Тема 4 Интегральное исчисление

Первообразная и ее свойства. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов. Формула интегрирования по частям. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Несобственные интегралы. Двойной интеграл.

Литература: [1, гл. 10, п. 10.1-10.8, гл. 11, п. 11.1-11.10]; [2, гл. 6, п. 6.1-6.4, гл. 7, п. 7.1-7.7].

Вопросы для самопроверки

1. Дайте понятие первообразной.

2. Чем отличается первообразная функции от неопределенного интеграла?

3. Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.

4. Какие методы интегрирования вы знаете?

5. Что называется определенным интегралом от функции на заданном

6. интервале?

7. В каком случае функция интегрируема на отрезке?

8. Сформулируйте геометрический смысл определенного интеграла.

9. Сформулируйте экономический смысл определенного интеграла.

10. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

11. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

12. В чем состоит метод замены переменной (подстановки) в определенном интеграле?

13. В чем состоит метод интегрирования по частям в определенном интеграле?

14. Какой интеграл называется несобственным?

15. Какой интеграл называется сходящимся, расходящимся?

16. Дайте понятие двойного интеграла.

17. Сформулируйте геометрический смысл двойного интеграла.

1. Что называется несобственным интегралом?

Задания для самостоятельного решения

Литература: [1, 10.29-10.31, 10.33-10.60]; [2, 6.1-6.45, 7.1-7.12, 7.27-7.31].

Тема 5 Дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение, его порядок, общее и частное решения. Задача Коши для дифференциальных уравнений первого порядка. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, линейные. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Динамическая модель развития экономики Солоу.

Литература: [1], гл. 12, п. 12.1-12.8.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение дифференциального уравнения k-го порядка?

2. Что называется решением дифференциального уравнения?

3. Что называется общим решением дифференциального уравнения?

4. Как найти частное решение дифференциального уравнения?

5. Сформулируйте задачу Коши для дифференциальных уравнений первого порядка. В чем ее геометрический смысл?

6. Какие дифференциальные уравнения первого порядка являются уравнениями с разделяющимися переменными?

7. Какие дифференциальные уравнения первого порядка называют линейными? Как решают такие уравнения?

8. Сформулируйте задачу Коши для дифференциальных уравнений второго порядка и условия существования и единственности ее решения.

9. Какие типы дифференциальных уравнений второго порядка можно решить понижением порядка, и какие замены используют?

10. Каким свойствам удовлетворяют решения линейных дифференциальных однородных уравнений второго порядка?

11. Как выглядят частные и общее решение линейного дифференциального однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от значений корней характеристического уравнения?

12. Динамическая модель развития экономики Солоу.

Задания для самостоятельного решения

Литература: [1, 12.29-12.35, 12.39-12.64].