Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведениемдвух ненулевых векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то их скалярное произведение по определению полагают равным нулю.

Скалярное произведение векторов иобозначается.

Свойства скалярного произведения:

1°. (коммутативность).

2°. ; выражениеназываетсяскалярным квадратомвектораи обозначается.

3°. Если , то.

4°. (линейность).

Теорема. Для того чтобы два ненулевых вектора были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.

Доказательство необходимости. Дано:,,. Требуется доказать, что.

Действительно, ==0.

Доказательство достаточности. Дано:,,. Требуется доказать, что.

Так как , то. Поскольку,, то. Следовательно,, то есть.ڤ

Базис называется ортогональным, если его векторы попарно ортогональны.

Базис называется нормированным, если его векторы имеют единичную длину.

Базис называется ортонормированным, если он ортогональный и нормированный.

Теорема. В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов равно сумме произведений их соответствующих коор­динат.

Доказательство.Пустьив ортонормированном базисе. Так как— ортонормированный базис, то;. Следовательно,,,;,,. Тогда=

=

+

+=

=.ڤ

Векторное произведение векторов.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой тройкой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае она называетсялевой тройкой.

При перестановке в упорядоченной тройке двух любых векторов тройка меняет ориентацию на противоположную.

Векторным произведениемнеколлинеарных векторов иназывается вектор, такой что:

• ;

• и;

• вектор направлен так, что векторы,ив указанном порядке образуют правую тройку.

В случае, если векторы иколлинеарны, их векторное произведение равно.

Левая тройка. Правая тройка.

Свойства векторного произведения:

1°. (антикоммутативность).

2°.

3°.

(линейность).

Подобно тому, как это было сделано для скалярного произведения, можно получить выражение для векторного произведения векторов через их координаты в заданном базисе. Чтобы записать их в компактной и удобной для запоминания форме, нам потребу­ется понятие определителя.

Рассмотрим четыре числа: а, b, сиd.Из них можно составить таблицу:, которая называетсяквадратнойматрицей второго порядка.

Числа а, b , с и dназываютсяэлементамиматрицы. Элементыaиbобразуют первую строку матрицы, элементыc иd— вторую строку; элементыаисобразуют первый столбец матрицы, элемен­тыbиd —второй столбец.

Число ad - bcназываетсяопределителем (илидетерминантом)матрицыи обозначается так:.

Аналогично, таблица , составленная из девяти чисел, называетсяквадратной матрицей третьего порядка.

Как и в случае матрицы второго порядка, вводятся понятия элементов матрицы, ее строк и столбцов. Строки по-прежнему нумеру­ются сверху вниз, а столбцы — слева направо.

Число называетсяопределителем (илидетерминантом) матрицыи обозначается. Более полная теория матриц и определителей будет дана позже.

Теорема. Пусть— правый ортонормированный базис, и в этом базисеи. Тогда векторное произведениевычисляется по следующей формуле=.

Доказательство.Так как— правый ортонормированный базис, то;. Следовательно,,,. Поскольку, во-первых,, во-вторых, и в-третьих,— правая тройка, то. Аналогично,,,,,. Тогда

=

=

+

+=

=++=

=+=

==.ڤ

Теорема.Длина вектора векторного произведениячисленно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и, как на смежных сторонах.

Доказательство. ڤ

Теорема.Для того чтобы два вектора в пространстве были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось.

Доказательство необходимости.Если векторыиколлинеарны, топо определению.

Доказательство достаточности. Пусть . Тогда. Еслиили, то векторыиколлинеарны, поскольку нулевой вектор коллинеарен любому. Еслии, то. Следовательно,или, то есть векторыиколлинеарны.ڤ