ТОЭ ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

коэффициенты формы Z (Z11, Z12, Z21, Z22). Для этого в уравнениях формы A изменим знак тока I2 и решим их относительно переменных U1 и U2:

Из (2) следует:

Из (1) следует:

U

U 1

			1
	2		C

1A C

U1 = A·U2 B·I2

I1 = C·U2 D·I2

I

D

I

Z

I

Z

1

C

2

21

1

22

D

B

I

A

I 1

I 2

2

C

C

				(1)
				(2)
	I	2 .
	I 1		1	I 2 Z 11 I 1 Z 12 I 2 .
			C

Сравнивая полученные выражения с уравнениями четырехполюсника формы Z, находим соотношения между коэффициентами двух форм:

Z

A

;

Z

1

;

Z

1

;

Z

D

.

11

C

12

C

21

C

22

C

2. Схемы замещения четырехполюсника

Так как четырехполюсник характеризуется тремя независимыми коэффициентами, то из этого следует, что его простейшая схема замещения должна содержать три независимые элементы. Существует две такие схемы: а) Т-образная схема или схема звезды, б) П-образная схема или схема треугольника (рис. 135, а, б).

Установим соотношения между коэффициентами четырехполюсника A, B, C, D и параметрами элементов схем замещения.

На основании законов Кирхгофа получим для Т-образной схемы (рис.

135, а):

I1 I 2 I 0 I 2 (U 2 I 2 Z 2 )Y 0 U 2Y 0 I 2 (1 Z 2Y 0 ),

U1 I1Z1 I 2 Z 2 U 2 U 2 (1 Z1Y 0 ) I 2 (Z1 Z 2 Z1 Z 2Y 0 ).

I1

Z1

Z2 I2

I1

I0

Z0

I2

1

2

1

2

U1

Y0

U2

U1

Y1

Y2

U2

I0

I'

I''

1'

2'

1'

2'

а

б

Рис. 135

161

Сравнивая полученные выражениями с уравнениями четырехполюсника формы А, находим нужные соотношения:

A 1 Z Y

0

;

B Z

1

Z

2

Z

Z

2

Y

0

;

C Y

0

;

D 1 Z

2

Y

0

;

1

1

Y

C;

Z

A 1

;

Z

D 1

.

0

1

C

2

C

135,

I1

На основании законов Кирхгофа получим для П-образной схемы (рис.

б):

		U	1	U		2	I		0		Z		0	U			2		(I	2	U		2	Y	2		)Z		0		U	2	(1 Y	2		Z		0		) I		2		Z		0	,
I	2	I			I			I		2		U			2	Y		2	) U Y			1	U			2		(Y		1	Y	2	Y Y		2		Z		0		) I		2		(1 Y			1	Z	0	).
			2			1															1												1

Сравнивая полученные выражения с уравнениями четырехполюсника формы А, находим нужные соотношения:

A 1 Y 2 Z 0;

B Z 0;

C

Y

1 Y 2

Y

1

Y

2 Z 0;

D 1 Y 1Z0;

Z0 B;

Y 1

D 1

;

Z 2

A 1

.

B

B

Для

ства:	Z	1

симметричного четырехполюсника

Z	2	для Т-образной схемы и	Y	1	Y

должны выполняться равен- 2 для П-образной схемы.

Переход от Т-образной схемы к П-образной и наоборот выполняется по известным формулам преобразования схемы звезды в схему треугольника и наоборот.

3. Определение коэффициентов четырехполюсника

Коэффициенты четырехполюсника могут быть определены расчетным или экспериментальным путем. Если известна внутренняя структура (схема) четырехполюсника и параметры отдельных элементов, то коэффициенты четырехполюсника определяются расчетным путем по одному из двух методов.

Сущность первого метода состоит в том, что сложная схема четырехполюсника путем последовательных преобразований сворачивается к простейшей Т- или П-образной схеме. Коэффициенты четырехполюсника определяются по соответствующим формулам, полученным ранее для этих схем.

Пусть требуется определить коэффициенты четырехполюсника, схема которого приведена на рис. 136.

162

	Z1					Z2				Z5
1											2
				Z3					Z4
1'								2'

Рис. 136

Выполняется первое преобразование:

разуется в эквивалентную звезду	Z	6	, Z	7	, Z

треугольник

8 (рис. 137):

Z	2	, Z	3	, Z
				4

преоб-

	Z1		Z6					Z7		Z5
1											2
				Z8
1'									2'

Рис. 137

Затем выполняются последовательные преобразования

Z	2Э	Z	7	Z	5	,	Y	0	1/ Z	8	, после чего схема получает

Т-образный вид (рис. 138):

Z1Э Z1 Z 6 ,

стандартный

		Z1Э					Z2Э
1			Y0							2
1'										2'
			Рис. 138
Коэффициенты	четырехполюсника					находятся				по формулам для
Т-схемы:
A 1 Z1Э Y 0 ;	B Z1Э Z 2Э Z1Э Z 2Э Y 0 ;							C Y 0 ;		D 1 Z 2Э Y 0 .
	163

Сущность второго метода заключается в том, что коэффициенты четырехполюсника определяются через его входные сопротивления со стороны входных (Z1X и Z1K) и выходных (Z2X и Z2K) выводов в режимах холостого хода и короткого замыкания на противоположной стороне. Значения этих сопротивлений могут быть найдены аналитически методом свертки схемы четырехполюсника в соответствующем режиме (х.х. или к.з.) относительно его выводов.

При питании четырехполюсника со стороны первичных выводов применяются уравнения формы А:

U1 = A·U2 + B·I2

I1 = C·U2 + D·I2

В режиме холостого хода на вторичной стороне I2X = 0, а в режиме короткого замыкания U2K = 0. Из уравнений следует:

Z

U

1X

A U

2 X

0

A

,

1X

I

C U

0

C

1X

2 X

Z

U

1K

0 B I

2K

B

.

1K

I

0 D I

D

1K

2K

При питании четырехполюсника со стороны вторичных выводов применяются уравнения формы В:

U2 = D·U1 + B·I1,

I2 = C·U1 + A·I1.

В режиме холостого хода на первичной стороне I1X = 0, а в режиме короткого замыкания U1K = 0. Из уравнений следует:

Z

U

2 X

D U

1X

0

D

,

2 X

I

C U

0

C

2 X

1X

Z

U

2K

0 B I

1K

B

.

1K

I

0 A I

A

2K

1K

Совместное решение полученных уравнений позволяет установить связь между входными сопротивлениями четырехполюсника в режиме холостого хода и короткого замыкания, но не дает возможности определить его коэффициенты:

Z 1X		Z 2 X	.
Z 1K		Z 2 K

Для определения коэффициентов четырехполюсника берут любые три из четырех уравнений для входных сопротивлений и дополняют их уравнением связи между коэффициентами A D B C = 1, после чего решают

164

полученную систему из четырех уравнений. В качестве примера возьмем уравнения для Z1X, Z2X и Z2K, тогда получим:

	Z			A	,	откуда
		1X		C
	Z 2 X			D	,	откуда
				C
	Z			B	,	откуда
		2 K		A
	A D B C 1

C A	1
	Z 1X
D A		Z 2 X
		Z 1X
B A Z
		2K

(1)

(2)

(3)

(4)

Из уравнений (1), (2) и (3) делаем подстановку в уравнение (4), полу-

чим:

A A

Z

2 X

A A

Z

2K

1

,

откуда следует

A

Z

1X

.

Z

Z

Z

Z

1X

1X

2 X

2K

Остальные коэффициенты (B, C, D) получим путем подстановки найденного значения А в уравнения (1), (2) и (3).

При извлечении квадратного корня получаются два значения коэффициента А и, соответственно, всех остальных коэффициентов, отличающие-

ся знаком (+ или ) или аргументом в		о	A' A ej		,
		180 , например
A'' A' A e	j( 180)

Двойственность решения объясняется тем фактом, что входные сопротивления любой цепи, в том числе четырехполюсника, не зависят от полярности выводов. С другой стороны, изменения полярности двух выводов четырехполюсника (1 1' или 2 2') приводит к изменению знаков перед всеми его коэффициентами. Таким образом, для утверждения знаков перед коэффициентами необходимы дополнительные исследования.

Входные комплексные сопротивления четырехполюсника могут быть измерены экспериментально по схеме рис. 139:

	А	1	2
V			П
		1'	2'
		Рис. 139

Комплексное входное сопротивление цепи находится по формуле:

165

Zвх UI e j ,

где U, I, показания приборов в исследуемой цепи.

4. Способы соединения четырехполюсников

Сложная цепь или схема может содержать несколько четырехполюсников, соединенных между собой тем или иным образом. При расчете таких схем отдельные группы четырехполюсников можно заменить эквивалентными одиночными четырехполюсниками и, таким образом, упростить схему цепи и, соответственно, решение задачи.

Различают 5 способов соединения четырехполюсников между собой: а) каскадное, б) последовательное, в) параллельное, г) последователь-

но-параллельное, д) параллельно-последовательное.

На рис. 140 показано каскадное соединение двух четырехполюсников П' и П'':

I1	I1'	I2'	I1''	I2''	I2
1					2
U1	U1'	U2'	U1''	U2''	U2
1'					2'
		Рис. 140
Для каскадного соединения, как видно из схемы удовлетворяются
следующие равенства (в матричной форме):

U

U

'

;

U

'

U

' '

;

U

' '

U

.

1

1

2

1

2

2

I

1

I

'

I

2

'

I

' '

I

2

' '

I

2

1

1

Используя уравнения четырехполюсника формы А, получим:

U 1	U 1 '	A' U 2 '	A' U 1 ''	A' A'' U 2 ''	A U 2 .
I 1	I 1 '	I 2 '	I 1 ''	I 2 ''	I 2

Следовательно, матрица коэффициентов эквивалентного четырехполюсника равен произведению матриц каскадно включенных четырехполюсников:

166

A

A' A''

A'

B'

A''

B''

A' A'' B'C''

A' B'' B' D''

C'

D'

C''

D''

C' A'' D'C''

C' B'' D' D''

.

При последовательном соединении двух четырехполюсников вклю-

чаются последовательно их входы и последовательно их выходы (рис.

141):

I1

I1'

I2'

I2

1

2

U1'

П'

U2'

I1''

I2''

U2

U1''

П''

U2''

1'

2'

Рис. 141

Для последовательного соединения, как следует из схемы (рис. 165),

удовлетворяются следующие равенства:

U

1

U

1

' U

1

'';

U

2

U

2

' U

2

'';

I

1

I

1

' I

1

'';

I

2

I

2

' I

2

''

.

Используя уравнения четырехполюсника формы Z, получим:

U

U

'

U

''

I

'

I

''

I

I

1

1

1

Z '

1

Z ''

1

Z ' Z ''

1

Z

1

.

U 2

U 2 '

U 2 ''

I 2 '

I 2 ''

I 2

I 2

Следовательно, матрица коэффициентов

Z

эквивалентного четы-

рехполюсника равна
рехполюсников:	Z

суммеZ' Z

матриц последовательно включенных четы-

'' .

При параллельном соединении двух четырехполюсников включаются параллельно их входы и параллельно их выходы (рис. 142):

I1	I1'		I2'	I2
1				2
	U1'	П'	U2'
U1	I1''		I2''	U2
	U1''	П''	U2''
1'				2'
		Рис. 142
		167

Для параллельного соединения, как следует из схемы (рис. 166), удовлетворяют следующие равенства:

I	1	I	1	' I	1	''

;

I	2	I	2	' I	2	' '

;	U

1	' U	'' U	1
	1

;

U	2	' U	2	'' U	2

.

II

Используя уравнения четырехполюсника формулы Y, получим:

1

I

1

'

I

1

' '

Y '

U

1

'

Y ' '

U

1

' '

Y ' Y ' '

U

1

Y

U

1

.

I

'

I

' '

'

' '

2

2

2

U

2

U

2

U

2

U

2

Y

Следовательно, матрица коэффициентов

эквивалентного четырех-

полюсника люсников:

равна суммеY Y ' Y '

матриц последовательно включенных четырехпо-

' .

При параллельно-последовательном соединении двух четырехполюсников их входы включаются параллельно, а выходы – последовательно. При свертке схемы используются уравнения формы G:

где

G

I

I

'

I

''

1

1

1

G' G''

U

1

G

U

1

,

I

I

U

2

U

'

U

2

''

2

2

2

G' G' '

– матрица коэффициентов [G] эквивалентного четы-

рехполюсника.

При последовательно-параллельном соединении двух четырехполюсников их входы включаются последовательно, а выходы – параллельно. При свертке схемы используются уравнения формы H:

																					I					I
U			1			U				'			U				' '		H ' H ' '			1		H			1
								1							1															,
	I						I		'					I		' '
		2						2							2					U		2			U			2

где	H H ' H ''	матрица коэффициентов [H] эквивалентного че-

тырехполюсника.

5. Характеристические параметры симметричного четырехполюсника

Для симметричного четырехполюсника коэффициент								A D	и систе-
ма уравнений формы А имеет вид:
U 1 A					U		2 B I 2
	C					2 A I 2
I 1				U
	A	2	B C 1

Характеристическим сопротивлением четырехполюсника Z C называется такое сопротивление нагрузки Z 2 Z C , при котором входное сопро-

168

тивление четырехполюсника со стороны первичных выводов также равно сопротивлению нагрузки:

	Z		Z			U
		C		2		I

2	Z			U		1
		1		I
2					1

Установим связь между характеристическим сопротивлением	Z	C	и

коэффициентами четырeхполюсника А, В, С. Для этой цели преобразуем уравнения четырехполюсника:

U

AU

BI

U

B

I

AZ

B

1

2

2

A

2

C

2

ZC

I

CU

AI

U

A

I

C Z

A

1

2

2

2

C

2

C

Z C

Разделим уравнение (1) на уравнение (2):

(1)

(2)

откуда получаем

из (1)

Z

U

1

AZ

C

B

Z

C ,

1

I

CZ

A

1

C

Z

B

Z

e

j

C

C

C

, где

90

90

;

C

C

U1

A

B

A

Me j e e j e j eg ;

BC

U2

ZC

	I							g
из (2)		1		A CZ	C	A	BC e		,
	I
		2
где g = α + jβ = ln(		A		BC	) – постоянная (коэффициент) передачи четы-

рехполюсника.

Вещественная часть коэффициента передачи показывает, как изменяется модуль напряжения (тока) при переходе через четырехполюсник, поэтому называется коэффициентом затухания:

n		U
		U

1 2

n			I
			I

1 2

[Hп] или [Непер] – основная единица измерения

затухания.

Затухание в 1Нп соответствует уменьшению модуля величины в е = 2,72 раза. На практике для измерения затухания сигналов применяется другая, более удобная для практики единица, а именно: 1 децибелл [дБ], которая определяется согласно уравнению:

		U1	1
					1,122 раза.
	20lg		[дБ] ; 1 дБ = 1020
		U2

169

Соотношение между единицами затухания:

1Нп = 8,086 дБ ; 1дБ = 0,115Нп.

Мнимая часть коэффициента передачи фаза напряжения (тока) при переходе через называется коэффициентом фазы:

			I1		I 2
U1	U 2

показывает, как изменяется четырехполюсник, поэтому

[рад]

Характеристическое сопротивление

Z C

и коэффициент передачи

g j

называются характеристическими параметрами четырехполюс-

ника.

Выразим коэффициенты четырехполюсника через его характеристи-

ческие параметры	Z	C	и	g	.

Преобразуем уравнение связи между коэффициентами:

A2 BC A BC A BC 1 .

Так как	A	BC e	g	, то, следовательно,
		A		BC	1		1		e	g
								g
				A	BC		e

Решаем совместно полученные уравнения:

.

Откуда следует, что

A	e

A		BC e		g
A		BC e	g
g	e	g
		chg	,
	2

	e	g	e
B C			2

g

shg

.

Учитывая, что

B Z C

Z C

B

B

C

C

Z

	B
	B C
C	shg		,

B C , получим для коэффициентов:

C

C		B C			1	shg .
		Z C			Z C

С учетом этих выражений основные уравнения формы А получат окончательный вид:

U

1

U

2

ch g I

2

Z

C

shg

I

1 I 2

ch g

U

2

shg

Z C

Данная форма уравнений четырехполюсника используется в теории цепных схем и в теории электрических фильтров.

170