19

Векторы в пространстве Определение вектора. Линейные операции над векторами.

Направленным отрезкомназывается упорядоченная пара точек пространства.

Началомиконцомнаправленного отрезка называются, соответственно, первая и вторая точки этой пары.

Длинойнаправленного отрезка называется расстояние между этими точками.

Направленный отрезок называется нулевым, если его начало и конец совпадают.

Два ненулевых направленных отрезка называются коллинеарными, если прямые, на которых они лежат, параллельны или совпадают. Нулевой направленный отрезок считается коллинеарным любому направленному отрезку.

Два ненулевых направленных отрезка, лежащих на параллельных прямых, сонаправлены, если их концы лежат по одну сторону от прямой, соединяющей их начала, ипротивоположно направлены, если по разные. Если ненулевые направленные отрезки лежал на одной прямой, то онисонаправленымежду собой, если существует направленный отрезок, сонаправленный каждому из них, ипротивоположно направленыв противном случае.

Два направленных отрезка равны, если они имеют одинаковую длину и сонаправлены.

Векторомназывается множество всех равных между собой направленных отрезков.

Итак, вектор — это множество, состоящее из бесконечного числа элементов. Если , то говорят, что направленный отрезок изображает вектор ;при этом на чертеже рисуется именно напра­вленный отрезок, а говорят про него «вектор». В частности, когда мы говорим «отложим вектор от точкиО», то имеется в виду, что строится направленный отрезок,изображающий вектор .

После того как дано определение вектора, все понятия, связанные с направленными отрезками, переносятся на векторы следующим образом: говорят, что векторы обладают некоторым свойством, если этим свойством обладают изображающие их направленные отрезки. Например, векторы называются равными,если равны изображающие их направленные отрезки.

Суммой векторовиназывается вектор, начало которого находится в произвольной точкеАпространства, а конец строится следующим образом: отложим от точкиА вектор, равный вектору, а от точкиВвектор, равный вектору; тогда точкаСи будет концом вектора .

Произведением векторана действительное числоназывается вектор длины , сонаправленный с вектором, если>0, и направленный противоположно вектору, если<0.

Свойства сложения векторов:

1°. (коммутативность сложения).

2°. (ассоциативность сложения).

3°. .

4°. .

Свойства умножения вектора на число:

1°. (ассоциативность).

2°. (дистрибутивность по отношению к сложению действительных чисел).

3°. (дистрибутивность по отношению к сложению векторов).

4°. .

Дополнительные операции.

Разностью векторовиназывается вектор, равный .

Частным от деления векторана число(), называется вектор, равный.

Три ненулевых вектора называются компланарными, если будучи отложенными от одной точки, оказываются лежащими в одной плоскости. (Нулевой вектор компланарен с любыми двумя векторами).

Линейной комбинацией векторовназывается выражение вида, где коэффициенты— действительные числа.

Если вектор представлен как линейная комбинация некоторых векторов, то говорят, что он разложенпо этим векторам.

Линейная комбинация векторов называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю, инетривиальнойв противном случае.

Набор векторов называетсялинейно зависимым, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору, илинейно независимымв противном случае.

Теорема. Для того чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Доказательство необходимости. Дано: векторы и линейно зависимы. Требуется доказать, что они коллинеар­ны. Так как векторы и линейно зависимы, то существуют числаи, не равные нулю одновременно, и такие, что. Пусть, например,, тогда; отсюда следует, что векторы и коллинеарны.

Доказательство достаточности. Дано: векторы и коллинеарны. Требуется доказать, что они линейно зависимы.

Если , то имеет место равенство, а это означает, что векторы и линейно зависимы ().

Если же , то, беряв соответствии с определением произведения вектора на число, находим, или, значит векторы и линейно зависимы.ڤ

Теорема. Для того чтобы три вектора были ли­нейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были ком­планарны.

Доказательство необходимости. Дано: векторы ,,линейно зависимы. Требуется доказать, что они компланарны.

Так как векторы ,, линейно зависимы, то существуют числа,,, среди которых есть хотя бы одно, не равное нулю, такие, что. Пусть, например,, тогда.

Векторы иколлинеарны соответственно векторами; очевидно, сумма таких векторов, то есть вектор будет компланарен с векторамии.

Доказательство достаточности. Дано: векторы ,,компланарны. Требуется доказать, что эти векторы линей­но зависимы.

Если векторы иколлинеарны, то они линейно зависимы (теорема выше), т. е. найдутся числаи, из которых по крайней мере одно не равно нулю и такие, что, но тогда и, т. е. векторы,,линейно зависимы. Пусть векторы инеколлинеарны. Отложим векторы,,от одной и той же точкиО:,,. Так как векторы ,,компланарны, то точкилежат в одной плоскости. Спроектируем точкуна прямуюпараллельно прямой; пустьР—эта проекция. Тогдаи так каки,и, то беряив соответствии с определением произведения вектора на число, находим,, так что, то есть векторы ,,линейно зависимы.ڤ

Теорема. Всякие четыре вектора в простран­стве линейно зависимы.

Доказательство. Если векторы,,компланарны, то они линейно зависимы (теорема выше), т. е. найдутся числа,,, из которых по крайней мере одно не равно нулю и такие, что, но тогда и, т. е. векторы,,,линейно зависимы. Пусть векторы,,некомпланарны. Отложим все векторы,,,от одной и той же точкиО:,,,. ПустьР —проекция точкина плоскостьпараллельно прямой, аQ— проекция точкиРна прямуюпараллель­но прямой. Тогда. Векторысоответственно коллинеарны векторам,,. Беря,ив соответствии с определением произведения вектора на число, находим,,, так что, то есть векторы ,,,линейно зависимы.ڤ

Базисом называется максимальный набор линейно независимых векторов, взятых в определенном порядке.

Из доказанных теорем следует, что базисом на плоскости является упорядоченная пара неколлинеарных векторов , лежащих в этой плоскости, а базисом в пространстве является упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Если вектор разложен по базису, то есть, то числаназываются координатами векторав базисе.

Теорема. Всякий вектор в пространстве может быть и при том единственным образом разложен по базису в этом пространстве.

Доказательство существования разложения.Пусть есть вектори базис. Так как всякие четыре вектора в простран­стве линейно зависимы, то найдутся числа,,,, из которых по крайней мере одно не равно нулю и такие, что. Если=0, то, где хотя бы одно из чисел,,не равно нулю. Следовательно,линейно зависимы, что противоречит определению базиса. То есть. Тогда— разложение векторапо базису.

Доказательство единственности разложения.Пусть есть два разложенияи. Тогда. Следовательно, получаем, что. Так как— базис, то векторылинейно независимы, то есть,,. Значит,,,, и разложение единственно.ڤ

Координаты вектора в данном базисе определяются однозначно, поэтому если нам каким-то способом удалось их определить, то можно быть уверенными, что и любым другим способом получится тот же самый результат. При этом, конечно, если мы сменим базис, то координаты вектора, вообще говоря, изменятся.

Пусть даны два направленных отрезка ис общим началом.Угломмежду ними назовем угловую величину наименьшего из плоских углов, образованных лучамиОА и ОВ,еслии.Если же хотя бы один из этих напра­вленных отрезков нулевой, то угол между ними не определяется.

Углом между двумя вектораминазывается угол между изображающими их направленными отрезками, отложен­ными от одной точки пространства. (Обратите внимание на разницу между понятиями угла между прямыми и угла между векторами: угол между прямыми не может быть тупым, в то время как угол между векторами — может.)

Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен 90⁰.