вектор-столбец параметров при этих факторах вместе со свободным членом;

εl — N -вектор-столбец остатков в l-м уравнении по наблюдениям.

Тогда l-е уравнение регрессии можно записать следующим образом:
Xl βl = Zlαl + εl	(10.20)
или
Xl = Xl βl + Zlαl + εl .	(10.21)
−

Применение обычного МНК к этому уравнению дает в общем случае смещенные и несостоятельные оценки, прежде всего потому, что остатки εl скорее всего коррелированы с регрессорами X−l , которые к тому же недетерминированы и наблюдаются с ошибками (гипотеза g2 нарушена).

10.3. Оценка параметров отдельного уравнения

325

Для иллюстрации справедливости этого утверждения используется модель (10.15, 10.16). Пусть эта модель истинна, и тогда регрессия x на p даст оценку −β22 :

−b22мнк =	xˆipˆi	.	(10.22)
	pˆ2
	i

Это выражение можно преобразовать, используя (10.18, 10.19) (чтобы не загро-

	мождать записи,	1	обозначено через P ):
		pˆ2
		i
	− b22мнк = P	xˆi =−β22pˆi +εi2		− β22 + P		pˆi =ˆzi1d12 +ηi2
		xˆipˆi	=			εi2pˆi			=
						ηi2 =		εi2	−εi1
	= −β22 + P d12 zˆi1εi2 + ηi2εi2							β21	+β22
								=		− β22 +
			+ P d12	zˆi1εi2 +		1			εi22 − εi1εi2 .
					β21 + β22

Очевидно, что −bмнк22 по математическому ожиданию никак не может равняться −

−β22 , поскольку в правой части полученного выражения имеется ε2i2 , т.е. дисперсия (в математическом ожидании) остатка в уравнении по спросу, которая не равна нулю и к тому же не будет уменьшаться с ростом N . Эта оценка смещена и несостоятельна.

Если данное уравнение точно идентифицировано, то для оценки его параметров можно использовать косвенный метод (КМ) наименьших квадратов: с помощью МНК оцениваются параметры приведенной формы системы уравнений, через которые однозначно выражаются структурные параметры данного уравнения.

В качестве примера можно использовать оценку параметров второго уравнения модели (10.15, 10.16), которое точно идентифицировано. Действительно, параметры приведенной формы модели однозначно определяют оценку −β22 , как это следует из (10.19):

	−b22KM		=		d11				(10.23)
						.
					d12
Поскольку
d11 =	xˆizˆi1	, d12 =						pˆizˆi1	,
	zˆ2							zˆ2
	i1							i1
то соотношение (10.23) означает, что
	−b22KM =				xˆizˆi1			,
					pˆizˆi1

т.е. что (ср. с (10.22)) используется метод инструментальных переменных с z1 в качестве инструментальной переменной.

326	Глава 10. Оценка параметров систем уравнений

Можно записать уравнения для оценки косвенным методом в общем случае.

Сначала следует обратить внимание на то, что условия (10.11) эквивалентны требованиям

T B βl = B		,	T Aα = A ,	(10.24)
l	l		l l l

где TlB — k × kl -матрица, полученная из Ik вычеркиванием столбцов, соответствующих тем изучаемым переменным, которые исключены из l-го уравнения;

TlA – аналогичная (n + 1) × (nl + 1)-матрица для Al .

Bl и Al имеют нулевые компоненты, соответствующие исключенным из l-го уравнения переменным.

Далее необходимо учесть, что параметры структурной формы, удовлетворяющие условиям (10.24), должны для своей идентификации еще удовлетворять соотношениям (10.10). Тем самым получается система уравнений для нахождения параметров структурной формы:

DTlB bl − TlAal = 0,

или по определению матрицы TlB :

Dlbl − TlAal = 0,

где Dl – оценки параметров приведенной формы уравнений для изучаемых переменных, вошедших в l-е уравнение, или, наконец,

Dl = Dl	bl + T Aal,	(10.25)
−	l

где Dl — оценки параметров l-го уравнения в приведенной форме,

D−l — оценки параметров приведенной формы уравнений для изучаемых переменных, вошедших в правую часть l-го уравнения.

Эти матрицы коэффициентов приведенной формы представляются следующим образом:

Dl = (Z Z)−1Z Xl, Dl = (Z Z)−1Z Xl, D−l = (Z Z)−1Z X−l .

Система уравнений (10.25) может быть также получена умножением обеих частей системы (10.21) слева на (Z Z)−1Z , т.к. третье слагаемое правой части отбрасывается (МНК-остатки должны быть ортогональны регрессорам), а во 2-м слагаемом (Z Z)−1Z Zl заменяется на TlA (т.к. по определению этой матрицы

Zl = ZTlA).

В общем случае, матрица этой системы D−l TlA имеет размерность (n + 1)× × (kl + nl). Первый ее блок имеет размерность (n + 1) × (kl − 1), второй —

(n + 1) × (nl + 1).

10.3. Оценка параметров отдельного уравнения

327

В случае точной идентификации и строгого выполнения условий (10.14) эта матрица квадратна и не вырождена. Система (10.25) дает единственное решение — оценку параметров структурной формы l-го уравнения косвенным методом наименьших квадратов.

В структурной форме со скрытым свободным членом модель (10.15+10.16) записывается следующим образом:

1	1	a11	0
X P		= [ Z1 1N ]	+ [ e1 e2 ] ,
−b21	b22	c1	c2

а ее второе, точно идентифицированное уравнение в форме (10.21) —

X = P (−b22) + [ Z1 1N ]	0	(10.26)
	+ [ e1 e2 ] .
	c2

Как это было показано выше, обе части (10.26) умножаются на матрицу

Z1			−1	Z1
		Z1	1N		:
1N				1N
d11	=	d12	(−b22) +	0	,
d21		d22		c2

или

D1 = D2(−b22) + T2Ac2, где T2A = 0 .

1

Непосредственно в форме (10.25) при учете условий нормализации эта система записалась бы в виде:

D2b22 = −D1 + T2Ac2.

Из решения этой системы −bK22M получается таким же, как в (10.23), кроме того, получается оценка свободного члена:

cKM = d21 − d22 d11 . 2 d12

328	Глава 10. Оценка параметров систем уравнений

Если уравнение не идентифицировано, переменных в системе (10.21) оказывается больше, чем уравнений, и эта система представляет бесконечное множество значений параметров структурной формы. Чтобы выбрать из этого множество какое-то решение, часть параметров структурной формы надо зафиксировать, т.е. сделать уравнение идентифицированным.

Для сверхидентифицированного уравнения система (10.21) является переопределенной, и ее уравнения не могут выполняться как равенства. Различные методы оценки такого уравнения реализуют различные подходы к минимизации невязок по уравнениям этой системы.

Одним из таких методов является двухшаговый метод (2М) наименьших квадратов.

На первом шаге с помощью МНК оцениваются параметры приведенной формы для переменных X−l :

X−l = ZD−l + V l,

где V l — N ×(kl −1)-матрица остатков по уравнениям; и определяются расчетные значения этих переменных уже без ошибок:

X−lc = ZD−l .

На втором шаге с помощью МНК оцениваются искомые параметры структурной формы из уравнения:

Xl = Xlc bl + Zlal + el.	(10.27)
−

Для этого уравнения гипотеза g2 выполняется, т.к. регрессоры не имеют ошибок, и поэтому применим обычный МНК.

Можно определить единый оператор 2M-оценивания. Поскольку

X−lc = F X−l ,

где F = Z(Z Z)−1Z , уравнение (10.24) записывается как:

		Xl = F Xl		Zl	bl	+ el,			(10.28)
			−		al
а оператор, входящий в него, как:
						−1
bl	=	Xl	F Xl	Xl	Zl	Xl	F Xl	.	(10.29)
		−	−	−		−
a		Zl Xl		Zl Zl		Zl X
l			−				l

10.3. Оценка параметров отдельного уравнения

329

Оператор в такой форме получается как результат применения МНК к уравнению (10.25), т.е. результат умножения обеих частей этого уравнения слева на транспонированную матрицу регрессоров и отбрасывания компоненты остатков:

X−l F	Xl =	X−l F	F Xl	Zl bl .		(10.30)
Zl		Zl	−	al
					l

Откуда следует оператор 2М-оценивания в указанной форме, т.к. F — симметричная идемпотентная матрица и

F Zl = F ZTlA = ZTlA = Zl.

Такой оператор оценивания сверхидентифицированного уравнения можно получить, если МНК применить к системе (10.21) (в этом случае она переопределена и в ее уравнениях возникают невязки), умножив предварительно обе ее части слева на Z.

Система нормальных уравнений для оценки (10.21), умноженной на Z , записывается следующим образом:

	D−l	Z ZDl =		D−l	Z	Z Dl	T A bl	,
	TlA			TlA		−	l
							al
и, учитывая, что
Dl	Z ZDl = Xl		F Xl, T A Z ZDl = Zl Xl и т.д.,
−		−			l

она преобразуется к виду (10.29).

Отсюда, в частности, следует, что для точно идентифированного уравнения 2М-оценка совпадает с КМ-оценкой, т.к. параметры структурной формы уравнения, однозначно определяемые соотношениями (10.21), удовлетворяют в этом случае и условиям (10.25).

Соотношения (10.29) — первая форма записи оператора 2М-оценивания. Если в (10.24) учесть, что X−lc = X−l − V l , этот оператор можно записать в более прозрачной второй форме:

	−1
bl =	X−l X−l − V l V l X−l Zl (X−l − V l )Xl .	(10.31)

a	Zl Xl	Zl Zl	Zl X
l	−		l

330	Глава 10. Оценка параметров систем уравнений
	Это доказывается аналогично с учетом того, что остатки V l ортогональны регрес-
	сорам Z и, соответственно,
	Z V l = 0, Xl	V l = V l V l, Xl cV l = 0.
	−	−

Попытка применить оператор 2М-оценивания для не идентифицированного уравнения не имеет смысла, т.к. обращаемая матрица в данном операторе вырождена.

В этом легко убедиться, т.к.

F X−l Zl = Z D−l TlA ,

т.е. матрица наблюдений за регрессорами в (10.25) получается умножением на Z слева матрицы системы (10.21). В последней, если уравнение не идентифицировано, — столбцов больше, чем строк. Следовательно, регрессоры в (10.25) линейно связаны между собой, а матрица системы нормальных уравнений (матрица оператора оценивания) вырождена.

Для сверхидентифицированного уравнения можно использовать также метод наименьшего дисперсионного отношения (МНДО). Строгое обоснование его применимости вытекает из метода максимального правдоподобия.

Пусть bl в уравнении (10.20) оценено, и Xl bl рассматривается как единая эндогенная переменная. В результате применения МНК определяются:

al = (Zl Zl)−1Zl Xl bl,
e = (I	N −	F l)Xl bl,	где F l = Zl(Zl Zl)−1Zl ,			(10.32)
l
e e = bl W lbl,			где W l = Xl (I	N −	F l)Xl .
l l

Теперь находится остаточная сумма квадратов при условии, что все экзогенные переменные входят в l-е уравнение. Она равна bl W bl , где W = Xl (IN − F )Xl . Тогда bl должны были бы быть оценены так, чтобы

	bl W lbl
λ =	bl W bl → min!

Иначе было бы трудно понять, почему в этом уравнении присутствуют не все экзогенные переменные.

Решение этой задачи приводит к следующим условиям:
(W l − λW )bl = 0.	(10.33)

10.4. Оценка параметров системы идентифицированных уравнений

331

Действительно, из условия равенства нулю первой производной:

	∂λ	=	2W lbl(bl W bl) − 2W bl(bl W lbl)	=	2	(W lbl	−	λW bl) = 0,
	∂bl		(bl W bl)2		bl W bl

сразу следует (10.33).

Следовательно, λ находится как минимальный корень характеристического уравнения (см. Приложение A.1.2)

W l − λW = 0,

а bl определяется из 10.33 с точностью до постоянного множителя, т.е. с точностью до нормировки bll = 1.

В общем случае	λmin > 1, но	при правильной спецификации модели
λminN−→ 1.
→∞
Оператор
			−1
bl =	X−l X−l − kV l V l	X−l Zl	(X−l − kV l )Xl
al	Zl Xl	Zl Zl	Zl Xl
	−

позволяет получить так называемые оценки k-класса (не путать с k — количеством эндогенных переменных в системе).

При k = 0, они являются обычными МНК-оценками для l-го уравнения, что легко проверяется; при k = 1, это — 2М-оценки; при k = λmin — МНДОоценки (принимается без доказательства). 2М-оценки занимают промежуточное положение между МНК- и МНДО-оценками (т.к. λmin > 1). Исследования показывают, что эффективные оценки получаются при k < 1.

10.4.Оценка параметров системы идентифицированных уравнений

Из приведенной формы системы уравнений следует, что

x ε = (B−1) A z ε + (B−1) ε ε.

Как и прежде, в любом наблюдении E(ε) = 0, E(ε ε) = σ2Ω, и ошибки не коррелированы по наблюдениям. Тогда

E(x ε) = (B−1) E(ε ε) = σ2(B−1) Ω,

332	Глава 10. Оценка параметров систем уравнений

т.е. в общем случае все эндогенные переменные коррелированы с ошибками во всех уравнениях. Это является основным препятствием для применения обычного МНК ко всем уравнениям по отдельности.

Но в случае, если в матрице B все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю, т.е. в правой части l-го уравнения могут появлять-

ся только более младшие эндогенные переменные xl ,				l < l, и последней
компонентой любого вектора xl	является x		, а матрица	Ω диагональна, то ε
		l		l
не коррелирует с переменными	xl	при любом l. Это — рекурсивная систе-
	−

ма, и для оценки ее параметров можно применять МНК к отдельным уравнениям.

Для оценки параметров всех идентифицированных уравнений системы можно применить трехшаговый метод (3М) наименьших квадратов.

Первые два шага 3М совпадают с 2М, но представляются они по сравнению с предыдущим пунктом в несколько иной форме.

Предполагается, что идентифицированы все k уравнений:

	Xl = Xl βl + Zlαl + εl = Qlγl + εl, l = 1, . . . , k,
	−
где Ql = [Xl	, Zl], γl = [ βl αl ] . Учитывая указанные выше свойства остатков:
−
	E(εlεl) = σ2ωllIN , E(εl εl) = σ2ωl lIN .
Теперь обе части l-го уравнения умножаются слева на Z :
	Z Xl = Z Qlγl + Z εl,	(10.34)

иZ Xl рассматривается как вектор n + 1 наблюдений за одной эндогенной переменной, а Z Ql — как матрица n + 1 наблюдений за nl + kl экзогенными переменными, включая свободный член. Так как все уравнения идентифицированы,

ивыполнено условие (10.14), во всех этих новых регрессиях количество наблюдений не меньше количества оцениваемых параметров. Для сверхидентифицированных уравнений количество наблюдений в новой регрессии будет превышать количество оцениваемых параметров. Это более естественный случай. Поэтому 3М-метод обычно применяют для всех сверхидентифицированных уравнений системы.

Матрица ковариации остатков по уравнению (10.34) равна σ2ωllZ Z. Она отлична от σ2IN , и для получения оценок cl параметров γl этого уравнения нужно использовать ОМНК:

cl = (Ql Z(Z Z)−1Z Ql)−1Ql Z(Z Z)−1Z Xl, или cl = (Ql F Ql)−1Ql F Xl.