2. Преобразование линейных электрических схем

2.1. Общие и методические замечания

В некоторых случаях расчет электрических цепей существенно упрощается, если применить преобразование схем. При этом можно уменьшить число ветвей или узлов, а, следовательно, и число уравнений.

Например, в той части схемы, где не содержатся источники, а пассивные элементы соединены последовательно - параллельно, можно путем свертывания ветвей с последовательными и параллельными сопротивлениями получить более простую схему.

При проведении преобразований необходимо выполнять условия неизменности мощности потребляемой ветвями, не затронутыми преобразованиями. Для этого достаточно сохранить неизменными токи и напряжения этих ветвей.

С преобразованием активных ветвей мы уже в какой-то мере познакомилась в первой главе (см. пример 1.7). Во второй главе этот вопрос будет рассмотрен подробнее.

Отметим еще раз (хотя об этом уже говорилось), что в преобразованной части схемы суммарные мощности в общем случае не равны суммарным мощностям исходной схемы.

2.2. Последовательное и параллельное соединение сопротивлений

Рассмотрим эти преобразования на примере резисторов, соединенных последовательно, параллельно и смешанным образом (см. рис. 2.1, 2.2, 2.3).По резисторам R₁ и R₂ при их последовательном соединении (рис. 2.1) - протекает один и тот же ток I. Следовательно,

(2.1)

где – эквивалентное сопротивление.

По резисторам R₁ и R₂ при параллельном их соединении (рис. 2.2) протекают разные токи при общем напряжении U₁₂. Суммарный ток

(2.2)

где – эквивалентная проводимость;

или – эквивалентное сопротивление двух ветвей.

Из выражения (2.2) можно получить формулу «разброса токов» для случая двух ветвей, соединенных параллельно.

А именно ;;.

Последние формулы легко запоминаются. Так для тока I₁ в числителе стоит «чужое» сопротивление – R₂, в знаменателе – сумма сопротивлений.

Для смешанного соединения сопротивлений (см. рис. 2.3), пользуясь (2.1) и (2.2), получим

.

Пример 2.1. Параметры элементов схемы рис. 2.4 а таковы: R₁ = 5,2 Ом; R₂ = 8 Ом; R₃ = 4 Ом;

R₄ = 10 Ом; R₅ = 40 Ом; Е₁ = 100 В.

Путем свёртывания схемы определить ток I₁.

Решение

Сначала заменим параллельное соединение R₄ и R₅, на эквивалентное

Ом (рис. 2.4 б).

Далее последовательное соединение R₃ и R₆ заменим на R₇ = R₃ + R₆ = 12 Ом (рис. 2.4, в).

Параллельное соединение R₂ и R₇ заменим на эквивалентное Ом (рис. 2.4г).

Теперь схема содержит только один контур, для которого не представляет труда составить уравнение по второму закону Кирхгофа , откудаА.

2.3. Преобразование пассивного треугольника сопротивлений в звезду и обратно

Рассмотрим преобразование схем, в которых резисторы соединены в эквивалентные

треугольник (рис. 2.5 а) и звезду (рис. 2.5 б).

Как отмечалось выше, условие эквивалентности двух схем сводится к равенству токов протекающих к узлам 1, 2, 3 треугольника и к соответствующим точкам звезды – это токи I₁, I₂, I₃,

а также к равенству напряжений между этими же точками.

Запишем напряжение U₂₁ для треугольника и звезды при условии I₂ = 0; I₃ = - I₁.

В треугольнике по сопротивлению R₁₂ протекает ток , являющийся частью токаI₃

(так как I₂ = 0), который мы найдем по формуле «разброса токов»

(2.3)

Отсюда напряжение

(2.4)

Это же напряжение для эквивалентной звезды (с учетом I₂ = 0)

; ; ; . (2.5)

Приравнивая (2.4) и (2.5), получим

(2.6)

Аналогично (2.6) можно записать

(2.7)

(2.8)

Формулы (2.6), (2.7) и (2.8) позволяют по известным сопротивлениям исходного треугольника получить сопротивления лучей эквивалентной звезды.

При обратном преобразовании, если за исходную схему берем трёхлучевую звезду, то сопротивления эквивалентного треугольника получим, решая совместно уравнения (2.6), (2.7) и (2.8) относительно неизвестных параметров треугольника

; (2.9)

; (2.10)

; (2.11)

Обратите внимание на известную мнемонику формул (2.6) – (2.11), позволяющую довольно просто их запомнить. Например, сопротивление R₁ по (2.6) для эквивалентной звезды получаем как произведение сопротивлений R₁₂ и R₃₁, подключенных к 1 узлу треугольника, деленное на сумму всех его сопротивлений.

Сопротивление, например, R₁₂ по (2.9) получается как сумма сопротивлений R₁ и R₂ (обратите внимание на их индексы) и сопротивления R₁R₂/R₃ (внимание на индексы).

Пример 2.2. В схеме рис. 2.6 а величины сопротивлений и ЭДС известны:

R₁ = 2 Ом; R₂ = 4 Ом; R₃ = 2 Ом; R₄ = 5 Ом; R₅ = 3 Ом; R₆ = 6 Ом; Е₁ = 12 В; Е₂ = 10 В.

Определять токи в ветвях схемы.