Обратная матрица

Определение. Обратной к квадратной матрице А называется такая матрица той же размерности, что иА, для которой верно или.

Легко убедиться, что если для матрицы А существует правая обратная матрица В, т. е. , то она единственная, и существует левая обратная матрицаС, которая совпадает с В, т. е. . Действительно, равенствапоказывают, что всякая левая обратная матрицаС совпадает с В. Аналогично показывается, что всякая правая обратная матрица совпадает с С, а на основании выше доказанного, совпадает и с В.

Остался открытым вопрос существования обратной матрицы.

Определение. Невырожденной называется матрица, определитель которой отличен от нуля.

Теорема. Обратная матрица существует у невырожденных матриц и только у них.

Доказательство. Пусть матрица А – невырожденная, т. е. . Тогда существует матрица

,

где –алгебраическое дополнение элемента , определяемое как=, где– минор элемента. Покажем, что матрицаВ является обратной для А, т. е. матрица С=АВ является единичной.

поскольку матрица имеет две одинаковых строки. Таким образом,С=Е.■

Одним из способов вычисления обратной матрицы является следующий.

1. Составить расширенную матрицу (А|Е), приписав после матрицы А за вертикальной чертой единичную матрицу той же размерности, что и А.

2. Матрицу (А|Е) с помощью элементарных преобразований строк привести к ступенчатому виду Гаусса.

Если при этом на месте матрицы А получилась матрица Е, то за вертикальной чертой находится матрица . В противном случаеи матрицане существует.

Системы линейных уравнений

Определение. Системой линейных уравнений, состоящей из m уравнений с n неизвестными , называется система вида

где – некоторые числа.

Определение. Матрицей системы называется матрица

.

Определение. Столбцом свободных членов называется вектор-столбец

.

Определение. Столбцом неизвестных называется вектор-столбец

.

Тогда в матричной записисистема линейных уравнений может быть записана в виде.

Определение. Расширенной матрицей системы называется матрица, полученная приписыванием к А справа после вертикальной черты столбца свободных членов , обозначаемая (А|).

Определение. Система линейных уравнений называется однородной, если свободные члены всех ее уравнений равны нулю, и неоднородной – в противном случае.

Определение. Решением системы линейных уравнений называется упорядоченный набор n чисел (n-мерный вектор-столбец) , при подстановке которого в систему линейных уравнений вместополучаем систему тождеств.

Определение. Общим решением системы линейных уравнений называется совокупность всех ее решений.

Определение. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной – в противном случае.

Специальный случай.

Рассмотрим системы линейных уравнений с квадратной матрицей, определитель которой неравен нулю.

Теорема (правило Крамера). Система из n уравнений с n неизвестными в случае, когда определитель матрицы системы отличен от нуля, имеет решение, и притом только одно. Это решение находится по формулам

(для всех ),

где через обозначен определитель матрицы системы, а через – определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Доказательство. Возьмем расширенную матрицу системы и припишем к ней сверху произвольную ее строку, например j-ю. В результате получится квадратная матрица порядка n+1. В этой матрице две одинаковые строки, и поэтому ее определитель равен нулю:

=0.