52

3.1.4. Уравнения колебаний упругой системы с конечным числом степеней свободы

Конечное число степеней свободы имеют расчетные схемы, построенные с использованием дискретно-континуального и дискретного подходов.

Рассмотрим малые колебания системы, имеющей s степеней свободы, относительно некоторого положения равновесия, отсчитывая от него обобщенные координаты, приняв, что в положении равновесия они равны нулю q1=q2=...=qs=0. В положении равновесия потенциальная энергия U имеет ста-

ционарное значение, поэтому

∂U	)0=0 (i=1,2,..., s),
(∂ qi		(3.11)

где индекс «0» говорит о том, что частные производные вычисляются при

q1=q2=...=qs=0.

Запишем выражение для потенциальной энергии как функции обобщенных координат U =U (q1 , q2 ,..., qs ). Разложим ее в ряд Тейлора в окрестности

положения равновесия, ограничившись квадратичными членами

s		∂U		1	s	s	2
U =U 0 +∑i=1	(		)0 qi +		∑i=1	∑j=1	(	∂ U	)0 qi q j.	(3.12)
		∂ qi		2				∂ qi ∂ q j

Если в положении равновесия потенциальная энергия равна нулю, то U 0=U (0 ,0,...,0)=0. С учетом (3.11) потенциальная энергия системы примет

вид квадратичной формы обобщенных координат

				s s
			U =	1 ∑∑ ki j qi q j,	(3.13)
				2 i=1 j=1
где ki j=(	∂2 U	)0	– коэффициенты обобщенных жесткостей. Они обладают
	∂ qi ∂q j
свойством симметрии ki j=k j i.

Рассмотрим сначала дискретно-континуальную систему. Раскладывая вектор перемещения (3.9) в ряд Тейлора вблизи положения равновесия и ограничиваясь линейными членами, получим

	s		∂ r
		(∂qi )0 qi,			(3.14)
	r =∑i=1

где производные (∂ r ) не зависят от времени.

∂ qi 0

Тогда вариация перемещения, скорость и ускорение определятся соответственно так:

53

s

∂ r

(∂ qi

)0

δ qi,

(3.15)

δ r=∑i=1

s

∂ r

r˙ =∑i=1

(∂qi )0 q˙i,

(3.16)

s

∂ r

r¨ =∑i=1

(∂qi )0 q¨i.

(3.17)

Запишем выражение для кинетической энергии системы с учетом (3.16)

1

2

1

s

∂

r

s

∂ r

T =

2 V

ρ r˙

dV

= 2 V ρ∑i=1 (∂qi )0 q˙i ∑j=1

(∂ q j )0 q˙j dV

(3.18)

или

1

s

s

T =

∑∑ mi j q˙i q˙j,

(3.19)

∂ r

∂ r

2 i=1 j=1

где mi j= V

ρ(

)0

(

)0 dV – коэффициенты обобщенных масс. Они обла-

∂ qi

∂q j

дают свойством симметрии mi j=m j i.

Запишем выражение для вариации работы распределенных внешних силp (3.4) с учетом (3.15)

			s		∂ r		s
				(∂ qi )0			δ qi dS=∑Qi δ qi,	(3.20)
		δ A= p ∑
			S i=1				i=1
		∂ r
где Qi (t)= S	p(		)0 dS – обобщенная сила, соответствующая обобщенной
		∂ qi

координате qi.

Аналогичным образом получаются выражения для кинетической энергии дискретной системы и вариации работы сосредоточенных внешних сил Pk (3.6).

В этом случае производные (	∂ r	)0	заменяются на (	∂ r k	)0, которые определяют-
	∂ qi			∂qi

ся из зависимостей (3.8), а интегралы заменяются суммами по всем сосредоточенным массам. В результате коэффициенты обобщенных масс и обобщенные силы записываются соответственно в виде

N
mi j=k∑=1	mk (	∂ r k	)0(	∂ r k	)0;	(3.21)
		∂ qi		∂ q j

54

N
		∂ r k
Qi (t)=∑ Pk (t)	(∂ qi )0			.	(3.22)
k =1

Если дискретно-континуальная система имеет в некоторых точках сосредоточенные массы mk, на которые действуют сосредоточенные силы Pk , то в этом случае коэффициенты обобщенных масс представляются в виде

		∂ r		∂ r		mk (	∂ r k	)0(	∂ rk	)0,
mi j= V	ρ(		)0(		)0 dV +∑k						(3.23)
		∂ qi		∂q j			∂qi		∂ q j

а обобщенные силы соответственно в виде

		∂ r
					∂ r k
Qi (t)= S	p(	∂ qi	)0 dS +∑k	Pk (t)(	∂qi	)0.	(3.24)

Подставив выражения для потенциальной (3.13) и кинетической (3.19) энергий в уравнения Лагранжа (3.10), получим систему линейных дифференциальных уравнений малых колебаний

s	s
∑ mi j q¨j+∑k i j q j=Qi (t) (i=1,2,..., s).		(3.25)
j=1	j=1
Для решения этих уравнений требуется задать н а ч а л ь н ы е		у с л о в и я

(в момент времени t=0) для обобщенных координат q j и обобщенных скоро-

стей q˙j.

Запишем систему линейных дифференциальных уравнений (3.25) в мат-

ричной форме

+

q=

,

(3.26)

M

K

Q

q¨

m11 m12 ... m1 s

где

= m21

m22 ...

m2 s

– матрица коэффициентов обобщенных масс;

M

... ... ... ...

ms1

ms2 ...

ms s

k11

k12 ...

k1 s

k21

k22 ...

k2 s

– матрица коэффициентов обобщенных жестко-

K =

...

... ...

...

стей (матрица жесткости);

ks 1

k s 2 ...

k s s

55

= q1 – вектор-столбец обобщенных координат;

2

q qqs

¨ = q¨1 – вектор-столбец обобщенных ускорений;

2

q qq¨¨s

Q= Q2 – вектор-столбец обобщенных сил.

Q1

Qs

Матрицы масс M и жесткостей K являются симметричными матрицами,

т.е.

	т =		;		т=		,	(3.27)
M		M		K		K

где индексом «т» обозначено транспонирование.

Уравнение колебаний (3.26) может быть получено также с использованием так называемых коэффициентов влияния. Рассмотрим дискретную систему. К о э ф ф и ц и е н т о м в л и я н и я gi j называется перемещение i-й точки от

действия единичной силы Q j=1, приложенной в j-й точке и совпадающей по направлению с перемещением j-й точки, причем gi j=g j i. При колебаниях системы на нее будут действовать как внешние сосредоточенные силы Q j (t), приложенные в узловых точках, так и силы инерции m j q¨j, приложенные в тех же точках ( j=1, 2,..., s). Перемещения узловых точек системы будут равны

s

qi=∑ gi j (Q j−m j q¨j ) (i=1,2,..., s).

(3.28)

j=1

Полученные уравнения в матричной форме имеют вид

q=

−

,

(3.29)

G

Q

G

M

q¨

m1

0

0

0

где

= 0

m2

0

0

– диагональная матрица масс;

M

0

0

0

ms