- •5.11. Вывод закона Ома
- •5.12. Вывод закона Джоуля - Ленца
- •5.13. Вывод закона Видемана Франца.
- •5.14. Основы квантовой теории проводимости металлов
- •5.15. Квантовые числа
- •5.16. Основы квантовой статистики
- •5.16.1. Статистика Бозе Эйнштейна
- •5.16.2. Статистика Ферми Дирака
- •5.17. Распределение электронов в металлах
- •5.18. Распределение электронов в металлах
- •5.19. Теплоемкость электронного газа
- •5.20. Число состояний. Плотность состояний
- •5.21. Эффективная масса электрона
Постоянный ток Н. Ф. Шемяков
___________________________________________________________________________________________________________________
Лекция 8
5.10. Классическая теория электропроводности металлов
На основании ряда экспериментальных данных, полученных учеными Рикке, Мандельштамом и Папалекси, Толменом и Стюартом в начале XX в. было установлено, что носителями тока в металлах являются электроны.
Некоторые свойства электрона были описаны Томсоном в 1895-97 гг.
Большая концентрация электронов в металлах (no 1028 - 1029 м3) обуславливает в них высокую тепло- и электопроводимость. Позднее была создана классическая теория электропроводности металлов Друде-Лоренца.
В основу теории были положены выводы классической молекулярно-кинетической теории, в которой электроны проводимости рассматриваются как электронный газ и его свойства подобны свойствам одноатомного, идеального газа. Число свободных электронов равно примерно числу атомов.
Согласно классической электронной теории проводимости металлов в отсутствии электрического поля в них электроны проводимости (электронный газ) находятся в состоянии теплового хаотического движения в кристаллической решетке, образованной положительно заряженными ионами.
Ионы совершают тепловые колебания около положений равновесия - узлов кристаллической решетки. При своем движении электроны испытывают столкновения с ионами. Длина свободного пробега электронов , т. е. по порядку равна периоду кристаллической решетки. В соответствии с выводами молекулярно-кинетической теории средняя кинетическая энергия теплового движения электронов ,
где m - масса электрона; vкв - средняя квадратичная скорость теплового движения. Например, при температуре Т = 273 К, vкв 105 м/c.
При создании электрического поля в металлических проводниках возникает электрический ток, плотность которого
, (5.38)
где n0 - концентрация электронов; qe - заряд электрона; v - средняя скорость упорядоченного движения. Электроны имеют скорость v = <u> + v.
Следовательно, под действием напряженности электрического поля электроны в проводнике приходят в упорядоченное движение в направлении противоположном вектору напряженности электрического поля.
При максимально допустимой плотности тока в металлах cредняя скорость упорядоченного движения v 103 м/c, т. е. v u, что объясняется малым значением средней длины свободного пробега электрона между двумя последовательными столкновениями его с ионами.
5.11. Вывод закона Ома
По классической теории проводимости металлов при соударении электрона с ионом он полностью теряет свою скорость.
Уравнение движения электрона в электрическом поле в процессе свободного пробега является равноускоренным.
Поэтому на основании второго закона Ньютона
F = ma = m,
где F = qeE; Е - напряженность электрического поля.
Средняя скорость упорядоченного движения
v =.
Если средняя продолжительность времени свободного пробега t, то после интегрирования
F = ma = m
получим, что vмах =
или
v =. (5.39)
Если u всех электронов одинаковы, но v u, найдем среднее время пробега электрона
.
С учетом этого формулу (5.39) перепишем в виде:
. (5.40)
Следовательно, плотность тока
, (5.41)
где (5.42)
- удельная электропроводимость проводника.
Таким образом, на основании классической теории проводимости металлов был теоретически получен закон Ома в дифференциальной форме
j = E.
5.12. Вывод закона Джоуля - Ленца
После соударения электрона с ионами кристаллической решетки его энергия упорядоченного движения переходит во внутреннюю энергию, что приводит к нагреванию проводника.
Под действием электрического поля за время свободного пробега электрон увеличивает свою кинетическую энергию на величину
. (5.43)
Из-за теплового хаотического движения электронов, их средняя кинетическая энергия
. (5.44)
В единице объема проводника содержится n0 электронов, причем ежесекундно каждый из них испытывает в среднем число столкновений с ионами
. (5.45)
Энергия электрического тока, которая преобразуется во внутреннюю энергию за 1 с в единице объема, называется объемной плотностью тепловой мощности
, (5.46)
где
vмах = 2v.
Используя формулу (5.39) и
окончательно получим
(5.47)
или
w = E2.
Последняя формула выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме, т. е.
. (5.48)