- •Ilya Prigogine, Isabelle Stengers
- •От издательства
- •К советскому читателю
- •Наука и изменение (предисловие)
- •Предисловие к английскому изданию новый диалог человека с природой
- •Введение вызов науке
- •Часть первая. Иллюзия универсального Глава 1. Триумф разума
- •1. Новый Моисей
- •2. Дегуманизованный мир
- •3. Ньютоновский синтез
- •4. Экспериментальный диалог
- •5. Миф у истоков науки
- •6. Пределы классической науки
- •Глава 2. Установление реального
- •1. Законы Ньютона
- •2. Движение и изменение
- •3. Язык динамики
- •4. Демон Лапласа
- •Глава 3. Две культуры
- •1. Дидро и дискуссия о живом
- •2. Критическая ратификация научного знания Кантом
- •3. Натурфилософия. Гегель и Бергсон
- •4. Процесс и реальность: Уайтхед
- •5. Ignoramus et Ignorabimus — лейтмотив позитивистов
- •6. Новое начало
- •Часть вторая. Наука о сложности Глава 4. Энергия и индустриальный век
- •1. Тепло — соперник гравитации
- •2. Принцип сохранения энергии
- •3. Тепловые машины и стрела времени
- •4. От технологии к космологии
- •5. Рождение энтропии
- •6. Принцип порядка Больцмана
- •7. Карно и Дарвин
- •Глава 5. Три этапа в развитии термодинамики
- •1. Поток и сила
- •2. Линейная термодинамика
- •3. Вдали от равновесия
- •4. За порогом химической неустойчивости
- •5. Первое знакомство с молекулярной биологией
- •6. Бифуркации и нарушение симметрии
- •7. Каскады бифуркаций и переходы к хаосу
- •8. От Евклида к Аристотелю
- •Глава 6. Порядок через флуктуации
- •1. Флуктуации и химия
- •2. Флуктуации и корреляции
- •3. Усиление флуктуаций
- •4. Структурная устойчивость
- •5. Логистическая эволюция
- •6. Эволюционная обратная связь
- •7. Моделирование сложности
- •8. Открытый мир
- •Часть третья. От бытия к становлению
- •Часть третья. От бытия к становлению Глава 7. Переоткрытие времени
- •1. Смещение акцента
- •2. Конец универсальности
- •3. Возникновение квантовой механики
- •4. Соотношения неопределенности Гейзенберга
- •5. Временная эволюция квантовых систем
- •6. Неравновесная Вселенная
- •Глава 8. Столкновение теорий
- •1. Вероятность и необратимость
- •2. Больцмановский прорыв
- •3. Критика больцмановской интерпретации
- •4. Динамика и термодинамика — два различных мира
- •5. Больцман и стрела времени
- •Глава 9. Необратимость — энтропийный барьер
- •1. Энтропия и стрела времени
- •2. Необратимость как процесс нарушения симметрии
- •3. Пределы классических понятий
- •4. Возрождение динамики
- •5. От случайности к необратимости
- •6. Энтропийный барьер
- •7. Динамика корреляций
- •8. Энтропия как принцип отбора
- •9. Активная материя
- •Заключение. С земли на небо: новые чары природы
- •1. Открытая наука
- •2. Время и времена
- •3. Энтропийный барьер
- •4. Эволюционная парадигма
- •5. Актеры и зрители
- •7. За пределами тавтологии
- •8. Созидающий ход времени
- •9. Состояние внутреннего мира
- •10. Обновление природы
- •Примечания Введение
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава з
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •Глава 9
- •Заключение
- •Естествознание и развитие: диалог с прошлым, настоящим и будущим (послесловие)
- •Именной указатель
- •Предметный указатель
- •Оглавление
3. Критика больцмановской интерпретации
Возражения против теории Больцмана появились сразу же после выхода его основной работы в 1872 г. Действительно ли Больцману удалось «вывести» необратимость из динамики? Каким образом обратимые законы движения по траекториям могут порождать необратимую эволюцию? Не противоречит ли кинетическое уравнение Больцмана динамике? Нетрудно видеть, что симметрия уравнения Больцмана не согласуется с симметрией классической механики.
Мы уже видели, что в классической динамике обращение скорости (v—v) приводит к такому же результату, как и обращение времени (t—t). Это — основная симметрия классической динамики, и можно было бы надеяться, что кинетическое уравнение Больцмана, описывающее, как изменяется во времени функция распределения, обладает такой же симметрией. Но
309
в действительности все обстоит иначе: вычисленный Больцманом столкновительный член инвариантен относительно обращения скорости. Эта несколько неожиданная инвариантность имеет простой физический смысл: в больцмановской картине нет никакого различия между столкновением, обращенным в будущее, и столкновением, обращенным в прошлое. Именно на этой идее основано возражение Пуанкаре против вывода уравнения Больцмана, предложенного самим Больцманом. Правильные вычисления не могут приводить к заключениям, противоречащим исходным допущениям13, 14. Но, как мы видели, симметрия кинетического уравнения, выведенного Больцманом для функции распределения, противоречит симметрии классической динамики. Следовательно, заключает Пуанкаре, Больцман не сумел «вывести» энтропию из динамики. Где-то в своих рассуждениях он ввел нечто новое, чуждое динамике. Следовательно, выведенное Больцманом уравнение в лучшем случае может рассматриваться лишь как феноменологическая модель, полезная, но не имеющая прямого отношения к динамике. Таково было также возражение Цермело (1896), выдвинутое против теории Больцмана.
С другой стороны, возражение Лошмидта (1876) позволило установить границы применимости кинетической модели Больцмана. Лошмидт заметил, что модель Больцмана перестает выполняться после обращения скоростей, соответствующего преобразованию v—v.
Поясним суть возражения Лошмидта с помощью мысленного эксперимента. Предположим, что газ находится сначала в неравновесном состоянии и эволюционирует до момента времени t0. В момент времени t0 обратим все скорости. Тогда система вернется в начальное состояние. Следовательно, больцмановская энтропия при t=0 и t=2t0 должна быть одинакова.
Число таких мысленных экспериментов легко можно было бы приумножить. Предположим, что при t=0 у нас имеется смесь водорода и кислорода. Через какое-то время образуется вода. Если обратить все скорости, то смесь вернется в исходное состояние: вода исчезнет, останутся только водород и кислород.
Интересно, что в лаборатории или в численном моделировании обращение скоростей — вполне выполнимая операция. Например, на рис. 26 и 27 H-функция
310
Больцмана вычислена для двухмерных твердых сфер (дисков). В начальный момент времени диски располагаются в узлах квадратной решетки с изотропным распределением cкоростей. Результаты вычислений совпадают с предсказаниями Больцмана.
Рис. 26. Эволюция Hсо временем дляN«твердых шаров» (численное моделирование): a)N=100, b)N=484, с)N=1225.
Если через пятьдесят или сто столкновений (в разреженном газе это соответствует 10-6с) обратить скорости, то получается новый ансамбль15. После обращения скоростей H-функция Больцмана уже не убывает, а возрастает.
Аналогичная ситуация возникает при определенных условиях в реальных экспериментах со спиновым эхом и эхом в плазме: на ограниченных интервалах времени наблюдается «антитермодинамическое», в смысле Больцмана, поведение системы.
Важно отметить, что эксперимент по обращению скоростей тем труднее, чем позже происходит обращение скоростей (т. е. чем больше время t0).
Восстановить свое прошлое газ может лишь в том случае, если он «помнит» все, что с ним произошло в интервале времени от t=0 до t=t0. Для этого необходимо какое-то «хранилище» информации. В роли тако-
311
го хранилища, или памяти, выступают корреляции между частицами. К вопросу о корреляциях мы вернемся в гл. 9. Пока же заметим, что именно это соотношение между корреляциями и столкновениями было недостающим звеном в рассуждениях Больцмана. Когда Лошмидт в полемике с Больцманом указал на это обстоя
Рис. 27. Эволюция Hпри обращении скоростей после 50 и 100 соударений. Численное моделирование для 100 «твердых шаров».
тельство, Больцман вынужден был признать правоту своего оппонента: обратные столкновения «ликвидируют последствия» прямых столкновений и система должна возвращаться в начальное состояние. Следовательно, H-функция должна возрастать от конечного значения к начальному. Таким образом, обращение скоростей требует проведения различия между ситуациями, к которым рассуждения Больцмана применимы, и ситуациями, в которых те же рассуждения неверны.
После того как эта проблема была поставлена (1894), выяснить природу ограничения оказалось. совсем не трудно16,17. Применимость статистического подхода Больцмана зависит от предположения о том, что перед столкновением молекулы ведут себя незави-
312
симо друг от друга. Это предположение относительно начального состояния газа известно под названием гипотезы молекулярного хаоса. Начальное состояние, возникающее в результате обращения скоростей, не удовлетворяет гипотезе молекулярного хаоса. Если систему заставить эволюционировать «вспять во времени», то создается новая ситуация, аномальная в том смысле, что некоторым молекулам, сколь бы далеко друг от друга они ни находились в момент обращения скоростей, предопределено встретиться в заранее установленный момент времени и подвергнуться заранее установленному преобразованию скоростей.
Обращение скоростей порождает высокоорганизованную систему, и гипотеза молекулярного хаоса перестает выполняться. Различные столкновения, как бы под влиянием предустановленной гармонии, порождают поведение газа, которое внешне вполне «целенаправленно».
Но это еще не все. Что означает переход от порядка к хаосу? В предложенной Эренфестами модели урн ответ ясен: система эволюционирует до тех пор, пока распределение шаров не становится равномерным. В других случаях ситуация не столь проста. Мы можем воспользоваться численным моделированием и начать со случайного распределения взаимодействующих частиц. Со временем (на какое-то мгновение) может образоваться правильная решетка. Происходит ли в этом случае переход от порядка к хаосу? Ответ на этот вопрос далеко не очевиден. Для того чтобы понять порядок и хаос, нам необходимо прежде всего определить те объекты, к которым мы применяем эти понятия. Переход от динамики к термодинамике, как показал Больцман, совершается особенно легко в разреженных газах. Но в плотных системах, где молекулы взаимодействуют между собой, переход этот не столь очевиден.
Именно из-за трудностей, возникающих при рассмотрении плотных систем с взаимодействующими частицами, яркая пионерская теория Больцмана осталась незавершенной.