ТОЭ ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

Это означает, что в цепи с резистором R протекает только процесс преобразования электрической энергии в другие виды (активный процесс). По этой причине сопротивление резистора R на переменном токе называется активным.

Графические диаграммы функций времени u(t), i(t), p(t) представлены на рис. 44, а векторная диаграмма напряжения и тока на рис. 43, б.

	100
	50
u( t)
ir( t) 50
	0	3	0.01	0.015	0.02	0.025	0.03	0.035	0.04
pr ( t)		5 10

50

100

t

Рис. 44

б) Цепь с идеальной катушкой L
	+1
i	L
	U
u
		I
	+j
а		б
	Рис. 45

Пусть к цепи с идеальной катушкой L (рис. 45, а) приложено переменное напряжение: u(t) Um sin t U Ue j0

61

Ток и напряжение на зажимах катушки связаны между собой физиче-

ским законом электромагнитной индукции

	u e L	di
		dt

, откуда следует:

i(t)

где

	1	u dt		U m	sin t dt	Um		) I Ie
	L			L		L	( cos t) Im sin( t 90
L X L			индуктивное реактивное сопротивление катушки,

Уравнения закона Ома для амплитудных и действующих

	j90
		,

значений

функций: Im	Um	, I		U	.
	X L			X L
Угол сдвига фаз						u		i	0 ( 90 ) 90	, т.е. в цепи с катушкой

L ток отстает от напряжения (напряжение опережает ток) на угол

90 .

Комплексное сопротивление катушки является чисто мнимым и по-

ложительным: L

U

Ue j 0

X Le j90 0 jX L .

I

Ie

j90

Мгновенная мощность цепи изменяется по синусоидальному закону с

частотой 2 :

p(t) U

sin t I

sin( t 90

) t

m

m

Um Im

Um Im

Um Im

sin 2 t

2

cos90

2

cos(2 t 90 )

2

Это означает, что в цепи с катушкой L происходит только периодический процесс обмена энергией между магнитным полем катушки

	(Wm	Li2	)	и источником (реактивный процесс). По этой причине сопро-
		2

тивление катушки переменному току XL = L называется реактивным. Графические диаграммы функций времени u(t), i(t), p(t) представлены

на рис. 46, а векторная диаграмма напряжения и тока на рис. 45, б.

62

100

	50
u( t)
il( t) 50
	0	3	0.01	0.015	0.02	0.025	0.03	0.035	0.04
pl ( t) 2		5 10

50

100

t

Рис. 46

в). Цепь с идеальным конденсатором С.

		+1
i	C	U
u
	I
	+j
а		б
	Рис. 47

Пусть к цепи с идеальным конденсатором С (рис. 47а) приложено переменное напряжение

u(t) Um sin t U Ue	j0

Ток и напряжение на зажимах конденсатора связаны между собой физическим законом сохранения заряда:

dq

du

d (sin t)

Um

o

j90o

i(t)

C

UmC

cos t Im sin( t 90

) I I e

,

dt

dt

dt

1

C

где 1 X C емкостное реактивное сопротивление [Ом].

C

63

Уравнения закона Ома

функций:	Im	Um		, I	U
		X			X
			C			C

Угол сдвига фаз		u

для

	i

амплитудных и действующих значений

0 90	90	, т. е. в цепи с конденса-

тором С ток опережает напряжение (напряжение отстает от тока) на угол

90°.

Комплексное сопротивление конденсатора является чисто мнимым и

отрицательным:

	Z			U
		C		I

Ue j 0 Ie j90

X		e
		j90
	C

0

jX	C

.

Мгновенная мощность цепи изменяется по синусоидальному закону с частотой 2 :

p(t) U

sin t I

sin( t 90

)

m

m

Um Im

)

Um Im

)

Um Im

sin 2 t

2

cos( 90

2

cos(2 t 90

2

Это означает, что в цепи с конденсатором С происходит только периодический процесс обмена энергией между электрическим полем конден-

				Cu	2
	сатора	(W			)	и источником (реактивный процесс).
		Э		2
	сопротивление конденсатора переменному току						X C	1
								C

тивным.

По этой причине

называется реак-

100

	50
u( t)
ic( t) 50
	0	3	0.01	0.015	0.02	0.025	0.03	0.035	0.04
pc ( t) 2		5 10

50

100

t

Рис. 48

Графические диаграммы функций времени u(t), i(t), p(t) представлены на рис. 48, а векторная диаграмма напряжения и тока – на рис. 47, б.

64

7. Электрическая цепь с последовательным соединением
	элементов R, L и C
i	R	L	C
	uR	uL	uC
e	u
		Рис. 49
Пусть в заданной схеме с последовательным соединением элементов
R, L и C (рис. 49) протекает переменный ток

i(t) I	m	sin t I

Ie	j0

.

По 2-му закону Кирхгофа для мгновенных значений функций получим уравнение в дифференциальной форме:

u u		u		u	iR L	di		1		idt	.
	R		L
				C		dt		C

То же уравнение в комплексной форме получит вид:

U U

R

U

L

U

C

IR I jX

L

I ( jX

C

) I (R jX

L

jX

где

Z R j(X

X

) R jX

Ze

j

комплексное

L

C

X X L XC

X

)

реактивное

(эквивалентное)

Z

R

2

( X

2

модуль комплексного или полное

L

C

C	) I Z,

сопротивление, сопротивление,

сопротивление,

arctg

X

L

X

C

аргумент

комплексного

сопротивления или

угол

R

сдвига

фаз

между

напряжением

и током

на входе схемы.

При

( X

L

X

C

) 0

фазный угол φ > 0, при этом цепь в целом носит активно-

индуктивный характер, а при

( X L XC ) 0 и φ < 0 – цепь в целом носит

активно-емкостный характер.

Уравнение закона Ома для последовательной схемы будет иметь вид:

I

U

U

в комплексной форме,

Z

R j( X

L

X

C

)

I

U

U

в обычной форме для модулей.

Z

R2 ( X L XC )2

Векторная диаграмма тока и напряжений при φ > 0 показана на рис. 50.

65

			+1
		UC			I
	UL				UR
		U
+j						–j
	UL					UC

Рис. 50

В рассматриваемой цепи на переменном токе будут происходить одновременно два физических процесса: преобразование энергии в другие виды в резисторе R (активный процесс) и взаимный обмен энергией между магнитным полем катушки, электрическим полем конденсатора и источником энергии (реактивный процесс).

8. Электрическая цепь с параллельным соединением элементов R, L и С

	i	iR	iL	iC
e	u	R	L	C

Рис. 51

Пусть на входе схемы рис. 51 действует переменное напряжение:

u(t) U		sin t U Ue	j0
	m

По 1-му закону Кирхгофа для мгновенных значений функций получаем уравнение в дифференциальной форме:

i iR iL iC	U		1	idt C	du
						.
	R		L		dt

То же уравнение в комплексной форме получит вид:

I I R I L I C

U

U

U

U

(G jBL jBC )

U

Y

,

jXC

R

jX L

66

где

G

Y

1 R

G j(BL

активная

B	) G jB Ye			j
C
проводимость,		B			1
		L			X
						L

комплексная проводимость,

реактивная индуктивная про-

водимость,

B		1
C		X
			C

реактивная емкостная проводимость,

B B	B
L	C

реактивная (эквивалентная) проводимость,

Y	G	2	(B	B )	2
			L	C

модуль

комплексной проводимости или полная проводимость,

arctg	B	B
	L	C
		G

аргумент комплексной проводимости или угол сдвига фаз между напряже-

нием и током на входе схемы. При	(B B ) 0		и φ > 0 – цепь в целом но-
	L	C
сит активно-индуктивный характер, а при		(B B ) 0		и φ < 0 – цепь в це-
		L	C

лом носит активно-емкостный характер.

Уравнение закона Ома для параллельной схемы будет иметь вид:

I U Y U G j(B					B			)	в комплексной форме;
				L			C
I U Y U	G	2	(B B )			2	в обычной форме для модулей.
			L	C

Векторная диаграмма токов и напряжения при φ > 0 показана на рис. 52.

+1

U IC

IR I IL

+j	IC	–j
		IL

Рис. 52

На переменном токе в рассматриваемой цепи будут происходить одновременно два физических процесса: преобразование электрической энергии в другие виды (активный процесс) и взаимный обмен энергией между магнитным полем катушки, электрическим полем конденсатора и источником энергии (реактивный процесс).

67

9. Активные и реактивные составляющие токов и напряжений

При расчете электрических цепей переменного тока реальные элементы цепи (приемники, источники) заменяются эквивалентными схемами замещения, состоящими из комбинации идеальных схемных элементов R, L и С.

Пусть некоторый приемник энергии носит в целом активноиндуктивный характер (например, электродвигатель). Такой приемник может быть представлен двумя простейшими схемами замещения, состоящими из 2-х схемных элементов R и L: а) последовательной (рис. 53, а) и б) параллельной (рис. 53, б):

I	R	XL	I
	Ua	Up	Ia	Ip
U		U	G	BL
		а	б
		Рис. 53

Обе схемы будут эквивалентны друг другу при условии равенства па-

раметров режима на входе:	U U

Для последовательной схемы

U		,	I I

(рис. 53, а)

I .

справедливы соотношения:

U

R

X L

U (R jX L )

U

I

R jX L

2

2

2

2

j

2

X L

2

U

Y ,

R

X L

R

X L

R

U I Z I (R jX

L

)

.

Для параллельной схемы (рис. 53, б) справедливы соотношения:

I U Y U (G jB

)

,

L

I

G

BL

U (G jBL )

U

I

2

j

I

Z .

G jBL

2

2

2

2

BL

2

G

BL

G

BL

G

Сравнивая правые части уравнений для U и I, получим соотношения между параметрами эквивалентных схем:

G

R

R

,

B

X

X

, R

G

G

,

X

B

B

.

R2

X 2

Z 2

R2 X 2

Z 2

G2 B2

Y 2

G2 B2

Y 2

68

Из анализа полученных уравнений следует сделать вывод, что в об-

щем случае

	R	1
		G

и	B

		1
		X

и соответственно

	R	1
		G

и	X

1 B

, как это

имеет место для цепей постоянного тока.

Математически любой вектор можно представить состоящим из суммы нескольких векторов или составляющих.

Последовательной схеме замещения соответствует представление вектора напряжения в виде суммы двух составляющих: активной составляющей Uа, совпадающей с вектором тока I, и реактивной составляющей Uр, перпендикулярной к вектору тока (рис. 54, а):

+1
U		Up	X
		I	Z
		Ua
			R
+j			j
а – треугольник напряжений			б – треугольник сопротивлений
			Рис. 54

Из геометрии рис. 54, а следуют соотношения:

U

U cos IR

,

U

U sin IX

,

U

U

2

U

2

a

p

a

p

IZ

.

Треугольник, составленный из векторов

U

,

Ua

,

Up

получил назва-

ние треугольника напряжений (рис. 54, а).

Если стороны треугольника напряжений разделить на ток I, то получится новый треугольник, подобный исходному, но сторонами которого являются полное сопротивление Z, активное сопротивление R и реактивное сопротивление X. Треугольник со сторонами Z, R, X называется треугольником сопротивлений (рис. 54, б). Из треугольника сопротивлений

следуют соотношения: R = Z cosφ, X = Z sinφ,

Z	R	2	X	2

, arctg XR .

Параллельной схеме замещения соответствует представление вектора тока в виде суммы двух составляющих: активной составляющей Iа, совпадающей с вектором напряжения U, и реактивной составляющей Iр, перпендикулярной к вектору U (рис. 55, а).

Из геометрии рисунка следуют соотношения:

Iа I cos U G ,

Iр I sin U B ,

I

Iа

2 Iр2 U Y .

69

Треугольник, составленный из векторов I , треугольника токов (рис. 55, а).

Iа

, Iр получил название

+1
U		Ip					B
Ia		I
				G
							Y
+j				j
а – треугольник токов				б – треугольник проводимостей
				Рис. 55

Если стороны треугольника токов разделить на напряжение U, то получится новый треугольник, подобный исходному, но сторонами которого являются проводимости: полная – Y, активная G, реактивная – B (рис. 55, б). Треугольник со сторонами Y, G, B называется треугольником проводимостей. Из треугольника проводимостей следуют соотношения:

G

Y

cos

,

B Y sin

,

Y	G	2	B	2

,

	arctg	B
		G

.

Разложение напряжений и токов на активные и реактивные составляющие является математическим приемом и применяется на практике для расчета сравнительно несложных цепей переменного тока.

10.Передача энергии от активного двухполюсника (источника)

кпассивному двухполюснику (приемнику)

Двухполюсником называется устройство или часть схемы (цепи) с двумя выводами (полюсами). Если внутри двухполюсника содержатся источники энергии, то он называется активным (A), в противном случае – пассивным (П).

Энергетические характеристики передачи энергии от активного двухполюсника (источника) к пассивному двухполюснику (приемнику) на переменном токе зависят от соотношения параметров приемника и источника между собой (рис. 56).

70