Тема 1 Введение в анализ

Множества. Комплексные числа и многочлены. Предел числовой последовательности. Предел функции одной переменной. Непрерывность функции одной переменной. Функции нескольких переменных их непрерывность.

Литература: [1, гл. 5, 5.3-5.7, гл. 6, п. 6.1-6.7]; [2, гл. 1, п. 1.1-1.5, гл. 2, п. 2.1, гл. 3, п. 3.1-3.7].

Вопросы для самопроверки

1. Дайте понятие множества, окрестности точки.

2. Дайте понятие комплексного числа.

3. Алгебраическая форма записи комплексного числа.

4. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

5. Показательная форма записи комплексного числа.

6. Сопряженные комплексные числа.

7. Действия над комплексными числами.

8. Комплексные многочлены.

9. Дайте понятие предела функции.

10. Перечислите свойства пределов.

11. Дайте понятие односторонних пределов.

12. Дайте определение бесконечно малых и бесконечно больших функции.

13. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.

14. Основные теоремы о пределах.

15. Первый и второй замечательные пределы.

16. Дайте первое и второе определения непрерывности.

17. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность суммы, произведения и частного; непрерывность сложной функции.

18. Непрерывность функции на отрезке и ее свойства.

19. Дайте определение точек разрыва и сформулируйте их классификацию.

Задания для самостоятельного решения

Литература: [1, 6.15-6.35]; [2, 1.1-1.13, 2.1-2.8, 3.19-3.40].

Тема 2 Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Понятие производной, ее механический смысл. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производные высших порядков. Дифференциал функции. Экономический смысл производной.

Литература: [1, гл. 7, 7.1-7.5, гл. 8, 8.1-8.10, гл. 9, п. 9.1-9.5]; [2, гл. 4, 4.1-4.6].

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение производной функции.

2. Объясните механический смысл производной.

3. Объясните экономический смысл производной.

4. Сформулируйте правила дифференцирования, выпишите формулы производной постоянной, суммы, произведения, частного.

5. Запишите таблицу производных основных элементарных функций.

6. Как найти производную сложной?

7. Как находят производные высших порядков?

8. Сформулируйте связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

9. Дайте определение дифференциала функции.

Задания для самостоятельного решения

Литература: [1, 7.20-7.45, 8.19.6-8.53, 9.6-9.13]; [2, 4.1-4.36, 4.43-4.56].

Тема 3 Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Функции двух переменных. Линии уровня. Некоторые многомерные функции в экономике. Частные производные и дифференциал функции. Производная по направлению и градиент. Экстремум функции нескольких переменных, необходимое и достаточное условие локальных экстремумов. Условный экстремум.

Литература: [1, гл. 15, п. 15.15.9]; [2, гл. 8, п. 8.1-8.5].

Вопросы для самопроверки

1. Дайте понятие функции нескольких переменных и области ее определения.

2. Что такое линия уровня функции двух переменных?

3. Дайте определение частных производных и полного дифференциала функции двух переменных.

4. Дайте понятие частных производных и дифференциалов высших порядков.

5. Что называется градиентом функции двух переменных в точке? Для чего служит градиент?

6. Дайте определение экстремума функции нескольких переменных.

7. Какие точки называются точками максимума, минимума функции двух переменных?

8. Какие точки являются стационарными?

9. Какова схема исследования функции двух переменных на экстремум?

10. Необходимое условие локального экстремума.

11. Достаточное условие локального экстремума.

12. Дайте понятие условного экстремума.

Задания для самостоятельного решения

Литература: [1, 9.6-9.13]; [4, 7.122-7.135]; [2, 8.14-8.28, 8.30-8.42].