Начертательная испр 2 _(Autosaved_)

41

10.Соединяют плавной линией фронтальные проекции построенных точек A2, K2, D2, C2, E2, B2, которая и будет фронтальной проекцией линии пересечения, причем, весь участок будет видимый, так как поверхности имеют общую плоскость симметрии и невидимый участок линии пересечения совпадает с видимым.

11.Определяют границы видимости линии пересечения при проецировании на π1. Для этого находят фронтальные проекции горизонтальных очерковых образующих (S141) и отмечают точку (F2 = F2′) пересечения линии A2K2 … B2 и образующей S242. Проведя линию связи из F2 = F2′ до S141′ и S141 отмечают точки F1 и F1′, являющиеся границами видимости на π1.

12.Определяют видимость. При проецировании на π1 точка А видима, поэтому участок горизонтальной проекции линии пересечения содержащий А1 (F1A1F1′), также видимый.

13.Через построенные проекции точек F1, D1, … F1′ проводят линию видимого контура, а через F1, C1, E1,… F1′ — штриховую линию.

Пример 4. Построить линию пересечения открытого и закрытого торов. (рис.16)

Анализ.

Поверхности открытого (α) и закрытого (β) торов, заданные на чертеже, являются поверхностями вращения. Оси поверхностей (i и j) скрещиваются. Поверхности имеют общую плоскость симметрии Φ (горизонтальный след Φ1), параллельную плоскости π2.

На поверхности открытого тора α можно выделить семейство окружностей-параллелей, плоскости которых параллельны π2 и перпендикулярны оси (j) открытого тора α. Окружности второго семейства, принадлежащие поверхности тора α, расположены в плоскостях, проходящих через ось (j) тора.

Поверхность закрытого тора β содержит семейство окружностей, параллельных π1, и семейство дуг, являющихся меридианами тора β.

При заданном расположении поверхностей нельзя подобрать ни одной плоскости, кроме общей плоскости симметрии, которая пересекала бы эти поверхности по простейшим линиям. Следовательно, способ секущих плоскостей-посредников для построения общих точек заданных поверхностей применять не рационально. Нельзя также применить и способ концентрических сфер, т. к. оси (i и j) заданных поверхностей не пересекаются.

42

Наиболее простым и точным при заданном расположении и характере поверхностей является способ эксцентрических сфер. В качестве заданного кругового сечения следует использовать сечение открытого тора β, плоскостью, проходящей через ось (j) тора.

Рис. 16

Последовательность построений на чертеже.

43

1.Отмечают точки (А2 и В2) пересечения контуров поверхностей на π2.

2.Проводят фронтально проецирующую плоскость τ (фронтальный след τ2) через ось (j) поверхности тора α (j2 τ2), которая пересечет тор по окружности а (фронтальная проекция а2 = 1222).

3.Из центра (О2) окружности а восставляют перпендикуляр (n2) и от-

мечают точку (О2′) пересечения его с осью закрытого тора i (n2 ∩ i2

=O2′).

4.Проводят очерк вспомогательной секущей сферы с центром в точке

О2′ и радиусом О2′12.

5.Соединяют отрезком (b2) точки пересечения(32 и 42) контура вспомогательной секущей сферы с контуром закрытого тора β. Отрезок b2 — фронтальная проекция окружности-параллели, по которой

вспомогательная секущая сфера (с центром О2′) пересекла этот тор.

6.Отмечают точки пересечения (С2 = С2′) линий a2 и b2, которые и будут искомыми точками линии пересечения.

7.Проводят горизонтальную проекцию параллели b (b2) и на ней отме-

чают горизонтальные проекции точек С1 и С1′.

8.Построив аналогичным образом достаточное количество точек в зоне между точками А и В, и соединив их одноименные проекции, получают проекции линии пересечения поверхностей.

9.Горизонтальная проекция линии пересечения полностью невидима,

так как закрыта основанием поверхности β.

10.Фронтальная проекция линии пересечения видима, так как невидимая ее часть совпадает (конкурирует) с видимой.

Пример 5 Построить линию пересечения поверхностей. (рис. 17).

Анализ.

Заданные поверхности вращения имеют общую плоскость симметрии Φ (горизонтальный след Φ1), в которой расположены и пересекаются между собой оси вращения (i и j) этих поверхностей. Поверхности имеют семейства окружностей, расположенных в плоскостях, перпендикулярных осям вращения и в меридианных плоскостях.

Наиболее рациональным способом определения точек. Принадлежащих линии пересечения поверхностей, является способ концентрических сфер. Но, определяя радиус минимальной секущей сферы, обнаруживаем, что сфера с минимальным радиусом оказывается вписанной в обе поверхности. Это дает возможность применить теорему Монжа и построить фронтальную проекцию линии пересечения, которая распадается на

44

две плоские кривые, провести, отметив точки пересечения очерковых линий поверхностей (A2, B2, C2, D2) и точку (E2) пересечения линий касания поверхностей с вписанной вспомогательной сферой ϕ.

Рис. 17

Последовательность построений на чертеже.

45

1.Отмечают точки пересечения контуров (очерковых линий) поверхностей на π2 (A2, B2, C2, D2).

2.Отмечают точку пересечения фронтальных проекций осей вращения поверхностей (i2 ∩ j2 = O2) и определяют радиус минимальной секущей сферы. Нормали к поверхностям оказываются равными.

3.Из центра О2, радиусом Rmin проводят очерк вспомогательной сферы

исоединив точки касания очерка сферы с очерками заданных поверхностей (12 и 22, 32 и 42), получают проекции линий касания а2 и

b2.

4.Отметив точку пересечения линий касания E (E2 = a2 ∩ b2), проводят фронтальную проекцию линии пересечения, которая представляет собой два отрезка прямой, проходящих через точки A2, E2, C2 и B2,

E2, D2.

5.Горизонтальную проекцию линии пересечения, которая состоит из

двух кривых, пересекающихся в точках Е1 и Е1′, проводят через проекции точек, построенных при помощи параллелей тора α.

6.Проекции А1, В1, С1, D1, отмечены на следе Φ1 общей плоскости симметрии заданных поверхностей с помощью линий связи, проведенных из проекций А2, В2, С2, D2.

Методические рекомендации к выполнению задачи 03.02

Задача 03.02. Построить развертку одной из четырех поверхностей, представленных в задачах 03.01. Нанести на развертку линию пересечения поверхностей.

Цель задачи — отработать способы построения разверток и закрепить навыки решения метрических задач.

Для успешного выполнения задания необходимо знать:

∙определение и свойства разверток поверхностей;

∙какие поверхности являются развертываемые, какие неразвертываемые;

∙какие развертываемые поверхности имеют точную, а какие приближенную развертку;

∙способы построения точных и приближенных разверток;

∙приемы построения условных разверток неразвертываемых поверхностей;

∙способы определения натуральных величин отрезков прямой и плоских фигур.

Рассматриваемая задача относится к классу метрических задач.

46

Точную развертку имеют только гранные поверхности. Универсальным способом построения разверток гранных поверхностей является способ триангуляции (треугольников). Сущность этого способа заключается в том, что определяют натуральные величины ребер треугольных граней и по ним, строят натуральные величины этих граней. В случае, когда грани имеют более трех сторон (4-угольные, 5-угольные и т. д.) их диагоналями разбивают на треугольники и , определив натуральные величины сторон этих треугольников, находят натуральную величину всей грани.

Пример 1. Построить развертку пятиугольной пирамиды SABCDE и определить положение точки М на развертке, принадлежащей поверхности пирамиды. (рис. 18).

Анализ задачи.

Основание заданной пирамиды расположено горизонтально. Следовательно, ребра основания пирамиды проецируются без искажения на π1. Боковые ребра не являются линиями уровня. Поэтому для решения задачи необходимо определить их натуральные длины. Это можно сделать любым из известных способов определения натуральной величины отрезка прямой общего положения, например, вращением вокруг проецирующей оси.

Последовательность построений.

1.Рассекают боковую поверхность пирамиды по одному из боковых ребер SB.

2.Определяют натуральные величины боковых ребер, для этого:

∙проводят ось вращения i π1 (i1 = S1, i2 OX);

∙горизонтальные проекции боковых ребер S1A1, S1B1, S1C1, S1D1,

S1E1, поворачивают вокруг i1 = S1 до положения, параллельного оси проекции OX (S1A1′, S1B1′,…);

∙ через точки A1′, B1′, C1′, D1′, E1′ проводят линии связи и отмечают точки A2′, B2′, C2′, D2′, E2′ пересечения их с фронтальной проекци-

ей основания пирамиды.

∙ соединяют A2′, B2′, C2′, D2′, E2′ с S2 и получают отрезки S2A2′, S2B2′, S2C2′, S2D2′, S2E2′, которые равны натуральным величинам соответствующих ребер.

3. На свободном поле чертежа строят SAB, SAE, SED, SDC, SCB с общей вершиной S и сторонами, равными натуральной величине

47

ребер (SA = S2A2′, SB = S2B2′, AB = A1B1) так, чтобы каждый следующий треугольник имел общую сторону с предыдущим.

4.К одному из звеньев ломаной BAEDCB (CB) пристраивают основание пирамиды. Для этого:

Рис. 18

48

∙ горизонтальную проекцию основания A1B1C1D1E1 разбивают диагоналями A1C1, A1D1 на три треугольника A1B1C1, A1C1D1, A1D1E1.

∙ строят CBA0 = C1B1A1 так, чтобы C1B1 совпадала с CB, CA0D0

= C1A1D1 так, чтобы C1A1 совпадала с А0, и A0D0E0 = A1D1E1 так, чтобы A1D1 совпадала с A0D0.

Фигура, ограниченная ломаной SBAEDCD0E0A0BS является полной разверткой пирамиды SABCDE.

5.Для нанесения на развертку точки М, принадлежащей поверхности пирамиды, выполняют следующие построения:

∙на отрезке ВА откладывают отрезок В1=В111 и проводят прямую S1, которой принадлежит точка М;

∙способом вращения определяют натуральную величину отрезка

SM (S2M2′);

∙на отрезке S1 откладывают отрезок SM=S2M2′.

Способ перпендикулярного сечения применяют для построения развертки призматических поверхностей, у которых боковые ребра являются линиями уровня (параллельны одной из плоскостей проекций π1 или

π2).

Сущность этого способа состоит в том, что плоскость сечения, перпендикулярная боковым ребрам оказывается перпендикулярной той плоскости проекций, которой боковые ребра параллельны, и поэтому проекция плоскости сечения вырождается в прямую линию, перпендикулярную проекциям боковых ребер. Построив вторую проекцию сечения и определив натуральную величину его сторон, получают натуральные величины расстояний между боковыми ребрами в гранях.

Пример 2. Построить развертку призмы ABCDEF (рис. 19).

Анализ задачи.

Боковые ребра AF, BE, CD призмы параллельны плоскости проекций π2. Это видно из того, что горизонтальные проекции их A1F1, B1E1, C1D1 параллельны оси проекций OX (или перпендикулярны линиям связи BB1, CC1, … ). Поэтому для построения развертки можно применить способ перпендикулярного (нормального) сечения.

Последовательность построений.

49

1.Через произвольную точку на одном из боковых ребер проводят след (Σ2) секущей плоскости перпендикулярно фронтальным проекциям боковых ребер A2F2, B2E2, C2D2. В качестве такой точки можно

использовать вершину (С2) (Σ2 В2Е2).

Рис. 19

50

2.Отмечают точки (12, 22) пересечения следа этой плоскости с проекциями ребер и горизонтальные проекции этих точек 11, 21 соответственно на B1E1 и A1F1.

3.Вращают след Σ2 до положения параллельного оси проекции ОХ и отмечают новые проекции точек (12′, 22′ и 11′, 21′).

4.На свободном поле чертежа проводят прямую линию и на ней откладывают отрезки: 1020 = 11′21′, 20С0 = 21′С1, С010 = С111′.

5.Через точки 10, 20,С0, 10 проводят прямые, перпендикулярные к пря-

мой.

6.На проведенных перпендикулярах откладывают отрезки: 10Е0 = 12Е2,

= 12В2, 20F0 = 22F2, 20A0 = 22A2, C0D0 = C2D2.

7.Строят F0E0D0 (F0E0 = E0F0, D0E0 = D0E0) верхнего основания призмы.

8.Строят A0C0B0 (A0B0 = A0B0, C0B0 = C0B0) нижнего основания призмы.

Фигура, ограниченная замкнутой ломаной A0B0E0F0E0D0E0B0C0B0A0, является полной разверткой заданной призмы. Линии сгибов обозначают на развертках штрихпунктирной линией.

Способ раскатки применяют для построения развертки призматических поверхностей, у которых боковые ребра являются линиями уровня, а основание принадлежит плоскости уровня. В основе способа — способ вращения вокруг линии уровня.

Пример 3. Построить развертку наклонной треугольной призмы

ABCDEF. (рис. 20).

Анализ задачи.

Боковые ребра AD, BE, CF заданной призмы параллельны горизонтальной плоскости проекций (A2D2 C2F2 B2E2 OX) и проецируется на нее в натуральную величину. Основания АВС и DEF призмы параллельны фронтальной плоскости проекций π2 и стороны основания проецируются в натуральную величину на π2.

Боковое ребро можно принять за ось вращения, вокруг которой раскатывают боковую поверхность до совмещения с плоскостью.

Последовательность построений.

1.Через горизонтальные проекции вершин призмы (точки А1, В1, С1,

…F1) проводят прямые, перпендикулярные горизонтальным проекциям ребер A1D1, B1E1, C1F1, являющиеся следами плоскостей вращения точек A, B, C, D, E, F.