Ведение в социально - экономическую статистику. Учебник. Новосибирск, 2004. 739 с

2.5. Упражнения и задачи

83

2.5. Упражнения и задачи

Упражнение

На основании данных о росте студентов курса построить ряд распределения, дать табличное и графическое его изображение (представив на графике гистограмму, полигон, кумуляту). Какие из графиков соответствуют эмпирической функции плотности распределения вероятности, а какие — эмпирической функции распределения вероятности? Изобразить на графике гистограммы положение моды, медианы и средней арифметической. Подтвердить их соотношения расчетами характеристик центра распределения. Найти дисперсию, коэффициент вариации, а также показатели асимметрии и эксцесса. Оценить степень однородности элементов совокупности.

Задачи

1.Определить пункты, которые являются выпадающими из общего ряда.

1.1а) частота, б) плотность, в) гистограмма, г) график;

1.2а) арифметическое, б) геометрическое, в) алгебраическое, г) квадратическое;

1.3а) мода, б) медиана, в) квантиль, г) квартиль;

1.4а) бимодальное, б) нормальное, в) асимметричное, г) U-образное;

1.5а) математическое ожидание, б) биномиальное, в) нормальное, г) среднее;

1.6а) момент, б) период, в) дисперсия, г) среднее;

1.7а) центральный, б) начальный, в) исходный, г) момент.

2.Количественный признак принимает значения 2, 3, 4, 9. Какова плотность относительной частоты 2-го и 3-го элемента?

3.Распределение семей по доходам (в условных единицах в месяц) представлено в группированном виде количеством Nl семей, попавших в l полуинтервал (zl−1; zl ] (табл. 2.2).

Заполните в таблице недостающие характеристики. Изобразите графики гистограммы, полигона и кумуляты.

4.Какова средняя хронологическая величин 1, 2, 5, 9, характеризующих последовательность равных промежутков времени?

84				Глава 2. Описательная статистика
			Таблица 2.2
	(zl−1; zl]	500;700	700;900	900;1100	1100;1300	1300;1500
	Nl	4	8	5	2	1
	αl
	Fl
	fl

5.На что нужно поделить y1 − y0 , чтобы получить среднюю хронологическую на временном отрезке [0, 1] ?

6.Чему равны простые средние: геометрическая, арифметическая, гармоническая чисел 1, 2, 4?

7.Три объекта характеризуются следующими относительными признаками: 1 6 ,

1 3 , 1 4 . Веса этих объектов по числителю равны 0.1, 0.2, 0.7, вес первого объекта по знаменателю — 0.15. Чему равен вес второго объекта?

8.Какая из двух величин

(a + b + c)	, или			3
3		1		1		1
				+		+
			a		b		c

больше и почему?

9.Капитал за первый год не изменился, за второй — вырос на 12%. Средне-

годовой коэффициент, одинаковый по годам, равен 3 8 . Каков темп роста среднегодового капитала?

10.За первое полугодие капитал вырос на 12.5%, за второе — в 2 раза. Какова среднегодовая доходность (в процентах), если позиция инвестора была пассивной, или если он реинвестировал доход в середине года?

11.Совокупность предприятий была разделена на группы в зависимости от величины стоимости реализованной продукции. Количество предприятий в каждой группе и среднее значение стоимости реализованной продукции в каждой группе даны в таблице:

2.5. Упражнения и задачи						85
	Номер группы	1	2	3	4	5
	Количество предприятий в группе (ед.)	4	4	5	7	5
	Среднее значение стоимости реализован-	15	20	25	30	35
	ной продукции (ден. ед.)

Определить среднюю стоимость реализованной продукции по совокупности предприятий в целом.

12.По металлургическому заводу имеются следующие данные об экспорте продукции:

Вид продукции	Доля вида продукции в	Удельный вес продукции
	общей стоимости реали-	на экспорт, %
	зованной продукции, %
Чугун	25	35
Прокат листовой	75	25

Определить средний удельный вес продукции на экспорт.

13. Совокупность населенных пунктов области была разделена на группы в зависимости от численности безработных. Количество населенных пунктов в каждой группе и средняя численность безработных в каждой группе даны в таблице:

Номер группы	1	2	3	4	5
Количество населенных пунктов в группе	4	8	2	3	3
Средняя численность безработных	10	12	15	20	30

Определить среднюю численность безработных по совокупности населенных пунктов в целом.

14. В таблице даны величины стоимости основных фондов на конец года за ряд лет:

Год		0	1	2	3	4
Стоимость	основных	100	120	125	135	140
фондов на конец года

Предположим, что стоимость фондов на конец года t совпадает со стоимостью на начало года t + 1. Среднегодовой коэффициент равен 0.3. Определить:

а) среднегодовую стоимость основных фондов в 1, 2, 3 и 4 году;

86	Глава 2. Описательная статистика

б) среднегодовой темп прироста среднегодовой стоимости основных фондов за период с 1 по 4 годы.

15.В первые два года исленность занятых в экономике возрастала в среднем на 4% в год, за следующие три — на 5% и в последние три года среднегодовые темпы роста составили 103%. Определите среднегодовые темпы роста и базовый темп прироста численности занятых за весь период.

16.В первые три года численность безработных возрастала в среднем на 2% в год, за следующие три — на 4% и в последние два года среднегодовые темпы роста составили 103% . Определите среднегодовые темпы роста и базовый темп прироста численности безработных за весь период.

17.В таблице даны величины дохода (в %), приносимые капиталом за год:

Год	1	2	3	4
Доходность	10	12	8	6

Определить среднегодовую доходность капитала в течение всего периода, если:

а) позиция инвестора пассивна;

б) позиция инвестора активна.

18.В первом квартале капитал возрастает на 20%, во втором — на 15%, в третьем — на 10%, в четвертом — на 20%. Определите среднегодовую доходность капитала, если:

а) позиция инвестора пассивна;

б) позиция инвестора активна, т.е. он ежеквартально реинвестирует доход.

19.Во сколько раз вырастает ваш капитал за год, вложенный в начале года под 20% годовых, если вы

а) не реинвестировали проценты;

б) реинвестировали их один раз в середине года;

в) реинвестировали три раза в начале каждого очередного квартала;

г) реинвестировали в каждый последующий момент времени.

В первом квартале капитал возрастает на 12%, во втором — на 15%, в третьем — на 20%, в четвертом — на 15%. Определите среднегодовую доходность капитала, если:

2.5. Упражнения и задачи

87

20.Объем продукции в 1995 г. составил 107% от объема продукции 1990 г.,

втечение последующих двух лет он снижался на 1% в год, потом за 4 года вырос на 9% и в течение следующих трех лет возрастал в среднем на 2%

вгод. На сколько процентов возрос объем продукции за вес период? На сколько процентов он возрастал в среднем в год в течение этого периода.

21.Дана функция распределения F (x) = 1/(1 + e−x ). Найти медиану и моду данного распределения.

22. В эмпирическом распределении z0 = 0, все дельты = 1, F3 = 0.21, F4 = 0.4, F5 = 0.7, F6 = 0.77. Чему равны медиана и мода?

23.Известна гистограмма бимодального ряда наблюдений. На каком отрезке лежит медиана?

24.Медиана больше моды, где лежит среднее?

Какая из трех характеристик центра распределения количественного признака является квантилем и каким?

Медиана и средняя равны, соответственно, 5 и 6. Каково вероятное значение моды? Почему?

25.На основе информации о возрасте всех присутствующих на занятиях (включая преподавателя) определить характер асимметрии функции распределения?

26.Дать определение 5%-го квантиля и написать интерполяционную формулу расчет 5%-го квантиля для эмпирического распределения. Привести графическое обоснование формулы.

27.	В эмпирическом распределении		z0	= 0, все дельты				= 1, F4 = 0.4,
	F5 = 0.7, F6 = 0.8, среднее равно			4.3. Какова асимметрия: правая (+)
	или левая (−) ? Чему равен 75%-ый квантиль?
28.	Найти значение 30%-го квантиля, если известно эмпирическое распределе-
	ние:
		Границы интерва-	10–15		15–20	20–25		25–30
		лов
		Частоты	1		3	4		2
29.	Для ряда 1, 2, 3, 6 найти медианный и квартильный коэффициент вариации.
30.	Чему равна ордината кривой Лоренца при абсциссе 1 3 для ряда 1, 2, 3?
31.	Чему равен медианный коэффициент вариации для ряда 1, 2, 3?

88	Глава 2. Описательная статистика

32.Как посчитать децильный коэффициент вариации?

33.Задан ряд наблюдений за переменной x: 3, 0, 4, 2, 1. Подсчитать основные статистики данного ряда, среднее арифметическое, медиану, дисперсию (смещенную и несмещенную), показатель асимметрии и куртозиса, размах выборки.

34.Для представленных ниже комбинаций значений показателей асимметрии δ3 и эксцесса δ4 дать графическое изображение совокупности и указать на графике положение моды, медианы и средней арифметической:

а) δ3 > 0, δ4 > 3; б) δ3 < 0, δ4 > 3; в) δ3 < 0, δ4 < 3; г) δ3 > 0, δ4 = 3; д) δ3 = 0, δ4 > 3; е) δ3 < 0, δ4 = 3; ж) δ3 = 0, δ4 < 3.

Рекомендуемая литература

1.Венецкий И.Г., Венецкая В.И. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе. — М.: Статистика, 1979. (Разд. 1–4, 6).

2.Догуерти К. Введение в эконометрику. — М.: Инфра-М, 1997. (Гл. 1).

3.Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.: Статистика, 1977. Вып. 1. (Гл. 4, 5, 7).

4.(*) Коррадо Д. Средние величины. — М.: Статистика, 1970. (Гл. 1).

5.Judge G.G., Hill R.C., Griffiths W.E., Luthepohl H., Lee T. Introduction to the Theory and Practice of Econometric. John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 5).

Глава 3

Индексный анализ

До сих пор термин «индекс» использовался исключительно как указатель места элемента в совокупности («мультииндекс» — в сгруппированной совокупности). В данном разделе этот термин применяется в основном для обозначения показателей особого рода, хотя в некоторых случаях он используется в прежнем качестве; его смысл будет понятен из контекста.

3.1. Основные проблемы

В экономической статистике индексом называют относительную величину, показывающую, во сколько раз изменяется некоторая другая величина при переходе от одного момента (периода) времени к другому (индекс динамики), от одного региона к другому (территориальный индекс) или в общем случае — при изменении условий, в которых данная величина измеряется. Так, например, в советской статистике широкое распространение имел индекс выполнения планового задания, который рассчитывается как отношение фактического значения величины к ее плановому значению.

Значение величины, с которым производится сравнение, часто называют базисным (измеренным в базисных условиях). Значение величины, которое сравнивается с базисным, называют текущим (измеренным в текущих условиях). Эта терминология сложилась в анализе динамики, но применяется и в более общей ситуации. Если y0 и y1 — соответственно базисное и текущее значение величины,

то индексом ее изменения является λ01 = y1 .

y y0

90 Глава 3. Индексный анализ

В общем случае речь идет о величинах yt, измеренных в условиях t = 0, . . . , T ,

		ys
	и об индексах λrs = , где r и s принимают значения от 0 до T , и, как правило,
	y	yr
	r < s.

При таком определении система индексов обладает свойством транзитивности или, как говорят в экономической статистике, цепным свойством (нижний индексуказатель опущен): λrs = λrt1 λt1t2 ·. . . ·λtn s, где r , s и все ti , i = 1, . . . , n также находятся в интервале от 0 до T , и, как следствие, свойством обратимости:

λrs = λ1sr , поскольку λtt = 1.

Это — самое общее определение индексов, не выделяющее их особенности среди других относительных величин. Специфика индексов и сложность проблем, возникающих в процессе индексного анализа, определяется следующими тремя обстоятельствами.

1) Задача индексного анализа состоит в количественной оценке не только самого изменения изучаемой величины, но и причин, вызвавших это изменение. Необходимо разложить общий индекс на частные факторные индексы. Пусть (верхний

индекс-указатель опущен)
y = xa,	(3.1)
где y и x — объемные величины, a — относительная величина.
Примерами таких «троек» являются:

(a)объем производства продукта в стоимостном выражении, тот же объем производства в натуральном выражении, цена единицы продукта в натуральном выражении;

(b)объем производства, количество занятых, производительность труда;

(c)объем производства, основной капитал, отдача на единицу капитала;

(d)объем затрат на производство, объем производства, коэффициент удельных затрат.

Вобщем случае формула имеет вид

n
y = x aj ,	(3.2)
j=1

где все aj являются относительными величинами.

Примером использования этой формулы при n = 2 может явиться сочетание приведенных выше примеров (a) и (b). В этом случае y — объем производства

3.1. Основные проблемы

91

продукта в стоимостном выражении, x — количество занятых, a1 — производительность труда, a2 — цена единицы продукта. Этот пример можно усложнить на случай n = 3 : a1 — коэффициент использования труда, a2 — «технологическая» производительность труда, a3 — цена.

Дальнейшие рассуждения будут, в основном, проводиться для исходной ситуации ( n = 1, нижний индекс-указатель у a1 опускается).

По аналогии с величиной λrsy , которую можно назвать общим индексом, рассчитываются частные или факторные индексы для x и a :

λrs =	xs	, λrs =	as	.
x	xr	a	ar

Первый из них можно назвать индексом количества, второй — индексом качества.

Оба частных индекса, как и общий индекс, транзитивны и обратимы. Кроме того, вслед за (3.1) выполняется следующее соотношение (верхние индексыуказатели опущены): λy = λxλa, и поэтому говорят, что эти три индекса обладают свойством мультипликативности. Таким образом, факторные индексы количественно выражают влияние факторов на общее изменение изучаемой величины.

2) Пока неявно предполагалось, что величины y, x , a и, соответственно, все рассчитанные индексы характеризуют отдельный объект, отдельный элемент совокупности. Такие индексы называют индивидуальными, и их, а также связанные с ними величины, следует записывать с индексом-указателем i объекта (верхние индексы-указатели t, r, s опущены): yi, xi, ai, λyi, λxi, λai . До сих пор этот индекс-указатель опускался. Никаких проблем в работе с индивидуальными индексами не возникает, в частности, они по определению обладают свойством транзитивности и мультипликативности.

Предметом индексного анализа являются агрегированные величины. Предполагается, что yi аддитивны, т.е. выражены в одинаковых единицах измерения, и их можно складывать. Тогда (верхние индексы-указатели опущены)

N		N
y =	yi =	xiai.
i=1		i=1
N		будут записываться как (x, a), т.е. как
В дальнейшем выражения типа	xiai

i=1

скалярные произведения векторов x и a.

Благодаря аддитивности yi индексы λrsy рассчитываются однозначно и являются транзитивными.

	N
Если xi	также аддитивны, их сумму x = xi можно вынести за скобки
	i=1
и записать	y = xa, где a — средняя относительная величина, равная (αx, a),

92								Глава 3. Индексный анализ
				Таблица 3.1
		αxr	αxs	ar	as		λars	λasr = 1/λars
	1	0.3	0.7	1.25	1.0		0.8	1.25
	2	0.7	0.3	0.4	0.5		1.25	0.8
	Итого	1.0	1.0	0.66	0.85		1.30	0.7

αxi = xi x . Такая ситуация имеет место в приведенных выше примерах (b), (c), (d), если объемы производства и затрат измерены в денежном выражении.

В этом случае все формулы, приведенные выше для индивидуальных индексов, остаются справедливыми. Индексы агрегированных величин обладают свойствами транзитивности и мультипликативности.

Индексы агрегированных величин или собственно индексы должны обладать еще одним свойством — свойством среднего. Это означает, что их значения не должны выходить за пределы минимального и максимального значений соответствующих индивидуальных индексов. С содержательной точки зрения это свойство весьма желательно. Иногда индексы так и определяются — как средние индивидуальных индексов. Например, индексы динамики — как средние темпы роста.

Легко убедиться в справедливости следующих соотношений ( xi по-прежнему аддитивны):

λrs =				=	yr
	αr	λrs	, где αr		i	,
y	yi	yi	yi		yr
i
λrs =				=	xr
	αr	λrs, где αr			i		,
x	xi	xi	xi		xr
i
λrs =	αr	λrs	, где αr	=	αxis air				.
							αr	ar
a	ai	ai	ai
i							xi	i

Как видно из приведенных соотношений, индексы объемных величин являются средними индивидуальных индексов, т.к. суммы по i весов αryi и αrxi равны единице. Индекс же относительной величины этим свойством не обладает. В частности, он может оказаться больше максимального из индивидуальных индексов, если при переходе от условий r к условиям s резко возрастает вес αxi объекта с высоким показателем λrsa . И наоборот, индекс средней относительной величины может оказаться меньше минимального индивидуального индекса, если резко увеличивается вес объекта с низким относительным показателем.

Эту особенность индекса относительной величины можно проиллюстрировать следующим числовым примером при N = 2 (см. табл. 3.1).