Типовой расчёт № 4 Интегрирование.

Образец решения

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2.1. .

Решение. .

2.2. .

Решение.

.

2.3.

Решение..

Задание 3. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

а)

б)

Решение:

а)

- интеграл расходится.

б) является точкой разрыва подынтегральной функции, поэтому:

- интеграл сходится.

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: и ;

.

Решение. Найдем координаты точек пересечения линий:

; ; .

;

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: , вокруг оси .

Решение. Используем формулу для нахождения объёма тел вращения: .

В условиях нашей задачи , , .

.

Задание 6. Вычислить: длину дуги кривой:

,

В зависимости от способа задания уравнения кривой существуют следующие формулы нахождения длины дуги кривой.

• Для кривой, заданной в декартовых координатах уравнением длина дуги находится по формуле (1);

• Для кривой, заданной параметрически уравнениями длина дуги находится по формуле (2);

• Для кривой, заданной в полярных координатах уравнением длина дуги находится по формуле (3).

В нашем случае кривая задана параметрически, поэтому для вычисления её длины мы применим формулу (2).

;

Вариант № 1.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2.1. ; 2.2. ; 2.3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой: от точки с абсциссой до точки .

Вариант № 2.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2.1. ; 2.2. ; 2.3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой в пределах от до .

Вариант № 3.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2.1. ; 2.2. ; 2.3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой между точками пересечения её с .

Вариант № 4.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2.1. ; 2.2. ; 2.3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой от до .