ТОЭ ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

Действительное значение напряжения в любой точке лини х в любой момент времени t будет равно сумме значений напряжений падающей и отраженной волн:

u( x , t ) u	n	( x , t ) u	o	( x , t )	.

Очевидно, что функцию тока в линии	i( x, t)	также можно рассмат-

ривать как результат наложение падающей

i	( x, t )
n

и отраженной

io ( x, t) волн стой лишь разницей, обратным знаком: i( x, t ) in

что отраженная волна накладывается с

( x, t ) i	( x, t )	.
o

5.Линия с распределенными параметрами

вразличных режимах

Расчет токов и напряжений в линии с распределенными параметрами

при произвольной нагрузке

Z		Z		e	j	2
	2		2

на основе совместного решения

полученных ранее комплексных уравнений. Уравнения режима линии дополняются уравнениями закона Ома для начала и конца линии:

U

1

U

2

ch l I

2

Z

C

sh l

U

I

I

ch l

2

sh l

1

2

Z C

				U	1	I	1		Z		1
U		2	U		ch l I						1	Z	C	sh l
				1				U
I			I	ch l							1	sh l
	2
				1				Z C
				U	2	I	2	Z		2

где Z1 входное сопротивление линии при заданной нагрузке:

Z

U

1

U

2

ch l I

2

Z

C

sh l

Z

Z

2

Z

C

th l

1

I

U

C

Z

Z

th l

ch l

sh l

1

I

2

C

2

2

Z

C

Выбор алгоритма расчета определяется конкретными условиями задачи. Рассмотрим характерные режимы линии, представляющие теоретический интерес.

1.Режим холостого хода	Z

В режиме холостого хода

2

U2

.
U		2 x ;	I2	I2 x		U		2 x	0	, следовательно,

уравнения линии получат укороченный вид:

191

U

ch l

U

1x

2 x

I

U

2 x

sh l

1x

Z C

Входное сопротивление линии в режиме холостого хода:

Z

U

1x

U

2 x

ch ll

Z

1

.

1x

C

I

U

sh l

th l

1x

2 x

Z

C

2.Режим короткого замыкания

Z2

0 .

В режиме короткого замыкания

I2 I2k ,U

2

U

2k

I2 0 0 , следова-

тельно, уравнения линии получат указанный вид:

I

sh l

U

1k

2k

Z

C

I 2k

ch l

I 1k

Входное сопротивление линии в режиме короткого замыкания:

Совместно ния позволяют ры линии ( Zc и

Z

U

1k

I

2k

Z

C

sh l

Z

th l

.

1k

I

I

ch l

C

1k

2k

выполненные опыты холостого хода и короткого замыкаэкспериментально определить сначала вторичные парамет- ), а затем и первичные (R0, L0, G0, C0).

Входные сопротивления линии

Z1x

и	Z
	1k

экспериментально измеряют-

ся по схеме трех приборов (амперметра, вольтметра и фазометра), как

Z

U

e

j

.

вх

I

Вторичные параметры линии (ZC и ) находятся из совместного реше-

ния уравнений для

Z

Z

1x и

1k :

Z

Z C

Z1x Z

1k ;

th l

1k

.

Z

1x

Первичные параметры линии (R0, L0, G0, C0)

определяются из сов-

местного решения уравнений для

Z

с и

:

R0 j L0 G0 j C0

R0 j L0

,

Zc

G0 j C0

Решая совместно эти уравнения, получим:

R0 j L0 Zc	,	G0 j C0		.
			Zc

192

3.Режим согласованной нагрузки	Z	2	Z	c

В режиме согласованной нагрузки входное

.

сопротивление линии равно:

Z1 Zc

Z2 Zc th

Zc Z2 .

Z

c

Z

2

th

Исследуем волновые процессы в линии:

U ( x) U

( x) U

( x) A e x A e x

1

U

I

Z

e x

1

U

I

Z

e x

n

o

1

1

C

1

1

C

1

2

2

2

U

e

x

0 U

( x).

1

n

В режиме согласованной нагрузки в линии отсутствуют отраженные волны напряжения и тока. Вся энергия, доставляемая падающей волной в конец линии полностью потребляется нагрузкой, при этом передаваемая приемнику активная мощность имеет максимальное значение:

P2max U2 I2 cos c U1 e I1

Мощность источника энергии:

e	cos	c	U	I e 2	cos	c	.
			1	1

P U		I	cos	c .
1	1	1

Коэффициент полезного действия:

	P		U	I	e	2		cos
										c	e	2
	2		1	1
	P			U	I		cos
									c
	1			1		1

.

Если сопротивление нагрузки несогласованно с волновым сопротив-

лением линии		Z	2	Z	c , то часть энергии, доставляемой падающей волной,

отражается и возвращается генератору в виде отраженных волн напряжения и тока.

В линиях связи отраженные волны ухудшают качество основного сигнала (снижается разборчивость речи, четкость изображения и др.). Все линии связи работают в режиме, близком к согласованному. При различии

сопротивлений нагрузки и линии	Z	2	Z	c

нические меры для их согласования.

принимаются специальные тех-

Влиниях электропередачи согласование режима не требуется, так как

вних основным критерием является передача энергии с наименьшими потерями.

6. Линия с распределенными параметрами без искажений

Сигналы, передаваемые по линиям связи, являются несинусоидальными функциями времени и состоят из суммы гармоник различных частот. Если в линии созданы неодинаковые условия для различных гармоник, то

193

в конце линии гармонический состав сигнала будет отличаться от гармонического состава этого же сигнала в начале линии, т.е. сигнал будет искажен. Для линий связи очень важным условием является создание такого режима работы, при котором отсутствовало бы искажение сигнала.

Различают два вида искажений сигнала амплитудные и фазовые. Амплитудные искажения имеют место в том случае, когда коэффициент затухания α зависит от частоты, при этом амплитуды отдельных гармоник затухают с неодинаковой скоростью, что приводит к искажению формы сигнала. Фазовые искажения возникают в том случае, когда фазовая скорость υ зависит от частоты, при этом происходит сдвиг отдельных гармоник по фазе, что приводит к искажению формы сигнала. Итак, искажение сигнала будет отсутствовать при постоянстве двух параметров: α = const, υ = const.

Вторичные параметры линии Zc и зависят от частоты, что в общем

случае создает в линии неодинаковые условия для прохождения волн напряжения и тока различных частот и такая линия является искажающей.

Отсутствие искажений в линии наблюдается только при определенном соотношении между ее первичными параметрами.

	R		G
	0		0	или
	L		C
	0		0

При соблюдении этого условия получим:

	R		L
	0		0
	G		C
	0		0

							L		R
									0		j
			R		j L		0		L				L
Z				0	0				0				0
	C		G		j C			G					C
				0		0				0				0
							C				j
							0
								C0

волновое сопротивление линии

является чисто активным и не зависит от частоты;

	R		j L G					j C				L		R				C	G				L C		R
														0		j				0	j				0	j
		0		0	0				0			0		L				0		C			0 0		L
														0						0					0
R		C		j	L C					R G		j			L C		j ,
			0
0		L				0	0			0	0				0	0
			0

где R0 G0 const коэффициент

			коэффициент фазы,
	L0C0

затухания не

			L C
			0	0

зависит от частоты,

1		const
L C		фазо-
0	0

вая скорость не зависит от частоты.

В реальных кабельных линиях связи соотношение между первичными

параметрами	R0		G0	, так как вследствие совершенства изоляции актив-
	L		C
	0		0

ная проводимость G0 очень мала. Режим без искажений может быть получен искусственно путем включения в рассечку линии через определенные

194

интервалы

R			G
0			0
L L	Д		C
0			0

L	L	L	Д
Э	0

дополнительных катушек индуктивности Lд из условия

. Однако с увеличением эквивалентной индуктивности

снижается фазовая скорость υ, в результате чего увеличивает-

ся общее время прохождения сигнала Т, которое по техническим нормам не должно превышать определенную величину.

Реальные линии связи в своем большинстве являются искажающими, а искажения сигналов на приемных концах линии устраняются с помощью специальных корректирующих устройств.

7. Линия с распределенными параметрами без потерь

Для кабельных линий с распределенными параметрами, работающих на высоких частотах (линии связи), реактивные параметры значительно

превосходят активные	L	R	и	C	G	. При расчете режимов таких
	0	0		0	0

линий можно без особого ущерба для точности расчета пренебречь активными параметрами и принять их равными нулю R0 0,G0 0 . В таком

случае линия становится идеальной или без потерь. Волновое сопротивление линии без потерь:

			R	j L		L				j0
Z	C		0	0		0	Z	C	e
			G	j C		C
			0	0		0

является чисто активным и не зави-

сит от частоты.

Постоянная распространения линии без потерь:

	j L0 j C0 0 j L0C0 j ,

где

0;		L C		;	v			1	const.
			0
		0						L C
									0
								0

В линии без потерь отсутствует затухание сигнала 0 , а фазовая

скорость v не зависит от частоты, следовательно, линия без потерь является неискажающей.

Учитывая математические соотношения, что

j

, и

shjx

1

e jx e jx

1

cosx j sin x cos x j sin x j sin x,

2

2

chjx

1

e jx e jx

1

cosx j sin x cos x j sin x cosx,

2

2

thjx

shjx

j sin x

jtgx,

chjx

cosx

195

преобразуем комплексные уравнения установившегося синусоидального режима линии:

					cos x j I			Z		sin x,
	U ( x) U			1			1		C
		I ( x) I		cos x j		U	1	sin x
			1			ZC

при отсчете координаты х от начала

									линии,
	U	( y)	U	2 cos y j I 2ZC sin y,
									при отсчете координаты y от конца
					U
I ( y) I 2 cos y j							2	sin y
					ZC

Z		Z	Z		2	jZ	C		tg l
			C
	1					jZ			tg l
			Z	C				2

линии,

входное сопротивление линии.

Режим линии без потерь определяется свойствами (параметрами) са-

мой линии и величиной и характером нагрузки	Z		Z		e	j
		2		2

Исследуем работу линии в различных режимах нагрузки.

на ее конце.

L

1.Режим согласованной нагрузки:

Z

Z

C

0

.

2

C

0

Учитывая,

что U 2 I 2 Z 2

I 2 ZC ,

комплексные уравнения линии полу-

чат следующий вид:

cos y jU

sin y U

e

j y

U

( y),

U ( y) U

2

2

2

n

j y

при отсчете координаты

I ( y) I

cos y j I

sin y U

I

e

( y)

2

2

2

n

y от конца линии,

Z1( y) ZC

Zc jZC tg y

входное сопротивление линии.

Z

C

jZ

C

tg y

В режим согласованной нагрузки напряжение u(t,y) и ток i(t,y) состоят только из падающих волн, которые распространяются от начала линии к ее концу без затухания. Действующие значения напряжения U(y) и тока I(y) не зависят от координаты у и во всех точках линии имеют одинаковые значения.

Входное сопротивление линии Z1 равно волновому Z1 Zc и не за-

висит от длины линии. Графические диаграммы названных функций показаны на рис. 157

196

	U, I, Z
U(y)		U2
I(y)		I2
Z(y)		ZC

y

3 /4

2 /4

/4

Рис. 157

2.Режим холостого хода:	Z	2	,

режима линии при отсчете координаты y

I	2	0.	Комплексные уравнения

от конца линии получат вид:

					cos y,
U ( y) U				2
	I ( y)	j	U		2	sin y I		sin y e	j90
			ZC				2

Входное сопротивление линии:

Z

( y) Z

Z

2

jZ

C

tg y

Z

1

jZ

1

.

C

C

C

1

Z

jZ

tg y

jtg y

tg y

C

2

Входное сопротивление линии Z1(у) является чисто реактивным, его величина и характер зависят от длины линии.

Графические диаграммы названных функций показаны на рис. 2. Режим линии, при котором в некоторых ее точках наблюдаются мак-

симальные значения напряжения (тока) или пучности, а в других ее точках

– нулевые значения этих величин или узлы, получил название в технике режима стоячих волн. Узлы и пучности для одной и той же величины сле-

	дуют друг за другом через отрезки, равные /4	где		2			длина
						f

волны, при этом узлы одной величины совпадают с пучностями другой. Режим стоячих волн физически можно объяснить как результат нало-

жения падающей и наложенной волн с одинаковыми амплитудами. В точках линии, в которых мгновенные значения падающей и отраженной волн всегда совпадают, образуются пучности, а в точках, где эти значения складываются с противоположным знаком (в противофазе), образуются узлы

(рис. 158).

197

U, I, Z

Z(y)	Umax
U(y) I(y)	Imax

y

3 /4

2 /4

/4

				Рис. 158
	Следует отметить, что режим стоячих волн имеет место в линии без
потерь			при чисто реактивной нагрузке		Z	2	jX	2	любой величины
(	X	2		). При реактивной нагрузке энергия, доставляемая падающей

волной в конец линии, полностью отражается, при этом амплитуда отраженной волны равна амплитуде подающей волны. Входное сопротивление

линии при реактивной нагрузке

Z

2

jX

2

является чисто реактивным:

Z

( y) Z

jX

2

jZ

C

tg y

jZ

tg( y ),

C

C

1

Z

j( jX

)tg y

C

2

где arctg X 2 .

ZC

3.Режим произвольной нагрузки:

Z

Z

e

j

.

2

2

Расчет режима линии производится путем совместного решения ее

комплексных уравнений и уравнений закона Ома:

U

2

I

2

Z

2

и

U

I Z

1 .

1

1

При произвольной несогласованной нагрузке в конце линии происходит частичное отражение волн, при этом амплитуды отраженных волн напряжения и тока будут меньше амплитуд падающих волн. Распределение действующих значений напряжения и тока вдоль линии будет носить волнообразный характер рис. 159, при этом максимумы и минимумы функции будут следовать друг за другом через интервал /4.

198

U

Umax

U(y)

Umin

y

/4 /4 /4 /4

Рис. 159

Степень несогласованности

волновым сопротивлением линии ячей волны:

сопротивления нагрузки	Z		Z		e	j	с
		2		2

ZC характеризуется коэффициентом сто-

K			U	max		U	n	U
	C
			U			U		U
				min			n

o o

В реальных условиях для согласования нагрузки с линией применяются специальные согласующие устройства.

199