Кривые второго порядка Окружность.

Окружностью называется геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от некоторой точки, называемой центром.

Теорема. Если точкапринадлежит окружности с центром в начале координат и радиусаr, то ее координаты удовлетворяют уравнению, и обратно.

Доказательство легко следует из теоремы Пифагора.ڤ

Уравнение называетсяканоническим уравнением окружности.

Эллипс.

Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть данное число 2а, большее, чем расстояние 2с между фокусами.

Теорема. Если точкапринадлежит эллипсу с фокусами в точкахии сумма расстояний от нее до фокусов равна 2а, то ее координаты удовлетворяют уравнению, где, и обратно. (Уравнениеназываетсяканоническим уравнением эллипса.)

Доказательство. По определению эллипса имеем:. Перенося один радикал в правую часть, и возводя обе части уравнения в квадрат, получаем:

,

,

. Еще раз возводя обе части уравнения в квадрат, получаем:,

,. Учитывая, что, имеем:, то есть. Обратно, пусть точкаудовлетворяет уравнению. Докажем, что. Действительно,= ==

==

==

==

==

===

===2а, посколькуи.ڤ

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокального расстояния к большой полуоси, то есть. Легко видеть, что.

Замечание. Если фокусы находятся на осиOY, то.

Гипербола.

Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть данное положительное число 2а, меньшее, чем расстояние 2смежду фокусами.

Теорема. Если точкапринадлежит гиперболе с фокусами в точкахии модуль разности расстояний от нее до фокусов равна 2а, то ее координаты удовлетворяют уравнению, где, и обратно. (Уравнениеназываетсяканоническим уравнением гиперболы.)

Доказательство. По определению гиперболы имеем:

. Тогда получается, что. Перенося один радикал в правую часть, и возводя обе части уравнения в квадрат, получаем:

,

,

. Еще раз возводя обе части уравнения в квадрат, получаем:,

,. Учитывая, что, имеем:, то есть. Обратно, пусть точкаудовлетворяет уравнению. Докажем, что. Действительно,= ==

==

==

==

==

===

==.

То есть =2а. Следовательно.ڤ

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокального расстояния к большой полуоси, то есть. Легко видеть, что.

Замечание. Если фокусы находятся на осиOY, то каноническое уравнение будет.

Теорема. Гипербола, уравнение которой, имеет асимптоты.

Доказательство. Покажем, что. Действительно,

.ڤ

Парабола.

Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, не проходящей через фокус, и называемой директрисой.

Расстояние от фокуса параболы до ее директрисы называется параметромпараболы.

Эксцентриситет параболы принимается равным единице.

Теорема. Если точкапринадлежит параболе с фокусом в точкеи директрисой, то ее координаты удовлетворяют уравнению, и обратно. (Уравнениеназываетсяканоническим уравнением параболы.)

Доказательство. По определению параболы имеем:

. Это уравнение эквивалентно следующему:. Раскрывая скобки, получаем:. Приводя подобные слагаемые, имеем:. Обратно, пусть точкаудовлетворяет уравнению. Докажем, что расстояние от точкиМдо фокуса равно расстоянию от этой точки до директрисы. Действительно, расстояние от точкиМдо фокуса равно, то есть расстоянию от точкиМдо директрисы.ڤ

Замечание. Если фокус находятся на осиOY(), а директриса имеет уравнение, то каноническое уравнение будет.