Ведение в социально - экономическую статистику. Учебник. Новосибирск, 2004. 739 с

10.4. Оценка параметров системы идентифицированных уравнений

333

Сравнив полученное выражение с (10.29), легко убедится в том, что cl — 2М-оценка.

Если 2М на этом заканчивается, то в 3М полученные оценки cl используются для того, чтобы оценить el , и затем получить оценки W матрицы σ2Ω:

w =	1	e e , w	=	1	e e .
ll	N l l l l			N l l

Теперь все уравнения (10.34) записываются в единой системе (подобная запись использовалась в п.10.1 при доказательстве одного из утверждений):

Z X1		Z Q1	0	· · ·			0	γ1		Z ε1
Z X2	=	0	Z Q2	· · ·			0	γ2	+	Z ε2	,	(10.35)
.		.	. .		.		.	.		.
.		.	.				.	.		.
.		.	.			. .		.		.
Z Xk		0	0	· · ·			Z Qk	γk		Z εk

или

Y = Qγ + η,

где Y — соответствующий k · (n + 1)-вектор-столбец наблюдений за изучаемой переменной;

k

Q — k(n + 1) × (kl + nl)-матрица наблюдений за экзогенными перемен-

l=1

ными;

k

γ — (kl + nl)-вектор-столбец параметров регрессии;

l=1

η — k(n + 1)-вектор-столбец остатков по наблюдениям.

Легко проверить, что матрица ковариации остатков η удовлетворяет следующему соотношению:

E(ηη ) = σ2Ω (Z Z).

Для нее имеется оценка: k(n + 1) ×(n + 1)-матрица Σ = W (Z Z). Эта матрица отлична от σ2Ik(n+1), поэтому на третьем шаге 3М-оценивания к единой системе (10.35) применяется ОМНК и получается окончательная оценка c параметров γ:

c = (Q Σ−1Q)−1Q Σ−1Y.

334										Глава 10. Оценка параметров систем уравнений
10.5. Упражнения и задачи
Упражнение 1
Рассматривается					простая							Кейнсианская
модель:																				Таблица 10.1
	c = α1N + βy + ε,
																			i	c	y	η1 = η2
	y = c + i,
																			2.00	18.19	20.19	0.193
где c, i и y — объем потребления, инве-																			2.00	17.50	19.50	–0.504
стиции и доход соответственно, 1N — стол-																			2.20	16.48	18.68	–2.318
бец, состоящий из единиц. Пусть каждый век-
																			2.20	19.06	21.26	0.257
тор имеет размерность							20 × 1, E(ε) = 0 и
E(εε ) = σ2IN = 0.22I20 . Система уравнений																			2.40	21.38	23.78	1.784
приведенной формы следующая:
																			2.40	21.23	23.63	1.627
c =		α	1N +					β		i +	1				ε,				2.60	21.11	23.71	0.708
	1−β					1−β					1−β
																			2.60	22.65	25.25	2.252
y =		α	1N +				1			i +		1			ε,
	1−β						1−β					1−β							2.80	20.74	23.54	–0.462
Ошибки в приведенной форме для c и y та-
																			2.80	19.85	22.65	–1.348
ковы:
	1									1							1		3.00	22.23	25.23	0.234
η1 = η2 =					ε =								ε =					ε,
																			3.00	22.23	25.23	0.226
		1 − β						1 − 0.8							0.2
т.е. в модели в приведенной форме ошибки η1																			3.20	23.43	26.63	0.629
и η2 распределены как N (0, I). В таблице																			3.20	23.04	26.24	0.244
10.1 на основе заданных 20-ти гипотетических
																			3.40	23.03	26.43	–0.569
значений для	i (первая колонка) и нормаль-
но распределенных ошибок (последняя колон-																			3.40	24.45	27.85	0.853
ка) получены данные для c и y из уравнений
																			3.60	26.63	30.23	2.227
приведенной формы, используя значения па-
раметров α = 2 и β = 0.8.																			3.60	24.47	28.07	0.074
В реальной ситуации существуют только
																			3.80	24.67	28.47	–0.527
значения i, c и y. Значения ошибки в модели
																			3.80	26.00	29.80	0.804
и значения α и β неизвестны.

1.1. Используя данные таблицы 10.1, оцените уравнения приведенной формы для объема потреблении и дохода.

10.5. Упражнения и задачи

335

1.2.Используя данные таблицы 10.1, посчитайте косвенные МНК-оценки для α и β из

а) уравнения приведенной формы для объема потребления и

б) уравнения приведенной формы для дохода.

Идентичны ли косвенные МНК-оценки, полученные из обоих уравнений приведенной формы?

1.3.Используя данные таблицы 10.1, посчитайте простые МНК-оценки для α и β и сравните их с косвенными МНК-оценками из упражнениия 1.2.

1.4.Используя данные таблицы 10.1 для i и используя значения параметров α = 2 и β = 0.8 составьте 100 выборок для c и y.

1.5.Примените простой МНК к каждому структурному уравнению системы для 100 выборок. Посчитайте среднее 100 оценок α и β. Проверьте степень эмпирического смещения.

1.6.Посчитайте косвенные МНК-оценки для α и β для 100 выборок. Посчитайте среднее 100 оценок α и β. Посчитайте степень смещения в маленьких выборках — размером по 20 наблюдений. Сравните смещение косвенных МНК-оценок со смещением обычных МНК-оценок.

1.7.Объедините пары выборок так, чтобы получились 50 выборок по 40 наблюдений. Посчитайте косвенные МНК-оценки для α и β для этих 50 выборок. Посчитайте среднее и проверьте смещение оценок. Будут ли эмпирические смещения в этом случае меньше, чем рассчитанные из 100 выборок по 20 наблюдений?

Упражнение 2

Таблица 10.2 содержит векторы наблюдений z1 , z2 , z3 , z4 , z5 и x1, x2 , x3 которые представляют выборку, полученную из модели:

x1 = β12 x2 + β13x3 + α11z1 + ε1 ,

x2 = β21 x1 + α21z1 + α22z2 + α23z3 + α24z4 + ε2 ,

x3 = β32 x2 + α31z1 + α32z2 + α35z5 + ε3 ,

336	Глава 10. Оценка параметров систем уравнений

Таблица 10.2

z1	z2	z3	z4	z5	x1	x2	x3
1	3.06	1.34	8.48	28.00	359.27	102.96	578.49
1	3.19	1.44	9.16	35.00	415.76	114.38	650.86
1	3.30	1.54	9.90	37.00	435.11	118.23	684.87
1	3.40	1.71	11.02	36.00	440.17	120.45	680.47
1	3.48	1.89	11.64	29.00	410.66	116.25	642.19
1	3.60	1.99	12.73	47.00	530.33	140.27	787.41
1	3.68	2.22	13.88	50.00	557.15	143.84	818.06
1	3.72	2.43	14.50	35.00	472.80	128.20	712.16
1	3.92	2.43	15.47	33.00	471.76	126.65	722.23
1	4.15	2.31	16.61	40.00	538.30	141.05	811.44
1	4.35	2.39	17.40	38.00	547.76	143.71	816.36
1	4.37	2.63	18.83	37.00	539.00	142.37	807.78
1	4.59	2.69	20.62	56.00	677.60	173.13	983.53
1	5.23	3.35	23.76	88.00	943.85	223.21	1292.99
1	6.04	5.81	26.52	62.00	893.42	198.64	1179.64
1	6.36	6.38	27.45	51.00	871.00	191.89	1134.78
1	7.04	6.14	30.28	29.00	793.93	181.27	1053.16
1	7.81	6.14	25.40	22.00	850.36	180.56	1085.91
1	8.09	6.19	28.84	38.00	967.42	208.24	1246.99
1	9.24	6.69	34.36	41.00	1102.61	235.43	1401.94

10.5. Упражнения и задачи		337
или в матричной форме: XB = ZA + ε, где		εi — нормально распределенные
векторы с E(εi) = 0 и
ε1	ε1
E εε = E ε2	ε2	= Σ IN .
ε3	ε3

Гипотетические структурные матрицы коэффициентов B, A и ковариационная матрица Σ следующие:

				60 −40		10
0	0.2	0	, A =	0	4	−80
B = −10 −1		2		0	6	0	,
2.5	0 −1			0	−1.5	0
				0	0	−5

	Σ =	227.55	8.91	−56.89
		8.91	0.66	−1.88
		−56.89	−1.88	15.76

Матрица коэффициентов в приведенной форме для гипотетической модели следующая:

	−142.50	11.50	13.00
	110.00	18.00	116.00
D = AB−1 =	15.00	−3.00 −6.00
	−3.75	0.75	1.50
	6.25	1.25	7.50

В реальной ситуации B, A , Σ, D были бы неизвестны, доступны были бы только наблюдения в таблице 10.2.

2.1.Используя данные таблицы 10.2, проверьте каждое структурное уравнение системы на идентифицируемость.

338	Глава 10. Оценка параметров систем уравнений

2.2.Оцените матрицу параметров приведенной формы D = (Z Z)−1Z X .

2.3.Примените простой МНК к каждому структурному уравнению системы и оцените матрицы B и A.

2.4.Рассчитайте

				−1
bl	=	X−l X−l − kV l V l	X−l Zl	(X−l − kV l )Xl	(10.36)
a		Zl Xl	Zl Zl	Zl X
l		−		l

при k = 0 и сравните с результатом упражнения 2.3.

2.5.Используя косвенный МНК, оцените параметры второго строго идентифицированого уравнения.

2.6.Найдите b2 и a2 , решая систему D2 = D−2 b2 + T2A a2 , и сравните с результатом упражнения 2.5.

2.7. Найдите минимальный корень λ из уравнения W l − λW = 0 и, используя формулу метода наименьшего дисперсионного отношения (10.36) при k = λ, оцените параметры в каждом из трех структурных уравнений.

2.8.Используя формулу двухшагового метода наименьших квадратов (10.36) при k = 1, сравните оценки матрицы D, полученные на основе оценок простым МНК, МНДО и 2МНК, с исходными гипотетическими матрицами параметров приведенной формы.

2.9.Используя формулу 3МНК, оцените параметры первого и третьего структурных уравнений совместно.

Упражнение 3

Имеем модель Клейна, в которой

C = αP + β(W + V ) + χP−1 + δ + ε1 — функция потребления,

I = ϕP + γP−1 + ηK−1 + π + ε2 — функция инвестиционного спроса,

W = µ(Y + T − V ) + θ(Y−1 + T−1 − V−1) + ψt + ζ + ε3 — функция спроса на труд.

Выполняются следующие макроэкономические соотношения:

Y + T = C + I + G, Y = W + V + P, K = K−1 + I,

10.5. Упражнения и задачи

339

где C — потребительские расходы, I — инвестиционные расходы, G — государственные расходы, P — прибыль, W — спрос на труд негосударственного сектора, V — спрос на труд государственного сектора, K — капитал, T — налоги, t — время, Y — чистый доход от налогов.

На основе данных из таблицы 10.3 оценить параметры модели Клейна простым методом наименьших квадратов и двухшаговым методом наименьших квадратов. Показать величину смещения оценок.

Задачи

1. Эконометрическая модель описана следующими уравнениями:

		x1 = α10 + α11z1 + β12x2 + ε1,
		x2 = α20 + β21 x1 + ε2,
где	x1	и x2 — эндогенные переменные, z1 — экзогенная переменная,
ε1 и ε2		— случайные ошибки. Определите направление смещения оценки
для	β21 , если для оценивания второго уравнения используется метод наи-

меньших квадратов.

2. Дана следующая макроэкономическая модель:

y = c + i + g — макроэкономическое тождество; c = α10 + β11y — функция потребления,

i = α20 + β21y − β22r — функция инвестиций, (m/p) = β31y − β32r — уравнение денежного рынка,

где эндогенными переменными являются доход y, потребление c, инвестиции i и процентная ставка r. Переменные g (государственные расходы) и (m/p) (реальная денежная масса) — экзогенные. Проверьте, является ли данная система идентифицируемой, и перепишите модель в приведенной форме.

3.Дана следующая модель краткосрочного равновесия для малой открытой экономики (модель Манделла—Флеминга):

y = c + i + nx — макроэкономическое тождество, c = α11 + β11 y + ε1 — функция потребления,

i = α21 − α21r + β21y + ε2 — функция инвестиций,

nx = α31 − β31y − β32ec + ε3 — функция чистого экспорта,

(m/p) = β41y − α41r + ε4 — уравнение денежного рынка,

340	Глава 10. Оценка параметров систем уравнений

Таблица 10.3. (Источник: G.S. Maddala(1977), Econometrics, p. 237)

t	C	P	W	I	K−1	V	G	T
1920	39.8	12.7	28.8	2.7	180.1	2.2	2.4	3.4
1921	41.9	12.4	25.5	-0.2	182.8	2.7	3.9	7.7
1922	45	16.9	29.3	1.9	182.6	2.9	3.2	3.9
1923	49.2	18.4	34.1	5.2	184.5	2.9	2.8	4.7
1924	50.6	19.4	33.9	3	189.7	3.1	3.5	3.8
1925	52.6	20.1	35.4	5.1	192.7	3.2	3.3	5.5
1926	55.1	19.6	37.4	5.6	197.8	3.3	3.3	7
1927	56.2	19.8	37.9	4.2	203.4	3.6	4	6.7
1928	57.3	21.1	39.2	3	207.6	3.7	4.2	4.2
1929	57.8	21.7	41.3	5.1	210.6	4	4.1	4
1930	55	15.6	37.9	1	215.7	4.2	5.2	7.7
1931	50.9	11.4	34.5	–3.4	216.7	4.8	5.9	7.5
1932	45.6	7	29	–6.2	213.3	5.3	4.9	8.3
1933	46.5	11.2	28.5	–5.1	207.1	5.6	3.7	5.4
1934	48.7	12.3	30.6	–3	202	6	4	6.8
1935	51.3	14	33.2	–1.3	199	6.1	4.4	7.2
1936	57.7	17.6	36.8	2.1	197.7	7.4	2.9	8.3
1937	58.7	17.3	41	2	199.8	6.7	4.3	6.7
1938	57.5	15.3	38.2	–1.9	201.8	7.7	5.3	7.4
1939	61.6	19	41.6	1.3	199.9	7.8	6.6	8.9
1940	65	21.1	45	3.3	201.2	8	7.4	9.6
1941	69.7	23.5	53.3	4.9	204.5	8.5	14	12

10.5. Упражнения и задачи

341

где эндогенными переменными являются доход y, потребление c, инвестиции i, чистый экспорт nx и валютный курс ec. Переменные r (процентная ставка, значение которой формируется на общемировом уровне) и (m/p) (реальная денежная масса) — экзогенные; ε1, . . . , ε4 — случайные ошибки. Запишите общие условия для определения структурных параметров каждого уравнения модели. Какие уравнения модели точно идентифицируемы? Перепишите модель Манделла—Флеминга в приведенной форме.

4.Приведите пример системы одновременных уравнений, к которой можно применить косвенный МНК (с объяснением обозначений).

5.Приведите пример сверхидентифицированной системы одновременных уравнений (с объяснением обозначений).

6.Рассмотрите модель:

x1t = β12x2t + α11z1t + α12z2t + α13z3t + α14z4t + ε1t ,

x2t = β21x1t + α21z1t + α22z2t + α23z3t + α24z4t + ε2t ,

где вектор z — экзогенные переменные, а вектор ε — случайные последовательно некоррелированные ошибки с нулевыми средними. Используя исключающие ограничения (т.е. обращая в нуль некоторые коэффициенты), определите три альтернативные структуры, для которых простейшими состоятельными процедурами оценивания являются соответственно обыкновенный метод наименьших квадратов, косвенный метод наименьших квадратов

и двухшаговый метод наименьших квадратов.

7.Имеется следующая макроэкономическая модель:

c = α10 + β11 y + ε1 ,

i = α20 + β21 y + β22 y−1 + ε2 ,

y = c + i + g,

где c, i и y — объем потребления, инвестиции и доход, соответственно, а y−1 — доход предыдущего периода, g — государственные расходы.

а) Определите типы структурных уравнений;

б) классифицируйте типы переменных;

в) представьте структурные уравнения в матричной форме;

г) запишите модель в приведенной форме;

д) проверьте идентифицируемость и метод оценки параметров каждого уравнения в структурной форме модели;

342	Глава 10. Оценка параметров систем уравнений

8.Пусть дана простая Кейнсианская модель: c = βy + ε,

y = c + i,

где c, i и y — объем потребления, инвестиции и доход, соответственно. Пусть каждый вектор имеет размерность N × 1, E(ε) = 0 и E(εε ) = σ2IN .

а) Запишите модель в приведенной форме; б) найдите оценку для параметра дохода для приведенной формы;

в) получите косвенную МНК-оценку для β из результатов (б); г) найдите оценку для параметра потребления для приведенной формы; д) получите косвенную МНК-оценку для β из результатов (г); е) покажите, что результаты (в) и (д) совпадают; ж) определите направление смещения МНК-оценки для β.

9.Известны МНК-оценки параметров регрессии (угловые коэффициенты) агрегированного объема продаж продовольственных товаров и цены на них от индекса погодных условий:

а) 0.3 и −0.6; б) 0.3 и 0.6.

Определить коэффициенты эластичности спроса и предложения от цены.

10. Пусть система одновременных уравнений имеет вид:

x1 = α10 + β12 x2 + α11z1 + ε1, x2 = α20 + β21 x1 + α22z2 + ε2.

Получены следующие оценки приведенной формы этой системы: x1 = 1 + 2z1 + 3z2 ,

x2 = −2 + 1z1 + 4z2 .

Найдите оценки параметров исходной системы.

11. Рассматривается следующая модель краткосрочного равновесия типа IS-LM: yt = ct + it + gt + nxt,

ct = α11 + β11yt + ε1t, it = α21 + α21rt + ε2t,

nxt = α31 + β31yt + β32rt + ε3t, mt = α40 + β41yt + α41rt + ε4t,