Домрачев_Задание КР уск-2003

21

Округляя, получим окончательно:

i2 = 6,27e−12087t −0,27e−57913t , A.

Ответы: uc =171,43 −51,9e−12087t +0,47e

i2 = 6,27e−12087t −0,27 −57913t ,

−57913t , B.

A.

3.2.2. Решение задачи операторным методом

Составим операторную схему замещения (рис. 3.5).

Как видно из схемы, для нахождения U c (p) целесообразно использовать

метод двух узлов. Заземлив узел 2, для узла 1 составим уравнение

Y11(p)U1(p)= I11(p),

где Y11(p) - узловая проводимость:

Y

(p)=

1

+ pC +

1

= 0,1+10−5 р+

11

R1

Rэ + Lp

I11 (p) - узловой ток:

I

(p)=

E

1

+

uc (0−)

pC −

Li3(0−)

=

11

p

R1

p

Rэ + Lp

=

20

+12 10−4

−

2 10−3

;

p

60 +10−3 p

20

+12 10−4 −

2 10−3

60 +10−3 p

U

c

(p)=U

(p)

=

p

=

1

1

0,1+10−5 р+

+10−3 p

60

20(60 +10−3 p)+12 10−4 p(60 +10−3 p)−2 10−3 p

=p(6 +10−4 p +6 10−4 p +10−8 p2 +1)

	12 10−7 p2 +0,09 p +1200			F (p)
=		p(10−8 p2 +7 10−4 p +7)	=	1		.
				pF2	(p)

1

60 +10−3 p ;

=

22

Для перехода от изображения U c (p) к оригиналу uc используем вариант

формулы разложения, когда в знаменателе U c (p) присутствует нулевой корень.

uc =

F1

(0)

+

F1 (p1 )

еp1t +

F1 (p2 )

еp2t ,

F2

p1F2′(p1 )

p2 F2′(p2 )

(0)

где p1 и p2 - корни уравнения F2 (p)= 0 ;

F (p)=10−8 р2 +7 10−4 р+7 = 0.

2

Уравнение F2 (p)= 0 совпадает с характеристическим уравнением в класси-

ческом методе, его корни:

р

= −12087с−1 , р

2

= −57913с−1;

1

F2′(p)= 2 10−8 р+7 10−4;

F

(p

)=12 10−7 (−12087)2

+0,09(−12087)+1200 =

1

1

=175,315 −1087,83 +1200 = 287,485;

р1F2′(p1 )= (−12087)[2 10−8 (−12087)+7 10−4 ]= −5,539;

F

(p

2

)=12 10−7 (−57913)2

+0,09(−57913)+1200 =

1

=4024,7 −5212,17 +1200 =12,53;

р2 F2′(p2 )= (−57913)[2 10−8 (−57913)+7 10−4 ]= 26,539;

uc = 12007 + 287−5,,539485 е−12087t + 2612,,53953 е−57913t =

=171,43 −51,9е−12087t +0,47е−57913t , B.

i2 = C dudtc = 6,27e−12087t −0,27e−57913t , A.

Таким образом, выражения uc и i2 , найденные классическим и оператор-

ным методами, полностью совпадают.

Если требуется найти только ток i2

операторным методом, удобнее сразу

получить изображение I 2 (p), используя закон Ома для второй ветви (рис. 3.5):

I

2

(p)=

U

c

(p)−

uc (0−)

pC = −Cu

c

(0

−

)+CpU

c

(p)=

p

= −12 10

−4

+

10−5 (12

10−7 p2 +0,09 p +1200)

=

10−8 p2

+7 10−4 p +

7

0,6 10−7 p +36 10−4

F (p)

=

=

1

.

F2(p)

10−8 p2 +7 10−4 p +7

Формула разложения в этом случае имеет вид

i2

=

F1

(p1 )

еp1t +

F1

(p2 )

еp2t .

F2′

(p1 )

F2′

(p2 )

F

(p )= 0,6 10−7 (−12087)+36 10−4 = 2,87478 10−3

1

1

23

F2′(p1)= 2 10−8(−12087)+7 10−4 = 4,583 10−4;

F1(p2 )= 0,6 10−7 (−57913)+36 10−4 =1,2522 10−4;

F2′(p2 )= 2 10−8(−57913)+7 10−4 = −4,5826 10−4;

i2	=	2,87478 10−3	е−12087t	+	1,25 22 10−4	е−57913t =
		4,583 10−4			−4,5826 10−4

= 6,273е−12087t −0,273е−57913t , A.

Графики переходного процесса для i2 и uc построены на рис.3.6 и 3.7.

Рис. 3.6

				24
uc , В		tпп	=3τ1 = 0,24 мс
180							uспр =171,4 В
160
140		uc	= uспр	+ uссв1 + uссв2 =
120		=171,43 − 51,9e12087 t				+ 0,47e−67913 t , В
100
80
60
40
20	uссв2	= 0,47e−67913t , В		2τ		3τ
		τ	0,1		0,2		0,3	t, мс
0		1		1		1
-20		uссв1 = −51,9e12087t , В
-40
-60
				Рис. 3.7
		Контрольные вопросы и задачи

4.1. Контрольные вопросы

1.Закон Ома. Законы Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений. Законы Ома и Кирхгофа в символической и операторной формах.

2.Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов с помощью вращающихся векторов и комплексных чисел. Формулы Эйлера для комплексных чисел. Сложение, вычитание, умножение, деление синусоидальных функций времени. Векторная диаграмма.

3.Зависимости между током и напряжением в цепи, содержащей только активное сопротивление; в цепи, содержащей только индуктивность; в цепи, содержащей только электроемкость.

4.Ток и напряжение в цепи синусоидального тока при последовательном соединении R,L,C. Векторная диаграмма.

5.Ток и напряжение в цепи синусоидального тока при параллельном соединении R,L и C. Векторная диаграмма.

25

6.Мощности. Мгновенная мощность. Активная, реактивная и полная мощности. Коэффициент мощности. Треугольник мощностей.

7.Три вида формул для мощности. Выражение мощности в символической форме. Условие передачи максимальной мощности от источника энергии нагрузке.

8.Индуктивно-связанные цепи. Коэффициенты, характеризующие индук- тивно-связанную систему. Согласное и встречное включение катушек. Трансформатор.

9.Расчет электрических цепей при несинусоидальных периодических ЭДС, напряжениях и токах. Ряд Фурье. Спектры периодических сигналов. Действующие значения и мощности.

10.Классический метод расчета переходных процессов. Законы коммута-

ции.

11.Расчет переходных процессов операторным методом. Формула разложения для перехода от изображения к функции времени.

12.Резонанс напряжений. Параметры и характеристики последовательного колебательного контура при резонансе напряжений. Векторная диаграмма.

13.Резонансные кривые и частотные характеристики последовательного колебательного контура. Полоса пропускания и избирательность контура.

14.Резонанс токов. Резонансная частота. Признаки резонанса токов. Векторная диаграмма. Добротность и входное сопротивление параллельного контура при резонансе.

15.Входные и передаточные АЧХ и ФЧХ параллельного контура. Избирательность.

16.Нелинейные резистивные цепи. Графические методы расчета, метод пересечений, метод эквивалентного генератора, итерационный метод.

17.Нелинейное сопротивление при гармоническим воздействии. Понятие о режиме малого и большого сигнала. Нелинейное сопротивление при одновременном воздействии двух гармонических сигналов.

18.Расчет переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля. Временные и импульсные характеристики линейных цепей. Свертка двух функций.

19.Дифференцирующие цепи. Применение операционных усилителей для повышения точности дифференцирования.

20.Интегрирующие цепи. Применение операционных усилителей для повышения точности интегрирования.

26

4.2.Задачи

1.Для цепи, изображенной на рис. 4.1, известны действующие значения трех напряжений. Требуется качественно построить векторную диаграмму напряжений и тока, определить действующее значение неизвестного (четвертого) напряже-

ния и найти разность фаз ϕ между током и общим напряжением. U R =10 B;

U L =10 B; U = 5 5 B; U c = ? ϕ = ?

2. Для цепи, изображенной на рис. 4.2, известны действующие значения трех напряжений. Требуется качественно построить векторную диаграмму напряжений и тока, определить действующее значение неизвестного (четвертого) напряжения и найти разность фаз ϕ между током и общим напряжением.

U R =10 B; Uc =10 3 B; U = 20 B; U L = ?

ϕ = ?

3. Для цепи, изображенной на рис. 4.3, известны действующие значения трех токов. Требуется качественно построить векторную диаграмму токов и напряжения, определить действующее значение неизвестного (четвертого) тока и найти разность фаз ϕ между током и общим напряжением.

I R = 3 A; I L =1 A; I = 2 A; Ic = ? ϕ = ? 4. Для цепи, изображенной на рис.4.4,

известны действующие значения трех токов. Требуется качественно построить векторную диаграмму токов и напряжения, определить действующее значение неизвестного (четвертого) тока и найти разность фаз ϕ между током и общим напряжением.

IR =1 3 A; I с = 2 A ; I = 2 3 A; I L = ?

ϕ = ?

I& R

&		U&R	&
			UL	L
U		U&с
		C
	Рис.4.1
I&		R
&		U&R	&
			UL		L
U		U&с
		C
	Рис. 4.2
I&
U&		R	C
I&R		I&L I&c
	Рис. 4.3
I&
&		R	L C
U		I&L	I&
I&
R			c

Рис. 4.4

				27
	5.	R =16 Ом; ωL = 6 Ом;	1	= 6 Ом;
			ωC
	u =160sin ωt +80sin 3ωt B.
	Найти i(t), I.
	6.	u = 44,8sin ωt +30	2 sin 2ωt B.

Найти i(t), I.

	I&
	R
u	C
	L

Рис. 4.5

R=10 Ом

i

C

u

ω1C =20Ом

Рис. 4.6

	7. u = 20sinωt +14,1sin 2ωt B. Найти	R=10 Ом
	i(t), I.
		i

u L

ωL =5Ом

8.u = 40 sin ωt + 20 sin 2ωt B. Най-

ти i(t), I.

9.u = 20sinωt +10sin 2ωt B.Найти

i(t), I.

Рис. 4.7

	i
u	R	С

R=10 Ом; ω1C = 2Ом;

Рис. 4.8

i

u R L

R=10 Ом; ωL =5Ом;

Рис. 4.9

28

10.Цепь постоянного тока состоит

из катушки, индуктивность			которой
L = 0,1 Гн, и двух резисторов с сопротив-
лениями	R =10 Ом и	R1 = 30 Ом. Прило-
женное	напряжение	U =120 B .	Резистор

R1 внезапно замыкается накоротко. Найти

напряжение и ток в катушке после замыкания контакта, построить график его изменения во времени.

11. В цепи контакт замкнут. Найти выражение тока после внезапного размыкания контакта, вводящего в цепь добавочное сопротивление R1 . Даны: U =120 B ,

R =10 Ом, R1 = 30 Ом, L = 0,1 Гн.

R

+

i

U L

R1

Рис. 4.10

R

+

i

U L

R 1

12. Цепь включается на постоянное напряжение U =120 B . Найти выраже-

ния токов i1,i2 и i3 и изобразить их графи-

чески. R1 = 20 Ом, R2 = 30 Ом, L = 0,3 Гн.

13. Цепь включается на постоянное напряжение U =120 B . Найти выраже-

ния токов i1, i2 и i3 и изобразить их графи-

чески. R1 = 20 Ом, R2 = 30 Ом, L = 0,3 Гн.

Задачу решить операторным методом.

14. Цепь включается на постоянное напряжение. Найти токи и начертить кривые изменения их во времени. Данные цепи: U =10 B , R1 = 40 Ом, R2 =10 Ом,

С = 25 пФ.

Рис. 4.11

+	R1
U	i1
	i3 L	R2
		i2
	Рис. 4.12
+	R1
U	i1
	i3 L	R2
		i2
	Рис.4.13
+	R 1
		С
	i1
U
	i 3	R 2
		i 2

Рис.4.14

29

15. Цепь включается на постоянное напряжение. Найти токи и начертить кривые изменения их во времени. Данные

цепи: U =10 B , R1 = 40 Ом,	R2 =10 Ом,
С = 25 пФ. Задачу решить	операторным
методом.

Две катушки, индуктивно связанные между собой, присоединены к источнику

напряжения U =120 B ,	f = 50 Гц. Сопро-
тивления	R1 = R2 = 3 Ом;

L1 = L2 = 0,0127 Гн. Определить ток, если

коэффициент индуктивной связи кату-

шекК = 0,8.

17. Две катушки, индуктивно связанные между собой, присоединены к источнику напряжения U =120 B . Сопротивле-

ния R1 = R2 = 3 Ом; L1 = L2 = 0,0127 Гн, f = 50 Гц. Определить ток, если коэффи-

циент индуктивной связи катушекК = 0,8.

+	R 1
		С
	i1
U
	i 3	R 2
		i 2

Рис.4.15

I M

U R1 L1 L2 R2

Рис.4.16

I M

U	R1 L1 L2 R2
	Рис. 4.17

18. Определить емкость конденсатора С, который надо включить последовательно с катушкой, имеющей активное сопротивление R =16 Ом и индук-

тивность L =158 мкГн, для того, чтобы цепь была настроена на резонанс при частоте f0 =1 МГц. Найти ток, мощность, выделяемую в цепи, напряжения на конденсаторе и катушке при резонансе, если приложение к цепи напряжение

U= 0,8 B .

19.Реостат с активным сопротивлением R =100 Ом, катушка с индуктивностью L = 5,05 мГн и конденсатор емкостью С = 0,05 мкФ соединены последовательно. U =10 B. Вычислить резонансную частоту, характеристическое сопротивление, затухание и добротность контура, напряжение U L0 и UC0 при резо-

нансной частоте.

20.Выбрать параметры индуктивной катушки для последовательного ре-

зонансного контура, обеспечивающие полосу пропускания от f1 =148 кГц до f2 =152 кГц. Емкость конденсатора С =10−8 Ф.

30

Библиографический список

1.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. - М.: Гардари-

ки, 2000.

2.Основы теории цепей: Учебник для вузов / Т.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил и др. - М.: Энергоатомиздат, 1989.

3.Попов В.П. Основы теории цепей. - М.: Высш. шк., 2000.

4.Шебес М.Р. Задачник по теории линейных электрических цепей / Сост. Клабукова М.В. - М.: Высш. шк., 1990.

5.Сборник задач по теоретическим основам электротехники / Под ред. Л.А.Бессонова. – М.: Высш. шк., 1988.