16

Электричество и магнетизм Н.Ф. Шемяков

Лекция 5 Граничные условия на поверхности раздела

диэлектрикдиэлектрик

1.1. Условие для вектора

Пусть на границе раздела двух диэлектриков находится сторонний поверхностный заряд. Для нахождения условия будем использовать теорему о циркуляции вектора , т. е., и теорему Гаусса для вектора, т. е.

.

Электрическое поле вблизи границы раздела в диэлектрике 1 обозначим через ₁, а в диэлектрике 2  ₂. В качестве замкнутого контура L возьмем прямоугольник (рис. 4.6), стороны которого должны быть малой длины, чтобы в их пределах напряженность электрического поля Е в каждом диэлектрике была одинаковой, а высота  бесконечно малой.

Рис. 1

На основании теоремы о циркуляции вектора имеем

(Е_1^*+ Е_2) = 0,

где Е_1^* и Е_2  проекции вектора на единичный вектор касательной, взяты в направлении обхода контура (на рис. 1 указан стрелками). Если использовать в качестве общего единичный вектор, то Е_1^* =  Е_1. Тогда предыдущее равенство принимает вид

Е_1 = Е_2. (1)

Вывод: Тангенциальная составляющая вектора одинакова по разные стороны границы раздела, т. е. не испытывает скачка.

1.2. Условие для вектора

Для нахождения условия для вектора в качестве замкнутой поверхности будем использовать малый цилиндр, чтобы в пределах каждого основания цилиндра векторбыл одинаковым (рис. 2).

Используя теорему Гаусса для вектора , получаем

(D_1n^* + D_2n) S =  S,

где   поверхностная плотность стороннего заряда на границе раздела.

Рис. 2

С учетом того, что

D_1n^* =  D_1n

последнее равенство принимает вид:

D_2n  D_1n = . (2)

Вывод: нормальная составляющая вектора испытывает скачок на границе раздела двух диэлектриков.

Если сторонние заряды отсутствуют на границе раздела, то D_2n = D_1n, (3)

т. е. нормальная составляющая вектора скачка не испытывает.

Следовательно, если на границе раздела двух диэлектриков нет сторонних зарядов, то при переходе через границу составляющие Е_ и D_n изменяются непрерывно, не испытывая скачка, а составляющие Е_n и D_  испытывают скачок.

1.3. Преломление линий и

Рис. 3

При переходе через границу линии напряженности и линии электрического смещения преломляются (рис. 3).

Если на границе раздела нет сторонних зарядов, то из (1), (2) и (4.18) следует

Е_1 = Е_2, ₁Е_1n = ₂Е_2n.

Согласно рис. 6.8 имеем

или

. (4)

Рис. 4

Следовательно, в диэлектрике с большим значением диэлектрической проницаемости (₂  ₁) линии напряженности и электрического смещения составляют больший угол с нормалью к границе раздела (рис. 4).

На рис. 6.9 приведено графическое изображение поля ина границе раздела двух изотропных, однородных диэлектриков, у которых нет сторонних зарядов и ₂  ₁.

Из рис. 4 следует, что Е₂  Е₁ и D₂  D₁.

Кроме того, линии напряженности испытывают преломление и терпят разрыв изза наличия связанных зарядов.

Линии электрического смещения испытывают только преломление, так как на границе раздела нет сторонних зарядов.