9

−N α r d β+(N α+

∂ N α

d α)(r+

d r

d α)d β−N αβ R1 d α+

(

∂α

d α

∂β

)

+

N

αβ

+

∂ N αβ

d β

R

d α−N

β

R d αcos αd β+q

α

R

r d α d β=0.

(1.6)

1

1

1

В направлении касательной к параллели

∂ N

d r

−N

αβ r d β+(N αβ+

αβ

d α)(r +

d α)d β−N β R1 d α+

∂α

d α

+(N β+

∂ Nβ

d β)R1 d α+N αβ R1 d α cosα d β+qβ R1 r d α d β=0.

(1.7)

∂β

В направлении нормали к поверхности

−N α r d β d α−Nβ R1 d αsin αd β+qγ R1 r d α d β=0, (1.8) где учтен угол между усилиями Nα на нижней и верхней гранях, равный π−d α,

иугол между усилиями Nβ на боковых гранях, равный π−sin α d β.

Врезультате уравнения равновесия оболочки вращения в безмоментном напряженном состоянии записываются в виде

∂

(r N

)+

∂ N αβ

R −N

R cos α+q

R

r=0;

∂α

α

β

α

∂β

1

1

1

∂

(r N

)+

∂ N β

R +N

R cos α+q R r=0;

(1.9)

∂α

αβ

∂β

1

αβ

1

β

1

N α

+

Nβ

=qγ.

R1

R2

1.1.3. Осесимметричное нагружение оболочки вращения

Одним из распространенных случаев нагружения оболочек вращения является осесимметричное нагружение, при котором qβ=N αβ=0, а Nα и Nβ не за-

висят от окружной координаты β. При этом система уравнений (1.9) примет вид

∂α∂ (r N α)−N β R1 cos α+q R1 r=0;

(1.10)

N α + Nβ = p, R1 R2

где q=qα; p=qγ.

Найдем усилия Nα и Nβ. Из второго уравнения системы (1.10) получим

N β= p R2−N α R2 . (1.11)

R1

В результате подстановки (1.11) в первое уравнение системы (1.10) полу-

чим

10

∂

(r N

α

)= p R

2

R

cosα−N

α

R

cosα−q R

r.

(1.12)

∂α

1

2

1

Умножим левую и правую части равенства (1.12) на sin α и с учетом (1.2)

получим

∂

(r N

α

)sin α= p R

r cos α−N

α

r cos α−q R r sin α.

(1.13)

∂α

1

1

Перегруппируем члены (1.13)

∂

(r N

α

)sin α+ N

α

r cosα=( pcos α−q sin α) R

r.

(1.14)

∂α

1

Окончательно получим

∂

(r N

α

sin α)=( pcos α−qsin α) R

r.

(1.15)

∂α

1

Проинтегрируем (1.15)

α

X 0

1

N α=

[∫α0

( p cosα−q sin α) R1 r d α−

].

(1.16)

r sin

α

2 π

Таким образом, усилия в осесимметрично нагруженной безмоментной оболочке вращения определяются равенствами (1.11) и (1.16).

Наиболее распространенным случаем осесимметричного нагружения является воздействие на оболочку равномерного избыточного внутреннего давления p. При этом q=0, p=const. Тогда из выражения (1.16) с учетом (1.4) получим

N α=	1		(p	r2−r02	−	X 0	).	(1.17)
	r sin	α		2		2 π

Если оболочка замкнута в вершине, то r0=0 (рис. 1.3).

Если осевая сила отсутствует (X 0=0), то из (1.11) и (1.17) с учетом (1.2) получим

N α= p2R2 ;

(1.18)

N β= p2R2 (2− RR21 ).

Формулы (1.18) определяют усилия в замкнутых баллонах давления, в обшивке фюзеляжа самолета с гермокабиной, летящего на большой высоте и т.п.

Например, для сферического баллона (R1=R2=R)

N =N =			p R	.	(1.19)
α		β	2
Для цилиндрической части фюзеляжа (R1 →∞, R2=R)
N α=	p R	; N β= p R.			(1.20)
2

В этом случае окружные усилия Nβ в два раза больше продольных усилий Nα. Поэтому разрушение фюзеляжа при превышении допустимой величины