Ряды в комплексной плоскости
.doc§8 Числовые ряды
Ряд
, (23)
членами которого являются комплексные числа, называется числовым рядом (в комплексной области). Ряд (23) можно записать в виде
где и действительные числа.
Сумма первых членов ряда (23) называется частичной суммой ряда.
Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда: то ряд (23) называется сходящимся, а суммой ряда; если не существует, то ряд (23) называется расходящимся.
Очевидно, что ряд (23) сходится тогда и только тогда, когда сходится каждый из рядов
(24)
(25)
При этом где сумма ряда(24), а сумма ряда (25). Это означает, что исследование сходимости ряда с комплексными членами сводится к исследованию сходимости рядов (24), (25) с действительными членами.
В теории рядов с комплексными членами основные определения, многие теоремы и их доказательства аналогичны соответствующим определениям и теоремам из теории рядов с действительными членами.
Приведем некоторые из них.
Теорема: (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд (23) сходится, то его общий член при стремится к нулю, т.е.
Ряд (23) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
(26)
Теорема: Если сходится ряд (26), то абсолютно сходится ряд (23).
При исследовании на сходимость рядов с комплексными членами применимы все известные из действительного анализа признаки сходимости знакопостоянных рядов, в частности признак Даламбера: Если существует , то при ряд (26) абсолютно сходится, а при расходится.
§9 Степенные ряды
Степенным рядом в комплексной области называется ряд
, (27)
или ряд , (28)
где комплексные числа (коэффициенты ряда),
Ряды (27) и (28) при одних значениях аргумента могут сходиться, при других расходиться. Совокупность всех значений , при которых ряд (27) [(28)] сходится, называется областью сходимости этого ряда.
Теорема (Абеля): Если степенной ряд (27) сходится при (в точке , то он абсолютно сходится при всех значениях , удовлетворяющих условию
Следствие: Если ряд (27) расходится при , то он расходится при всех значениях , удовлетворяющих условию , т.е. вне круга радиуса с центром в начале координат.
Из теоремы Абеля следует, что существует такое число , что при всех , для которых , степенной ряд (27) абсолютно сходится. Эти точки лежат на комплексной плоскости внутри круга радиуса с центром в точке
Величина называется радиусом сходимости ряда, круг называется кругом сходимости ряда, вне этого круга ряд расходится, а на границе может как сходиться, так и расходиться.
Если , то ряд (27) сходится в точке , если , то ряд сходится на всей комплексной плоскости. Для ряда (28) кругом сходимости является круг с центром в точке .
Радиус сходимости находится по формулам:
.
Свойства ряда (27), (28):
-
Сумма степенного ряда внутри круга его сходимости есть аналитическая функция;
-
Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно дифференцировать и почленно интегрировать любое число раз, полученный при этом ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.
Примеры: Найти область сходимости рядов:
Решение: Здесь Данный ряд сходится в области
-
и исследовать сходимость ряда в точках
Решение: Здесь
Ряд сходится при всех , удовлетворяющих неравенству т. е. Кругом сходимости является круг с центром в точке и радиусом равным 1.
Точка лежит внутри круга сходимости, в этой точке ряд сходится абсолютно. Точка лежит на границе круга сходимости, в этой точке ряд может сходится (абсолютно или условно) и расходиться. Подставляя значение в выражение общего члена ряда, получим Числовой ряд с общим членом расходится согласно интегральному признаку Коши. Следовательно, в точке степенной ряд расходится.
Точка лежит вне круга сходимости, ряд в этой точке расходится.
§10 Ряд Тейлора
Теорема: Всякая аналитическая в круге функция может быть единственным образом разложена в этом круге в степенной ряд
, (29)
, (30)
где произвольная окружность с центром в точке , лежащая внутри круга.
Степенной ряд (29) называется рядом Тейлора для функции в рассматриваемом круге.
Приведем разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена):
Первые три разложения справедливы во всех точках комплексной плоскости, последние два – в круге
Заменив на в разложении функции , получим:
т.е. формулу Эйлера