Начертательная испр 2 _(Autosaved_)

11

1.От начала координат О влево по оси ОХ (если координата x > 0) откладывают отрезок, длина которого равна координате х данной точ-

ки (ОАх = 30).

2.Через полученную точку (Ах) проводят перпендикуляр к оси ОХ.

3.Отложив на проведенном перпендикуляре вниз от оси ОХ (если координата y > 0) отрезок длиной, равной координате y (АхА1 = 10), получают горизонтальную проекцию точки (А1).

4.Отложив на этом же перпендикуляре вверх от оси ОХ (если координата z > 0) отрезок длиной, равной координате z (АхА2 = 20) получают фронтальную проекцию точки (А2).

5.Проведя перпендикуляр к оси ОZ через фронтальную проекцию точки (А2) и отложив на нем от оси ОZ координату (АzA3 = 10) заданной точки, получают профильную проекцию точки (А3).

6.Таким же способом строят проекции всех остальных точек.

Эта задача относится к комплексным задачам, т. к. она состоит из ряда элементарных задач (построение прямой, перпендикулярной плоскости, построение отрезка прямой заданной длины, построение взаимно параллельных прямых и плоскостей).

Решать ее целесообразно, разбив на отдельные этапы: анализ, составление плана решения, последовательные построения на чертеже.

Анализируя условие задачи, отмечаем, что искомый элемент (плоскость, параллельная данной) можно рассматривать как геометрическое множество точек, удаленных от данной плоскости треугольника АВС на расстояние 30 мм. Для построения такой плоскости необходимо найти, по крайней мере, одну такую точку в пространстве и затем, используя признак параллельности двух плоскостей (две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости), через полученную точку провести искомую плоскость, задав ее двумя пересекающимися прямыми, параллельными двум прямым данной плоскости.

План решения

1.Из произвольной точки заданной плоскости восставить перпендикуляр к этой плоскости.

2.На перпендикуляре определить точку, удаленную от основания перпендикуляра на 30 мм.

12

3.Через построенную точку провести плоскость, параллельную заданной.

Последовательность построений

1.В заданной плоскости треугольника АВС задают:

∙Горизонталь h (фронтальная проекция С212 = h2 OX, горизонтальная проекция h1 = C111).

∙Фронталь f (горизонтальная проекция А121 = f1 OX, фронтальная

проекция f2 = A222).

∙Профильную прямую p (В131 = p1 OX, B232 = p2 OX, B333 = p3).

2.Из произвольной точки A треугольника АВС проводят перпендику-

ляр m к плоскости этого треугольника, причем:

∙горизонтальная проекция перпендикуляра m проходит через A1 под углом 90° к фронтальной проекции горизонтали (m1 h1, A1 m1);

∙фронтальная проекция перпендикуляра m проходит через A2 под

углом 90° к фронтальной проекции фронтали (m2 f2, A2 m2); ∙ профильная проекция перпендикуляра m проходит через A3 под

углом 90° к профильной проекции профильной прямой (m3 p3,

A3 m3).

3.На перпендикуляре m находят точку М на расстоянии 30 мм, для этого:

∙ отмечают произвольную точку N (N1 m1, N2 m2) и определяют натуральную величину расстояния от точки A до точки N, для чего строят прямоугольный треугольник ( А2N2N0), одним катетом которого является одна из проекций отрезка AN, например A2N2, а вторым — разность расстояний концов отрезка A и N до соответствующей плоскости проекции (в данном случае до π2), например y — разность расстояний проекций A1 и N1 до оси OX и N2N0 = y. Гипотенуза построенного треугольника (A2N0) равна натуральной длине отрезка AN перпендикуляра m.

∙ На гипотенузе A2N0 откладывают отрезок A2M0 = 30 мм и проводят M0M2 A2N2. A2M2 — фронтальная проекция перпендикуляра m, длина которого равна 30 мм, т. е. M2 — проекция точки M, удаленной от плоскости треугольника АВС на 30 мм. Проекции M1 и M3 определяют, проведя линии связи из M2 до m1 и m3 (M1 m1, M3

m3).

4.Через точку M проводят прямые a и b, соответственно параллельные

прямым, принадлежащим плоскости АВС, например сторонам это-

13

го треугольника АВ и АС (a1 A1B1, a2 A2B2, a3 A3B3, b1 A1C1, b2 A2C2, b3 A3C3), которые и определят искомую плоскость Σ (a

∩ b).

Доказательство

Плоскость Σ (a ∩ b) отвечает требованиям условия задачи. Действительно, плоскость Σ (a ∩ b) параллельна заданной плоскости

треугольника АВС, т. к. ее определяют две пересекающиеся прямые a и b, параллельные соответственно прямым, принадлежащим плоскости треугольника АВС (a AB, b AC).

Далее, плоскость Σ (a ∩ b) расположена на расстоянии 30 мм от заданной плоскости, т. к. она проходит через точку M, удаленную от этой плоскости на 30 мм. Это видно из построения.

Исследование

Задача может иметь два решения, т.к. можно построить две плоскости, параллельные заданной и удаленные от нее на заданное расстояние.

Методические рекомендации к выполнению задачи 01.03

Решение задачи 01.03. (рис. 6) выполняют, предварительно вычертив рамку, основную надпись и проекции плоскости треугольника АВС ( А1В1С1, А2В2С2, А3В3С3) по тем же координатам точек, что и в задаче 01.02. , а также проекции точек K, E, H и D, определяющих в дальнейшем плоскость четырехугольника (табл. 2).

Одна из вершин, например точка К , задана двумя координатами, поэтому получается только одна ее проекция. Остальные проекции определяются построением, для этого:

∙ одноименные проекции точек с известными координатами, например D, E, H, соединяют отрезками прямых линий и получают проекции треугольника DEH — D1E1H1, D2E2H2, D3E3H3;

∙известную проекцию точки К соединяют с одной из одноименных проекций точек D, E, H отрезком прямой линии так, чтобы он пересек одну из сторон одноименной проекции треугольника DEH в некоторой точке F (F2);

∙проводят линии связи из полученной проекции точки F (F2) до пересечения с проекцией соответствующей стороны треугольника DEH, получают еще две проекции этой точки (F1 и F3);

14

∙проводят прямые через построенные проекции этой точки (F1, F3)

исоответствующие проекции вершин треугольника DEH, отмечают на этой прямой недостающие проекции точки К, используя линии связи.

Соединив последовательно между собой отрезками прямых линий одноименные проекции точек А, В, С и K, E, D, H получают проекции тре-

угольной пластины ( А1В1С1, А2В2С2, А3В3С3) и проекции четырехугольной пластины ( D1E1H1K1, D2E2H2K2, D3E3H3K3).

Построение линии пересечения многоугольников сводится к определению двух точек, общих для этих многоугольников, т.е. точек, принадлежащих линии пересечения, соединив которые, и получают линию пересечения. В рассматриваемом примере (рис. 6) такими точками являются точки M и N.

Для определения точки N выполнено построение:

∙сторону ЕН четырехугольника DEHK заключают в плоскость α

(α1=Е1Н1);

∙отмечают точки пересечения плоскости α со сторонами АВ и ВС

треугольника АВС (α1 ∩ А1В1 = 11, α1 ∩ В1С1 = 21, 12 А2В2, 22

В2С2);

∙соединив проекции 12 и 22 отрезками прямой линии, отмечают точку пересечения (N2) этого отрезка с проекцией Е2Н2 и получают фронтальную проекцию N2 точки пересечения стороны ЕН четырехугольника DEHK с плоскостью треугольника АВС.

∙проводят линию связи из N2 до Е1Н1, получают N1 — горизон-

тальную проекцию точки пересечения. Для определения точки М:

∙сторону АС треугольника АВС заключают в плоскость β (β2 =

А2С2);

∙отмечают точки пересечения плоскости β со сторонами DK и KH

четырехугольника DEHK (β2 ∩ D2K2 = 32, β2 ∩ K2H2 = 42, 31 D1K1,

K1H1);

∙проведя прямую 3141 до пересечения с А1С1 получают точку Р1 —

горизонтальную проекцию точки пересечения стороны АС треугольника АВС с плоскостью четырехугольника DEHK;

∙ проводя линию связи из Р1 до А2С2, получают Р2 — фронтальную проекцию точки пересечения стороны АС треугольника АВС с плоскостью четырехугольника DEHK.

15

Рис. 6

16

Примечание. Сторона АС пересекает плоскость четырехугольника за его пределами. Точку Р можно использовать для определения реального участка линии пересечения. Для этого достаточно, соединив Р1 с N1, отметить точку (М1) пересечения D1K1 и P1N1, и — P2 с N2, отметить точку (М2) пересечения P2N2 с D2K2. Причем M1

и M2 должны оказаться на одной линии связи.

∙M1N1 — горизонтальная, M2N2 — фронтальная проекции реального участка линии пересечения заданных многоугольников.

Для определения профильной проекции M3N3 проводят до соответствующих сторон через M2N2 линии связи, перпендикулярные оси OZ.

∙ определяя видимость сторон многоугольников на π1, пользуются конкурирующими точками 2 и 5, 21 ≡ 51, 22 В2С2, 52 E2H2. Координата z точки 2 больше (22 от оси OX удалена дальше, чем 52) следовательно, точка 2 выше точки 5, а это значит, что сторона ВС, которой принадлежит точка 2, выше стороны ЕН. Поэтому участок N151 — невидимый, N1E1 — видимый, но тогда участок А1В1 — невидимый в пределах проекции D1E1H1K1;

∙ для определения видимости на π2 пользуются конкурирующими

точками 4 и 6;42 ≡ 62, 41 K1H1, 61 A1C1. Координата y точки 4 больше, чем точки 6 (41 расположена дальше от оси OX, чем точка 61) следовательно, точка 4 видима при проецировании на π2. А это значит, что KH впереди АС. Поэтому K2H2 — видима, а участки сторон B2C2 и А2С2 — невидимы в пределах проекции D2E2H2K2. Участки N2H2 и M2K2 — видимы полностью, а E2N2 и D2M2 — видимы за пределами А2В2С2;

∙ видимость на π3 определяют при помощи конкурирующих точек 7 и 8. Координата x точки 8 больше координаты x точки 7, поэтому точка 8 — видима и M3D3 — видимый участок стороны K3D3. Участок А3В3 в пределах проекции D3E3H3K3 — невидимый; N3E3

— видимый; N3H3, H3M3, K3M3 — невидимые в пределах проекции

А3В3С3;

∙невидимые участки сторон многоугольников обводят штриховой линией (ГОСТ 2.303-68), видимые — основной линией;

∙для наглядности видимые участки проекций треугольника АВС оттеняют.

17

																				Таблица 2
						Варианты заданий 01
Но-		Координаты				Но-				Координаты					Но-					Координаты
мер	Точ					мер		Точ							мер		Точ
вари-	ка	x	y		z	вари-		ка		x		y		z	вари-		ка			x		y		z
анта						анта									анта
1	А	47	52		55	2		А		49		55		54	3			А		100		40		53
	B	115	67		40			B		110		38		65				B		20		47		43
	C	70	0		4			C		70		5		0				C	40			8		0
	K	60	68		0			K		110		73		5				K		42		52		25
	E	20	40		—		E		23		25		—		E			20		25			—
	D	106	4		75			D	60		0			65				D		120		0		0
	H	106	30		48			H	87		30			53				H		77		45		0
4	A	83	60		57	5		A	95		33			15	6			A		97		23		50
	B	17	40		30			B	55		70			63				B		30		23		50
	C	110	5		5			C	25		5			24				C		85		60		15
	K	42	55		60			K	15		20			47				K		40		60		60
	E	95	75		—		E		65		5		—		E			85		60			—
	D	110	25		5			D	105		18			63				D		105		34		8
	H	22	10		8			H	84		63			0				H		30		8		8
7	A	85	53		55	8		A	97		0			60	9			A		100		10		25
	B	20	65		40			B	32		60			15				B		80		65		57
	C	62	0		7			C	70		65			0				C		40		24		10
	K	70	67		0			K	80		60			65				K		93		60		0
	E	25	5		75			E	42		10			27				E		30		13		108
	D	110	40		25			D	102		25			10				E		70		0		65
	H	10	—	65		H			55		—		55		H			44		—		55
10	A	98	5	32		11		A	17		45			105	12			A		105		30		55
	B	14	5	85				B	150		140			70				B		35		60		60
	C	70	45	8				C	75		0			0				C		55		10		0
	K	18	55	5				K	120		20			7				K		85		10		48
	E	60	12	65				E	25		18			50				E		105		70		0
	D	123	13	20				D	130		50			—		D		40			60		13
	H	98	—	0		H			70		115			120		H		25			—		40
13	A	100	60	60		14		A	105		15			33	15			A		105	45		63
	B	15	55	27				B	33		60			50				B		20	30		50
	C	85	0	0				C	52		3			0				C		58	5		12
	K	12	23	53				K	95		50			22				K		27	68		40
	E	78	53	35				E	30		50			22				E		65	0		80
	D	110	35	0				D	85		8			60				D		100	20		8
	H	45	0		—	H			20		8		—		H			105		0			—

18

Продолжение табл. 2

Но-		Координаты				Но-				Координаты					Но-					Координаты
мер	Точ					мер		Точ							мер		Точ
вари-	ка	x	y		z	вари-		ка		x		y		z	вари-		ка			x		y		z
анта						анта									анта
16	A	115	7		28	17		A		113		5		53	18			A		108		22		47
	B	85	70		65			B		10		30		15				B		18		22		45
	C	42	23		10			C		70		65		10				C		90		63		12
	K	30	45		25			K		25		8		20				K		20		45		25
	E	90	25		40			E		76		8		55				E		32		0		50
	D	98	60		0			D		115		65		27				D		113		55		27
	H	30	15		—		H		80		72		—		H			78		75		—
19	A	105	30		15	20		A	120		0			60	21			A		120		100		65
	B	35	60		60			B	35		15			30				B		35		45		40
	C	50	0		5			C	70		60			0				C		90		10		0
	K	60	65		55			K	45		5			10				K		45		70		60
	E	95	10		5			E	95		50			60				E		85		80		65
	D	95	60		50			D	130		25			25				D		140		55		25
	H	10	40		—		H		45		40		—		H			60		—		10
22	A	135	95		70	23		A	130		70			25	24			A		105		50		75
	B	50	40		35			B	40		70			85				B		70		10		0
	C	125	15		5			C	60		0			0				C		10		80		60
	K	60	60		65			K	105		15			10				K		5		55		45
	E	150	60		25			E	15		80			55				E		75		85		85
	D	110	85		65			D	120		75			80				D		115		20		20
	H	90	—	5			H		40		—		10		H			30		20		—
25	A	140	35	10		26		A	40		80			35	27			A		140		40		65
	B	105	90	75				B	75		0			0				B		45		30		75
	C	35	10	10				C	115		20			70				C		110		85		10
	K	23	55		—		K		110		65		85			K		50			10		20
	E	80	85	65				E	80		10		10					E		90		85	85
	D	125	10	0				D	25		20		20					D		150		25	40
	H	65	10	0				H	45		55			—		H		125			—	20
28	A	115	60	0		29		A	130		60		70		30			A		105		85	10
	B	95	0	85				B	5		30		75					B		50		25	80
	C	25	0	0				C	65		5		5					C		0		80	50
	K	40	30	55				K	35		25		55					K		20		50	0
	E	135	10	0				E	100		45		25					E		85		35	25
	D	80	60	80				D	110		0		65					D		65		90	85
	H	60	10		—		H		35		—		10		H			105		—		60

19

Расчетно-графическое задание 02

Многогранники. Метрические и позиционные задачи

Цель — закрепить знания и умения по следующим темам: Сечение многогранника плоскостью общего положения. Способы преобразования ортогональных проекций — замена плоскостей проекций.

Расчетно-графическое задание 02 выполняют на двух листах: первый лист — решение задачи 02.01. (формат А3) (рис. 10), второй лист — решение задач 02.02. (формат А4) (рис.11).

Содержание работы

Задача 02.01. По данным координатам вершин (табл. 3) построить многогранник и задать плоскость общего положения. Определить фигуру сечения многогранника этой плоскостью.

Задача 02.02. Определить натуральный вид сечения, применяя для этого способ замены плоскостей проекций.

Многогранником называется тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Многогранник, две грани которого конгруэнтны, а остальные пересекаются по параллельным прямым, называется призмой. Название призмы зависит от того, какой многоугольник лежит в ее основании, если треугольник, то и призма называется треугольной, если четырехугольник, то призма будет четырехугольной и т. д.

Многогранник, одна грань которого, называемая основанием, есть многоугольник, а остальные грани — треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.

Пирамиды и призмы могут быть правильными, если их основанием служит правильный многоугольник и высота проходит через его центр.

Сечением называется плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.

Сечением многогранника плоскостью является многоугольник, вершинами которого служат точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, а сторонами — линии пересечения граней с секущей плоскостью (рис. 7).

20

Рис. 7

Поэтому построение сечения многогранника плоскостью предполагает деление точек пересечения ребер многогранника с заданной секущей плоскостью и соединение между собой этих точек, принадлежащих одной и той же грани отрезками прямых линий.

Задача, таким образом, сводится к многократному решению основной позиционной задачи — пересечение прямой с плоскостью.

Внекоторых случаях данная секущая плоскость пересекает основание многогранника. Тогда некоторые боковые ребра многогранника имеют точки встречи с секущей плоскостью на своем продолжении и могут находиться за пределами чертежа. В этом случае удобно воспользоваться тем, что плоскость основания проецирующая и определить линию пересечения ее с секущей плоскостью. Эта линия пересекает стороны основания

вточках, являющихся вершинами сечения.

Вкачестве примера решения задачи 02.01. рассмотрено построение

сечения четырехугольной призмы ABCDA′B′C′D′ плоскостью Σ ( KLM) (рис. 8).