Ведение в социально - экономическую статистику. Учебник. Новосибирск, 2004. 739 с

1.8. Типы величин, связи между ними

33

–в классе S/S: фондовооруженность труда;

–в классе P/P : материало- и капиталоемкость производства, коэффициенты перевода капитальных вложений во ввод основных фондов.

Размерность этих величин определяется формулой их расчета. Интенсивные величины, получаемые отношением величин одного качества (экстенсивных или интенсивных), размерности не имеют. К ним относятся темпы роста и прироста, коэффициенты пространственного сравнения, показатели отраслевой и территориальной структуры. Такие безразмерные относительные величины могут даваться в процентах или промиллях (если a — относительная величина, то a · 100 o/o — ее выражение в процентах, a · 1000 o/oo — в промиллях).

Если две величины y и x связаны друг с другом, то одним из показателей этой связи является их отношение: y x — средний коэффициент связи (например, трудо-, материало-, фондоемкость производства).

Иногда пользуются приростным коэффициентом (например, капиталоемкость производства как приростной коэффициент фондоемкости): ∆y ∆x , где ∆y и ∆x — приросты величин y и x за определенный период времени.

Если величины y и x связаны гладкой непрерывной функцией, то непрерывным (моментным) приростным коэффициентом является производная dy dx .

В этом же ряду находится так называемый коэффициент эластичности, показывающий отношение относительных приростов:

∆y : ∆x = x∆y = ∆y · x .

yx y∆x ∆x y

Непрерывным (моментным) коэффициентом эластичности является показатель степени при степенной зависимости y от x :

y = axα, т.к. dxdy = aαxα−1 = α xy , откуда α = dxdy · xy .

При наличии такой зависимости y от x моментный коэффициент эластичности

рассчитывается как ln(y a) . ln x

Это — примеры относительных величин, имеющих размерность. Далее приводятся примеры безразмерных относительных величин.

Пусть y = yi. Например, y — совокупный объем производства на опреде-

i

ленной территории, yi — объем производства (в ценностном выражении) в i-й отрасли; или y — общий объем производства какого-то продукта в совокупности

yt

− 1 — темп прироста.

= yt+1

— темп роста,

34 Глава 1. Основные понятия

регионов, yi — объем производства продукта в i-м регионе. Тогда yi y — коэффициент структуры, отраслевой в первом случае, территориальной (региональной) во втором случае.

Если yi и yj — значения некоторого признака (объемного или относительного) двух объектов (i-го и j-го), например, двух отраслей или двух регионов, то yi yj — коэффициент сравнения, межотраслевого в первом случае, пространственного (межрегионального) во втором случае.

Пусть yt — значение величины (объемной или относительной) в момент времени t. Для измерения динамики этой величины используются следующие показатели:

∆yt = yt+1 − yt (или ∆yt+1 = yt+1 − yt) — абсолютный прирост, yt+1 yt

∆yt yt

В случае, если динамика y задана гладкой непрерывной функцией y(t), то непрерывным темпом прироста в момент времени (моментным темпом при-

	роста) является	d ln y(t)	, поскольку	d ln y	=	1	, а непрерывным (моментным) аб-
		dt		dy		y

солютным приростом выступает dy(t) . Последнее следует пояснить (почему dy(t) dt dt

выступает моментным абсолютным приростом в единицу времени). Пусть единичный период времени [t, t + 1] разбит на n равных подпериодов, и в каждом из них одинаков абсолютный прирост. Тогда абсолютный прирост в целом за единичный период равен

1
	y t +				− y (t)
		n
						,
1
			n
							dy(t)
и предел его при n → ∞, по определению производной, как раз и равен								.
							dt

d ln y(t)/

Непрерывным (моментным) темпом роста является e dt (e — основание натурального логарифма). Действительно, пусть опять же единичный период времени [t, t + 1] разбит на n равных подпериодов, и темпы роста во всех них одинаковые. Тогда темп роста за этот период (единицу времени) окажется равным

n

y t + n1

,

y (t)

1.8. Типы величин, связи между ними

35

Таблица 1.1

За период (единичный)

Моментный

Темп

дискретн.

непрерывный

t+1

Роста

yt+1

exp

d ln y (t )

dt

=

y (t + 1)

exp

d ln y (t)

yt

dt

y (t)

dt

t

t+1

Прироста

yt+1

d ln y (t )

dt = ln

y (t + 1)

d ln y (t)

1 dy (t)

− 1

=

yt

dt

y (t)

dt

y dt

t

и переходом к пределу при n → ∞ будет получено искомое выражение для моментного темпа роста. Проще найти предел не этой величины, а ее логарифма. То есть

lim	ln y	t + n1	− ln y (t)		.
		1
n→∞
		n
По определению производной, это есть				d ln y (t)	, т.е. моментный темп при-
				dt

роста. Следовательно, как и было указано, моментным темпом роста является e

	d ln y (t)
в степени		.
	dt				до t + 1 определяется следующим
Непрерывный темп роста за период от t
образом:
		t+1	d ln y(t )	dt
			dt		.
		e t

В этом легко убедиться, если взять интеграл, стоящий в показателе:

t+1			t+1
	d ln y (t )
		dt = ln y t
	dt		t
t

= ln y (t + 1) , y (t)

и подставить результат (его можно назвать непрерывным темпом прироста за единичный период времени) в исходное выражение непрерывного темпа роста за период:

y (t + 1)

	ln			y (t + 1)
		y (t)	=
e					.
				y (t)

36	Глава 1. Основные понятия

Построенные относительные показатели динамики сведены в таблице 1.1.

Относительные величины, с точки зрения их измерения, являются производными, т.е. их размер определяется путем расчета. Такой характер относительные величины имеют и в других предметных науках. Но в экономике существуют интенсивные величины особого типа, имеющие первичный или фундаментальный характер. Это экономические единицы (измерения): цены продукции, тарифы за услуги, ставки заработной платы, ставки процента, дивиденды, а также особые управляющие параметры-нормативы, например, ставки налогов и дотаций. Эти величины имеют разную размерность или безразмерны, но регистрируются они как величины запаса — на определенные моменты времени.

1.9. Статистические совокупности и группировки

Статистической совокупностью, или просто совокупностью, называют множество объектов, однородное в определенном смысле. Обычно предполагается, что признаки объектов, входящих в совокупность, измерены (информация имеется) или по крайней мере измеримы (информация может быть получена). Полное множество величин-признаков или показателей-наблюдений было обозначено выше как {xtij }. Совокупность объектов — это его подмножество по i.

Об однородности совокупности можно говорить в качественном и количественном смысле.

Пусть Ji — множество признаков, которые характеризуют i-й объект.

Совокупность однородна качественно, если эти множества для всех входящих в нее объектов идентичны или практически идентичны. Такие совокупности образуют, например, сообщества людей, каждого из которых характеризуют имя, дата и место рождения, пол, возраст, вес, цвет глаз, уровень образования, профессия, место проживания, доход и т.д. В то же время понятно, что, чем большие сообщества людей рассматриваются, тем менее однородны они в этом смысле. Так, например, совокупность, включающая европейцев и австралийских аборигенов, не вполне однородна, поскольку набор признаков для последних включает такие характеристики, которые бессмысленны для первых (например, умение бросать бумеранг), и наоборот.

Совокупность промышленных предприятий качественно достаточно однородна. Но более однородны совокупности предприятий конкретных отраслей, поскольку каждая отрасль имеет свою специфику в наборе всех возможных признаков.

Чем меньше общее пересечение множеств Ji , тем менее однородна в качественном смысле совокупность i-х объектов. Объекты, общее пересечение множеств признаков которых мало, редко образуют совокупности. Так, достаточно бессмыс-

1.9. Статистические совокупности и группировки

37

ленна совокупность людей и промышленных предприятий, хотя все они имеют имя, дату и место «рождения», возраст.

Допустимая степень неоднородности совокупности зависит, в конечном счете, от целей исследования. Если, например, изучаются различия средней продолжительности жизни различных представителей животного мира, то в исследуемую совокупность включают и людей, и лошадей, и слонов, и мышей.

Количественная однородность зависит от степени вариации значений признаков по совокупности. Чем выше эта вариация, тем менее однородна совокупность в этом смысле. В разных фрагментах количественно неоднородных совокупностей могут различаться параметры зависимостей между величинами-признаками. Такие совокупности иногда также называют качественно неоднородными. Для них невозможно построить единой количественной модели причинно-следственных связей. Так, например, люди с низким уровнем дохода увеличивают спрос на некоторые товары при снижении своего дохода (малоценные товары) или/и при росте цен на эти товары (товары «Гиффена»). Люди с высоким уровнем дохода реагируют на такие изменения обычным образом — снижают спрос.

Однородные совокупности обычно имеют простое и естественное название: «люди» или «население», «промышленные предприятия». Выделяются эти совокупности с целью изучения, соответственно, человеческого сообщества, промышленности и т.д.

Массив информации по совокупности часто называют матрицей наблюдений. Ее строкам соответствуют объекты и/или время, т.е. наблюдения, столбцам — величины-признаки или переменные. Обозначают эту матрицу через X , ее элементы — через xij , где i — индекс наблюдения, j — индекс переменнойпризнака.

Вконкретном исследовании все множество признаков делится на 2 части: факторные признаки, или независимые факторы, — экзогенные величины и результирующие (результативные) признаки, или изучаемые переменные, — эндогенные величины. Целью исследования обычно является определение зависимости результирующих признаков от факторных. При использовании развитых методов анализа предполагается, что одни результирующие признаки могут зависеть не только от факторных, но и от других результирующих признаков.

Вслучае, если факторных признаков несколько, используют методы регрессионного анализа, если наблюдениями являются моменты времени, то применяются методы анализа временных рядов, если наблюдения даны и по временным моментам, и по территориально распределенным объектам, то целесообразно применить методы анализа панельных данных.

Если наблюдений слишком много и/или совокупность недостаточно однородна, а также для изучения внутренней структуры совокупности или при применении

38 Глава 1. Основные понятия

особых методов анализа связи, предварительно проводится группировка совокупности. Группировка — деление совокупности на группы по некоторым признакам.

Наиболее естественно проводится группировка по качественным признакам. Такие признаки измеряются обычно в шкале наименований или в порядковой шкале. Например, признак «пол»: 1 — мужской, 2 — женский (или −1 и 1, 0 и 1, 1 и 0 и т.д.); «академическая группа»: 1 — студент 1-й группы, 2 — студент 2-й группы и т.д. (это — примеры использования шкалы наименований); «образование»: 1 — отсутствует, 2 — начальное, 3 — среднее, 4 — высшее (номинальная шкала с элементами порядковой); оценка, полученная на экзамене: 1 — неудовлетворительно, 2 — удовлетворительно, 3 — хорошо, 4 — отлично (порядковая шкала с элементами интервальной).

Качественный признак принимает определенное количество уровней (например: «пол» — 2 уровня, «образование» — 4 уровня), каждому из которых присваивается некоторое целое число. Перестановка строк матрицы наблюдений по возрастанию или убыванию (если шкала данного признака порядковая, то обычно — по возрастанию) чисел, стоящих в столбце данного фактора, приводит к группировке совокупности по этому фактору. В результате строки матрицы, соответствующие наблюдениям-объектам с одинаковым уровнем данного качественного фактора, оказываются «рядом» и образуют группу.

Группировка по количественному (непрерывному или дискретному) признаку производится аналогичным образом, но после переизмерения этого признака в порядковой (или интервальной) шкале. Для этого проводятся следующие операции.

Пусть xij , i = 1, . . . , N — значения j-го количественного признака в матрице N наблюдений, по которому проводится группировка — деление совокупности

на kj	групп. Весь интервал значений этого признака [z0j , zkj j ], где z0j min xij ,
	max xij , делится на kj полуинтервалов [z0j ,			i
а zkj j		z1j ], (zij	−	1, j , zij j ],
	i

ij = 1, . . . , kj . Первый из них закрыт с обеих сторон, остальные закрыты справа и открыты слева. Количество и размеры полуинтервалов определяются целями исследования. Но существуют некоторые рекомендации. Количество полуинтервалов не должно быть слишком малым, иначе группировка окажется малоинформативной. Их не должно быть и слишком много, так, чтобы большинство из них были не «пустыми», т.е. чтобы в них «попадали» хотя бы некоторые значения количественного признака. Часто размеры полуинтервалов принимаются одинаковыми, но это не обязательно.

Теперь j-й столбец матрицы наблюдений замещается столбцом рангов наблюдений по j-му признаку (рангов j-го признака), которые находятся по следующему правилу: i-му наблюдению присваивается ранг ij , если xij принадлежит ij -му полуинтервалу, т.е. если zij −1, j < xij zij j (если ij = 1, условие принадлежности имеет другую форму: z0j xij z1j ). Таким образом, если значение наблюдения

1.9. Статистические совокупности и группировки

39

попадает точно на границу двух полуинтервалов (что достаточно вероятно, например, при дискретном характере количественного признака), то в качестве его ранга принимается номер нижнего полуинтервала. В результате данный признак оказывается измеренным (пере-измеренным) в порядковой (ранговой) шкале с элементами интервальной шкалы, или — при одинаковых размерах полуинтервалов — в интервальной шкале. В случае, если исходные значения данного признака потребуются в дальнейшем анализе, столбец рангов не замещает столбец наблюдений за данным признаком, а добавляется в матрицу наблюдений.

Сама группировка осуществляется также перестановкой строк матрицы наблюдений по возрастанию ранга данного признака. В результате ij -ю группу образуют наблюдения-объекты, имеющие ij -й ранг, а группы в матрице наблюдений располагаются по возрастанию ранга от 1 до kj .

Группы, полученные в результате группировки по одному признаку, могут быть разбиты на подгруппы по какому-нибудь другому признаку. Процесс деления совокупности на все более дробные подгруппы по 3-му, 4-му и т.д. признаку может быть продолжен нужное количество раз — в соответствии с целями конкретного исследования. Перестановка строк матрицы наблюдений при группировке по каждому последующему признаку осуществляется в пределах ранее выделенных групп. Некоторые пакеты прикладных программ (электронные таблицы, базы данных) имеют специальную операцию, называемую сортировкой. Эта операция переставляет строки матрицы наблюдений по возрастанию (или убыванию) значений ранга (уровня) сначала 1-го, потом 2-го, 3-го и т.д. указанного для этой операции признака. В этом смысле термины группировка и сортировка эквивалентны.

Признаки, по которым группируются объекты совокупности, называются группирующими. Если таких признаков больше одного, группировка называется множественной, в противном случае — простой.

Пусть группирующими являются первые n признаков j = 1, . . . , n, и j-й признак может принимать kj уровней (может иметь ранги от 1 до kj ). По этим при-

знакам совокупность в конечном итоге будет разбита на K групп, где K =	n
	kj .
	j=1

Это — так называемые конечные или заключающие группы. Последовательность группирующих признаков определяется целями проводимого исследования, «важностью» признаков. Чем ближе признак к концу общего списка группирующих признаков, тем более младшим он считается. Однако с формальной точки зрения последовательность этих признаков не важна, от нее не зависит характер группировки, с ее изменением меняется лишь последовательность конечных групп в матрице наблюдений.

Общее число полученных групп существенно больше количества конечных групп. Каждый j-й признак по отдельности разбивает совокупность на kj групп, вместе с признаком j — на kj kj групп, вместе с признаком j — на kj kj kj

таний из n по n , равное, как известно,

40 Глава 1. Основные понятия

групп и т.д. Поэтому, не сложно сообразить, общее число групп, включая саму

совокупность, равно (1 + kj ).

j

Действительно:

(1 + kj ) = 1 + k1 + k2 + · · · + k1k2 + k1k3 + · · · + k1k2k3 + · · · + k1k2 . . . kn,

j

— слагаемые правой части показывают количества групп, выделяемых всеми возможными сочетаниями группирующих признаков.

Конечные группы можно назвать также группами высшего, в данном случае n-го порядка, имея в виду, что они получены группировкой по всем n признакам. Любое подмножество группирующих признаков, включающее n элементов, где 0 < n < n делит совокупность на «промежуточные» группы, которые можно назвать группами порядка n . Каждая такая группа является результатом объединения определенных групп более высокого, в частности, высшего порядка. Конкретное подмножество группирующих признаков, состоящее из n элементов, образует конкретный класс групп порядка n . Всего таких классов Cnn (это — число соче-

n!

n !(n − n )! ). Группой нулевого порядка

является исходная совокупность. Общее число всех групп от нулевого до высшего

порядка, как отмечено выше, равно (1 + kj ).

j

Дальнейшее изложение материала о группировках будет иллюстрироваться примером, в котором при n = 2 первым группирующим признаком является «студенческая группа» с k1 = 4 (т.е. имеется 4 студенческие группы), вторым группирующим признаком — «пол» с k2 = 2, а при n = 3 добавляется третий группирующий признак — «оценка», полученная на экзамене, с k3 = 4. В этом примере (при n = 3 ) имеется 32 конечные группы (третьего порядка), образующие класс с именем (все элементы которого имеют имя) «студенты». Существуют 3 класса групп 2-го порядка (C32 = 3 ). Класс А1, образуемый подмножеством группирующих признаков (12), включает 8 групп с именем «юноши или девушки такой-то студенческой группы», А2 — образуемый подмножеством (13), включает 16 групп с именем «студенты такой-то группы, получившие такую-то оценку», и А3 — образуемый подмножеством (23), включает 8 групп с именем «юноши или девушки, получившие такую-то оценку на экзамене». Классов групп первого порядка имеется также 3 (C31 = 3 ). Класс Б1, образуемый подмножеством (1), включающий 4 группы с именем «такая-то студенческая группа», Б2 — подмножеством (2), включающий 2 группы с именем «юноши или девушки», и Б3 — подмножеством (3), включающий 4 группы с именем «студенты, получившие такую-то оценку на экзамене».

1.9. Статистические совокупности и группировки

41

Каждой конечной группе соответствует конкретное значение так называемого мультииндекса I порядка n (состоящего из n элементов), который имеет следующую структуру: i1i2 . . . in (I = i1i2 . . . in ). Для всех наблюдений конечной группы, имеющей такое значение мультииндекса, первый группирующий признак находится на уровне (имеет ранг) i1 , второй группирующий признак — на уровне i2 и т.д., последний, n-й — на уровне in. Линейная последовательность (последовательность в списке) значений мультииндекса совпадает с последовательностью конечных групп в матрице наблюдений. На первом месте стоит значение I1 , все элементы которого равны единице (конечная группа, для всех наблюдений которой все группирующие признаки находятся на первом уровне). Далее работает правило: быстрее меняются элементы мультииндекса, соответствующие более младшим группирующим признакам. Так, в иллюстрационном примере при n = 2 последовательность значений мультииндекса такова: 11, 12, 21, 22, 31, 32, 41, 42. Последним значением мультииндекса является IK = k1k2 . . . kn . Поскольку по-

следовательность значений мультииндекса однозначно определена,	I
	означает
суммирование по всем значениям мультииндекса от I1 до I .	I =I1

В некоторых случаях мультииндексы групп называют кодами групп. После завершения группировки столбцы группирующих признаков часто исключаются из матрицы наблюдений, т.к. содержащаяся в них информация сохраняется в муль- тииндексах-кодах.

Если из «полного» мультииндекса порядка n вычеркнуть некоторые элементыпризнаки, то получается мультииндекс более низкого порядка n , который именует определенную группу порядка n . Операция вычеркивания проводится заменой в исходном мультииндексе вычеркиваемых элементов символом « » (иногда используется символ точки или какой-нибудь другой). Это необходимо для того, чтобы сохранить информацию о том, какие именно признаки вычеркнуты из мультииндекса. В иллюстративном примере группы класса А1 имеют мультииндекс со звездочкой на третьем месте, а класса Б2 — на первом и третьем местах. Для того чтобы подчеркнуть принадлежность мультииндекса I к конечным группам, мультииндексы групп более низкого порядка можно обозначать I( ).

Теперь вводится еще один специальный мультииндекс J , который в «полном формате» (при порядке n ) представляет собой последовательность целых чисел от 1 до n и обозначается G. В этом мультииндексе J все элементы, которые заменены звездочкой в мультииндексе I( ), также заменены на звездочку. Пусть J — последовательность из n звездочек (все элементы заменены на « »). Для индексации групп можно использовать пару индексов I, J (в этом случае к I излишне приписывать ( ) ). В этом случае из этих мультииндексов можно в действительности вычеркнуть все звездочки, т.к. информация о вычеркнутых признаках сохраняется в J . Так, например, группа «студенты второй группы, получившие «отлично»

42	Глава 1. Основные понятия

на экзамене» именуется мультииндексом I( ), равным 2 4, или парой мультииндексов I, J — 24, 13. Второй способ удобен, когда речь идет о группах низких порядков. В данном изложении будет использоваться первый способ индексации.

Группа I( ) (с мультииндексом I( ) ) является объединением конечных групп с такими значениями мультииндекса I , что: а) все те их элементы, которые соответствуют элементам, не вычеркнутыми из I( ), совпадают с ними; б) все элементы, соответствующие вычеркнутым из I( ) элементам, пробегают все свои зна-

чения. Такую операцию объединения естественно обозначить	. Так, например,
	I( )

группа 1 4 является объединением групп 114 и 124, а группа 42 — объединением групп 421, 422, 423 и 424. Если I( ) = J , объединяются все конечные группы и образуется исходная совокупность, а сам I( ), равный J , формально выступает мультииндексом всей совокупности.

Через J обозначается класс групп, образованных подмножеством признаков, не замененных в J звездочками. Так, продолжая пример, А2 является классом 1 3, а Б2 — классом 2 . Количество групп в J -классе KJ является произведением kj c такими j, которые не заменены звездочками в J ; такую операцию произведения естественно обозначить . При J = G оно равно количеству ко-

J

нечных групп K, а при J = J принимается равным 1 (исходная совокупность — одна).

Пусть NI — число наблюдений-объектов в конечной группе I . Тогда число наблюдений в группе более низкого порядка I( ), которое можно обозначить NI( ),

равно	NI , где операция	выполняется аналогично операции	. Эти числа
I( )	I( )		I( )

называются групповыми численностями, все они больше либо равны нулю, в случае равенства нулю соответствующая группа пуста. Если I( ) = K , то NI( ) = N .

Каждому наблюдению-объекту можно также поставить в соответствие мультииндекс порядка n + 1, имеющий структуру IiI , где I мультииндекс конечной группы, к которой принадлежит данное наблюдение, а iI — номер данного наблюдения в этой группе. Так, в иллюстрационном примере 3125 — мультииндекс пятой девушки в списке девушек третьей группы, получивших на экзамене «удовлетворительно». Исходный линейный индекс i наблюдения с мультииндексом IiI

I−

равен NI + iI , где I− — значение мультииндекса конечной группы, предше-

I =I1

ствующее I в последовательности всех значений мультииндекса. Так, в примере значение мультииндекса 423 предшествует значению 424, а значение 314 — значению 321.

Мультииндекс, в котором (n + 1)-й элемент замещен звездочкой, обозначает все множество наблюдений группы. Так, 1 3 мультииндекс списка всех студентов первой группы, получивших на экзамене «хорошо».