экзамен мат.анализ

Программа экзамена дисциплины «Математический анализ» 2 семестр

для студентов БИ-1, ПИ-1 ВятГУ

Определенный интеграл

Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Интеграл с верхним переменным пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям. Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры, длины кривой.

Несобственные интегралы

Несобственный интеграл первого рода. Основные свойства. Признак сравнения. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Несобственные интегралы второго рода. Основные свойства. Признак сравнения.

Функции нескольких переменных

Функции многих переменных. Область определения, предел, непрерывность. Частные производные. Полный дифференциал. Правило дифференцирования сложной функции. Производная неявной функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Геометрические приложения частных производных. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области.

Кратные интегралы

Определение двойного интеграла. Свойства двойного интеграла Теорема о среднем. Повторные интегралы, существование и свойства. Связь кратного и повторного интегралов. Вычисление кратного интеграла в прямоугольной области. Вычисление кратного интеграла в произвольной области. Якобиан, его геометрический смысл в двумерном случае. Замена переменных в двойных интегралах.

Числовые ряды

Сходимость числовых рядов. Свойства сходящихся рядов. Ряд геометрической прогрессии. Критерий Коши. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения. Интегральный признак. Признак Даламбера. Признаки Коши. Обобщенный гармонический ряд.

Знакочередующиеся ряды. Ряд Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов. Перестановка членов ряда. Арифметические операции над рядами. Группировка членов ряда. Произведение рядов.

Степенные ряды

Сходимость функциональных последовательностей и рядов. Равномерная сходимость. Непрерывность суммы равномерно сходящегося функционального ряда. Критерий Коши равномерной сходимости. Необходимое условие сходимости ряда. Дифференцирование и интегрирование функциональных рядов.

Степенные ряды. Теорема Коши-Адамара. Теоремы Абеля. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов. Ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора. Применение степенных рядов для приближенных вычислений.