ТОЭ ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

				R1					X1							I										R2										X2
			E				A																									П
												Рис. 56
По закону Ома ток в схеме равен:
				I			E											E
							Z				(R R )						2	( X							X							2 .
																														)
																								1				2
												1			2
Активная мощность приемника:
																		E		2		R
				P I				2	R
																								2									2 .
																			2
					2				2			(R		R )						( X						X					)
																									1				2
													1			2
Активная мощность источника: PE=E I.
При постоянных параметрах источника энергии активная мощность
приемника зависит от его параметров:																					P					f (R						, X			2	)	.	Исследуем эту
																						2								2
функцию на максимум при изменении отдельных параметров.
Условие первое: X2 = var, R2 = const:
	dP		0,					E		2						2X								0
	2											R (2X											)				или							X				X		1 .
	dX											2			1							2														2
		2
Максимум мощности приемника Р2max																							имеет место при условии ра-
венства реактивных сопротивлений приемника и источника по модулю и
противоположности их по знаку, например, если реактивное сопротивле-
ние источника носит индуктивный характер, то реактивное сопротивление
приемника должно быть емкостным, и наоборот.
Условие второе: R2 = var, X2 = const.
dP	0,				2	(R R )					2	E	2	R (2R 2R ) 0																									R
2				E																														или				R
							1		2						2				1						2
dR																																						2		1 .
2
Максимум мощности приемника имеет место при равенстве активных
сопротивлений приемника и источника.
Абсолютный максимум мощности приемника наблюдается при вы-
полнении обоих условий и равен:

		E		R			E	2
P max
			2	2
					2
2	(R		R )				4R
	1			2				1

.

В режиме максимума потребляемой мощности работают приемники в линиях связи.

71

Коэффициент полезного действия передачи энергии от

			P
	приемнику равен отношению активных мощностей		2
			P
			1

источника к

		R
		2	и не
	R R
	1	2

зависит от величины их реактивных сопротивлений. В режиме максимума мощности (R2 = R1) КПД передачи составляет 0,5. Линии электропередачи (ЛЭП) работают с КПД = 0,90…0,95, что соответствует соотношению активных сопротивлений приемника и источника (генератора + ЛЭП)

R2 / R1 = 10…20.

На графической диаграмме рис. 57 показаны энергетические характеристики передачи энергии при R2 = var, Х2 = const: P2, = f(R2).

P2,
1
Pmax
	P2

0,5

R2

R2 = R1

Рис. 57

11. Компенсация реактивной мощности приемников энергии

Активная мощность приемника P = UIcos характеризует интенсивность потребления им энергии и зависит от режима его работы.

Реактивная мощность приемника Q = UIsin характеризует интенсивность обмена энергией между электромагнитным полем приемника и остальной цепью. Эта мощность положительна при индуктивном характе-

ре приемника (	0	) и отрицательна при емкостном характере ( 0 ). В

промышленных условиях преобладающее большинство приемников имеют

активно-индуктивный характер (	0	) и потребляют положительную ре-

активную мощность QL 0 . Параллельное подключение к таким приемникам конденсаторов, потребляющих отрицательную реактивную мощность QC 0 и, таким образом, являющихся генераторами реактивной мощности для приемников, позволяет уменьшить (компенсировать) суммарную реактивную мощность: Q QL QC .

72

Компенсация реактивной мощности позволяет при неизменной активной мощности уменьшить потребляемый от сети ток:

I P2 (QL QC )2 . U

Схема цепи в режиме компенсации реактивной мощности показана на рис. 58.

I1

RЛ

XЛ

UЛ

R2

I2

IС

U1

X2

U2

Xc

Рис. 58

При увеличении емкости компенсирующего конденсатора С пропор-

ционально будет увеличиваться потребляемый им ток

I

C

U

2

C

. Ток ли-

нии, равный

геометрической сумме токов нагрузки

и

конденсатора

(

I

1

I

2

I

C ),

вначале будет уменьшаться (при QL>QC),

достигнет своего

минимального значения при полной компенсации реактивной мощности

I1min

Ia

I	2	cos
		2

, а затем начнет возрастать при QC > QL (рис. 59).

	+1
	U2
IC	IC		IC
I1	I1	I1	I2

+j		j
IC	IC	IC

Рис. 59

Из геометрии рис. 59 следует соотношение:

73

I	I	а	tg	2	I	а	tg
C							2

Тот же ток из закона Ома:

I		U	2	U
					2
C		X
			C

	P	(t
	U

C

g 2

.

tg ) 2

.

Из совместного решения этих двух уравнений вытекает формула для расчeта емкости компенсирующего устройства от первоначального значения tg 2 до заданного tg 2 :

			P 106
	C			(tg 2 tg 2 ) [мкФ].
			U 2

Сопротивление воздушных ЛЭП носит активно-индуктивный характер с существенным преобладанием реактивного сопротивления (XЛ >> RЛ), поэтому падение напряжения в линии UЛ = I·(RЛ + jXЛ) почти на 90o опережает ток. На рис. 58 показано семейство векторных диаграмм токов и напряжений для разных значений компенсирующей емкости С = var при постоянном значении напряжения в начале линии U1 const .

Из анализа семейства векторных диаграмм рис. 58 следует, что увеличение степени компенсации реактивной мощности повышает напряжение на выводах нагрузки (U2 U2 U2 ), при этом потеря напряжения в линии U = U1 – U2 уменьшается и может быть даже отрицательной. На практике указанная функциональная зависимость U2 = f(C) используется для поддержания заданного уровня напряжения на выводах (шинах)

нагрузки U2 = const при изменении ее параметров.

+1

+1

+1

U2

U1

U1

U2

U1

U2

I1

I1

I1

+j

j

+j

j

+j

j

а

б

в

Рис. 60

74

Таким образом, посредством компенсации реактивной мощности нагрузки в энергосистеме решаются две важные технико-экономические задачи. Во-первых, это уменьшение потерь мощности в линии электропе-

редачи (

PЛ

I	2	R
		Л

) и повышение ее КПД вследствие уменьшения тока.

Во-вторых, с помощью регулируемых компенсирующих устройств осуществляется управление напряжением в конце линии, поддержание его на заданном номинальном уровне при изменении потребляемой мощности в широком диапазоне.

12. Методы расчета цепей переменного тока

Для расчета электрических цепей переменного тока применимы все расчетные методы, полученные ранее для цепей постоянного тока, а именно:

а) метод преобразования (свертки) схемы; б) метод законов Кирхгофа; в) метод контурных токов;

г) метод узловых потенциалов; д) метод двух узлов;

е) метод эквивалентного генератора.

Отличительной особенностью расчета цепей переменного тока является то, что исходные параметры отдельных элементов схемы задаются в комплексной форме. Целью расчета цепей переменного тока энергетического характера является определение действующих значений напряжений

итоков, а также активных и реактивных мощностей отдельных источников

иприемников энергии. По этой причине на начальном этапе расчета синусоидальные по форме источники энергии заменяют их комлексными дей-

ствующими значениями по форме

e(t) Em sin( t ) E

Em	e	j
2

, все

математические операции в процессе решения выполняются также в комплексной форме. Результаты расчета для напряжений и токов представля-

ют в показательной форме

U

Ue	j

, а для мощностей − в алгебраической

форме S P jQ . В цепи переменного тока каждой точке электрической схемы соответствует определенное значение комплексного потенциала. Если на комплексной плоскости в выбранном масштабе нанести координаты всех точек схемы, а затем соединить точки на графической диаграмме прямолинейными отрезками точно так, как они соединены между собой на электрической схеме, то получим топографическую диаграмму потенциалов. На топографической диаграмме потенциалов можно графически определить напряжение между двумя произвольно выбранными точками, для этого достаточно соединить выбранные точки отрезком прямой, при этом длина отрезка в выбранном масштабе равна модулю, а угол с вещественной осью − аргументу комплексного числа.

75

Расчет цепей переменного тока, как правило, иллюстрируется построением топографической диаграммы потенциалов, совмещенной с векторной диаграммой токов. Ниже приведен пример расчета сложной цепи переменного тока с построением топографической диаграммы потенциалов и векторной диаграммы токов. Все операции расчета выполнены на ЭВМ в

MathCAD.

a	I1	R1	X1	c	R2	X2	I2 b
		U1	R3		I3	U2
E1			f		U3		E2
			X3
				n
			Рис. 61
Задана схема цепи (рис. 61) и параметры отдельных элементов в ком-
плексной форме:

		j 28deg
		146e
E		j	35deg V
		152e
		0

			48	31j
	Z		43	22j
			56	32j

Расчет схемы методом узловых потенциалов:

V2 0

			E1				E2
V1			Z1				Z2
		1			1				1
		Z1			Z2				Z3

V1 120.727 V
arg(V1) 15.835	deg

Va V2	E
	1
Vb V2	E2

	I 1		V2 V1 E1
			Z1

Va	146 V	arg(Va)			28 deg
Vb	152 V	arg(Vb)			35 deg
I 2	V2 V1 E2			I 3		V1 V2
	Z2					Z3

76

1.79

I1.136 A

1.872

				49.975
	arg(I )			54.137		deg
				13.91

Топографическая диаграмма потенциалов и векторная диаграмма токов (рис. 62).

V	( 0	Va V1	0	T
				Vb V1 )
140
120
100
80

Re(V )
Re(J) 50	60

40
20
100	80	60	40	20
20

J	0	I 1		I 2		T
			0		0	I 3

0

20

40

60

80

100

Im(V ) Im(J) 50

Рис. 62

Т5. РЕЗОНАНС В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

1.Определение резонанса

Вэлектрической цепи, содержащей катушки индуктивности L и конденсаторы C, возможны свободные гармонические колебания энергии

								Li	2
	между магнитным полем катушки					W
						M		2
	денсатора	WЭ		Cu 2	. Угловая частота этих
				2
						77

и электрическим полем кон-

колебаний o, называемых

свободными или собственными, определяется структурой цепи и параметрами ее отдельных элементов R, L ,C.

Резонансным режимом цепи или просто резонансом называется явление увеличения амплитуды гармонических колебаний энергии в цепи, наблюдаемое при совпадении частоты собственных колебаний o с частотой вынужденных колебаний , сообщаемых цепи источником энергии

( o = ).

В резонансном режиме колебания энергии между магнитным и электрическим полями замыкаются внутри цепи, обмен энергией между источником и цепью отсутствует, а вся поступающая от источника энергия преобразуется в другие виды, т.е. электрическая цепь по отношению к источнику энергии ведет себя как чисто активное сопротивление R (активная проводимость G). На этом основании условие для резонансного режима можно сформулировать через параметры элементов схемы, а именно: входное сопротивление и, соответственно, входная проводимость схемы со стороны выводов источника энергии должна носить чисто активный характер:

Zвх = Rвх; Yвх = Gвх;

Xвх = 0;

Bвх = 0;

или в комплексной форме:

Im[Zвх] = 0,

Im[Yвх] = 0.

2. Резонанс напряжений

Резонанс в цепи с последовательным соединением источника энергии

и реактивных элементов L и C получил название резонанса напряжений.

Простейшая схема такой цепи показана на рис. 63.

i

R

L

C

uR

uL

uC

e

u

Рис. 63

Комплексное входное сопротивление схемы:

Z

вх

R j X

L

X

C

R

.

Условие резонанса напряжений: XЭ = XL

XC

= 0

или

L

1

0

,

C

откуда 0 =

1

резонансная или собственная частота.

LC

78

Из полученного равенства следует, что резонансного режима в цепи можно достичь изменением параметров элементов L и C или частоты источника .

В резонансном режиме полное сопротивление схемы имеет минимальное значение и равно активному сопротивлению:

Z	R		X		X
		2					2
				L		C

= R,

а ток максимален и совпадает по фазе с напряжением источника: I = E / R;

= 0.

Векторная диаграмма напряжений и тока показана на рис. 64.

+1

UC I

UL

U = UR

+j	UL	–j
		UC

Рис. 64

Напряжения на реактивных элементах равны по модулю, противоположны по фазе и взаимно компенсируют друг друга:

U	L	I jX	L

jU

X	L
R

;

U	C	I

jX		jU	X	C
	C		R

,

а напряжение на резисторе равно напряжению источника: UR = IR = U = E.

Напряжения на реактивных элементах	U		U		U	X	L	U	X	C
		L		C		R			R

могут значительно превосходить напряжение источника U = Е при усло-

вии, что XL = XC >> R.

Выясним энергетические процессы, протекающие в цепи в резонансном режиме. Пусть в цепи протекает ток i = Imsin t, тогда напряжение на конденсаторе составит:

u

1

i dt

I

m cos t

I

m

cos t I

L

cos t

m

C

C

C

1

C

C

LC

Сумма энергий магнитного и электрического полей равна:

.

Li2

Cu2

L I

2

sin2 t C

L

2 cos2

L I

m

2

W W

W

m

I

t

const.

M

Э

2

2

2

C

m

2

79

Таким образом, сумма энергий магнитного и электрического полей равна постоянному значению. Это значит, что между магнитным и электрическим полями происходит непрерывный обмен энергией, суммарное значение которой постоянно, а обмен энергией между источником и цепью отсутствует, при этом поступающая от источника энергия преобразуется в другие виды.

Электрическая цепь с последовательным соединением элементов R, L, C в технике получила название последовательного колебательного контура. Свойства такой цепи как колебательного контура характеризуют сле-

	дующие параметры:	0		1
				LC
	волновое сопротивление,			Q

	резонансная частота,		=
		добротность контура.
	R

	L	1		L
0		C		C
		0

Чем больше добротность контура Q, тем выразительнее проявляются в нем резонансные явления, например, напряжения на реактивных элементах больше напряжения источника в Q раз: UL = UC = UQ.

При изменении частоты источника = var будут изменяться сопротивления реактивных элементов и, как следствие, будут изменяться ток в цепи и напряжения на отдельных участках.

Частотными характеристиками контура называются зависимости сопротивлений отдельных элементов и участков от частоты XL = L,

XC =	1	,	X = XL XC,	Z =	R X		X			2	(рис. 61).
	C					L		C
				Z
						XL
									X=XL XC
											R
											/ o
		0			1						2
							XC
					Рис. 65
	Резонансными характеристиками называются зависимости режимных
параметров от частоты: UL, UC, I, = f( ) (рис. 66).

80