1.7. Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов является одним из основных расчетных методов. Суть метода заключается в том, что при использовании законов Кирхгофа и Ома определяются потенциалы узлов схемы, а затем и токи ветвей. Число решаемых уравнений сокращается до величины (у – 1) (см. п. 1.5).

Если в схеме «у» узлов, то потенциал одного (базового) узла можно выбрать произвольно, приравняв его значение, например, нулю. Уравнения для нахождения потенциалов других узлов составляются по определенным правилам. Лучше всего это показать на примере.

Рассмотрим схему рис. 1.21. Число узлов у = 4; примем потенциал 0-го узла равным нулю (₀ = 0).

Для остальных узлов запишем уравнения по первому затону Кирхгофа.

Для 1-го узла: I₄ + J – I₁ = 0;

Для 2-го узла: I₃ + I₅ – I₄ = 0;

Для 3-го узла: J – I₂ – I₅ = 0.

Используя закон Ома, выразим токи через потенциалы узлов и параметры ветвей.

Проведя несложные математические преобразования и учитывая, что  ₀ = 0, получим

Используем выражение g =. Кроме этого, введем дополнительные обозначения

g₁₁ = g₁ + g₂; g₂₂ = g₄ + g₅+ g₃;

g₃₃ = g₅ + g₂; g₁₂ = g₂₁ = g₄; g₂₃ = g₃₂ = g₅,

где g₁₁, g₂₂, g₃₃ – сумма проводимостей ветвей, присоединённых соответственно к 1, 2 и 3 узлам, т. е. к узлам, потенциалы которых подлежат определению; g₁₂ = g₂₁ – сумма проводимостей ветвей, соединяющих два соседних узла 1 и 2; g₂₃ = g₃₂ – сумма проводимостей ветвей, соединяющих два соседних узла 2 и 3.

В правой части уравнений находится алгебраическая сумма произведений ЭДС на проводимости соответствующих ветвей и токов источников тока. Причем, произведение или ток источника берутся со знаком «+» (плюс), если ЭДС или источник тока действуют к узлу, и со знаком «–» (минус) – если наоборот.

Следуя по пути дальнейшей формализации, можно обозначить правые части уравнений как узловые токи

(1.16)

Окончательно система узловых уравнений выглядит так:

(1.17)

Для определения потенциалов исследуемой цепи нужно решить только три уравнения (вместо пяти – по законам Кирхгофа), т. е. число уравнений системы значительно сократилось.

После определения потенциалов узлов но закону Ома определяются токи во всех ветвях схемы.

(1.18)

Рекомендуется следующий порядок расчета электрической цепи по методу узловых потенциалов.

1. Определить число у узлов схемы; пронумеровать узлы.

2. Один из узлов схемы принять за базовый, положив его потенциал равным нулю.

3. Подсчитать проводимости ветвей, если даны их сопротивления.

4. Подсчитать сумму проводимостей всех ветвей, присоединенных к каждому узлу, потенциал которого подлежит определению (это проводимости с одинаковыми индексами, например,

g₁₁, g₂₂ и т. д.).

5. Определить сумму проводимостей ветвей между каждой парой соседних узлов, потенциалы которых подлежат определению (это проводимости с разными индексами, например g₁₂, g₂₃

и т.д.).

6. Для записи правой части уравнений системы (1.17) необходимо определить узловые токи и т. д., согласно правилу, изложенному в начале параграфа.

7. Записать систему уравнении (1.17), причем, например, для первого узла: потенциал берется со знаком «+» (плюс), остальные со знаком «–» (минус) и т. д.

8. Решить систему (1.17).

9. По (1.18) определять токи в ветвях.

Пример 1.5. Определить токи в ветвях схемы, изображенной на рис. 1.21. Параметры схемы те же, что в примере 1.3.