пределы

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №10

1. Найти пределы:

1) lim 8x5 −3x2 +9 ;	2) lim	2x2 +5x +3; x		= −1, x =3.
x→∞2x5 +2x2 −5	x→x0	x2 − x −2	0	0

3) lim 5x ctg3x;

x = 0,

x =

π

.

4

x→x0

0

0

5) lim

x −2

;

2x −

2

x→2

7) lim 5x4 +2x −3;

x→∞

3x2 −2

1

arctgx

9) lim

−

;

x→0

2

x

3

x

11) lim

ln(1+4x2 )

;

x→0

1−

x2 +1

13) lim arctg(x −5) ; x→5 x2 −6x +5

15)lim 1−cos2 x ; x→0 3x arcsin x

17) lim	e− 4x −1			;
x→0 tg[2π(x + 1		2	)]

2

4) lim(3x −8)x−3 ;

x→3

6) lim 3x2 −2 ;

x→∞ x3 + x −1

8)	lim			5 −	22 − x				;
x→−3				1−	4 + x
10)	lim (7 −10x)[ln(1−2x)−ln(5 −2x)];
	x→−∞
12) lim x tg					4	;
	x→∞				x
14) lim (1+cosπx)ctg2πx;
	x→1
16) lim		ln(9 −2x2 )						;
				sin2 πx
	x→2
18) lim				2 x −16			;
	x→4 5 5 − x −1

2.	Сравнить б. м. α(t) = 1+t −1 и β(t) = 4t при t → 0 .
3.	Доказать, что при x → 0 arcsin( x2 − x) x3 − x .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №11

1. Найти пределы:

1) lim		1−4x ;
x→∞5x −2
3) lim 1−cos x ;
x→0 13x2
5) lim		1+ x −	1−x	;
		5x
x→0
7) lim 4x5 +2x3 −x ;
x→∞		3x3 −2
9) lim	arctg2x		;
x→0		4x

11) limln(1−4x) ctg[π(x +3)]; x→0

13) lim arcsin(x +2) ;

x→−2 3 2+x+x2 −9

15) lim arctg(x −4) ; x→4 x2 −3x −4

	17) lim	3 x 2	−1	;
		cos9x	−cos x
	x→0

2) lim	2x2 + x −10 ; x		= 2, x = −2.
x→x0	x2 −5x +6	0	0

4) lim x +4 x; x→∞ x −2

6) lim 3x2 +2x −3 ; x→∞ 4x3 −2x2 +1

8) lim x − x ; x→1 x2 −x

1

10) lim(3x −5)x2 −2x ;

x→2

12) lim 3xtg 2 ;

x→∞ 3x

14) lim 1−sin 2x ;

x→π4 (π −4x) 2

16) lim	ln x	;
x→1	4 1+ x2 −x −1

18) lim cos 32π + x tgx ;

x→0 arcsin2x2

	2.	Сравнить б. м. α(t) =	3t		и β(t) =		t		при t → 0 .
			2 −t				+t
					7
	3.	Доказать, что при x → 0			tgx 3 x sin2 x .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №12

1. Найти пределы:

1) lim

12x3 +4

;

2) lim

2x3 −13x +20 ; x = 4,

x =1.

6

x→∞3x3 −2x +

x→x0

x2 −2x −8

0

0

arccos3x

; x = 0,

x =

3

4x −1

x

3) lim

.

4) lim

;

x→x0

6x

0

0

6

4x +1

x→∞

5) lim	3		2 +x −2		;		6) lim	3x2	−5x +1		;
x→6			x −6				x→∞ 3x4 + 2x −3
7) lim			− x5 +3			;	8) lim	2 + x −3		;
x→∞ 2x2 + x −				3			x→7 x2 −49
									1

9) lim(1−e2x )ctgx; x→0

11) lim arcsin2x ;

x→0 cosπ2 (x +3)

10) lim (9 +4x)x3 +8 ;

x→−2

12) lim x(1−21x );

x→∞

13) lim

3x −37 x

14) lim

ln(x +2) −ln 2

;

;

sin3x

x

x→0

x→0

15) lim

e4 − x 2

−1

;

16) lim

2cos2 x −1

;

x→2 x2 −5x +6

x→π2

lnsin x

17) lim

tg 3 2x

;

18) lim

sinπx

x(cos

3x −cos x)

x→0

x→1 4

x

3

−x +1

−1

2.

Сравнить б. м. α(t) = sin 3t +sin t и β(t) = 5t 2 при

t → 0 .

3.

Доказать, что при x → 0

1+4x −1 2x .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №13

1. Найти пределы:

1) lim		4x3		+ x2 −6		;
x→∞			4x +3
3) lim			1−cos3x			; x = 0,	x =	π .
x→x0				3x		0	0	3
5) lim		x −		x	;
x→1 2x2 −2x
7) lim 2x2				−3x +5		;
x→∞			4x2 + x

9) lim 1−2sin x ; x→π6 cos3x

11) lim arcsin2x;

x→0 2−3x −1

13) lim arctg2x ;

x→0 a x −a− x

15) lim cos2x −cos x ;

x→0 (e2x −1) 2

17) lim ln(1−x2 ) ; x→0 tg 210x

2) lim	2x2 − 7x +3	; x		=3, x = −2.
x→x0	x2 +4x −21		0	0

4) lim 2x +1 2 x; x→∞ 2x

	6) lim		2x2 −2x +3					;
	x→∞			5x −6x3
	8) lim	e2 x −1				;
	x→0 ln(1+2x)
							4
	10) lim (2x −7)				x2 −3x−4				;
	x→4
	12) lim tg π − x						tg2x;
	x→0			2
	14) lim			arctg(x2 −2x)						;
				sin3πx
	x→2

16) lim lncos2x ; x→π (1−π x)2

18) lim 3 x −1;

x→1 4 x −1

2.	Сравнить б. м. α(t) = t 4 −t 2	и β(t) =2sin3 4t при t → 0 .
3.	Доказать, что при x → 0	4 − x − 2	x	.
		4

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №14

1.Найти пределы:

1) lim	3x6 −2x4 + x ;
x→∞				x −2x6
3) lim				14x	;			x0 = 0, x0 =		1	.
										2
x→x0 arctg2x
5) lim				4x			;
	1			+4x −1
x→7
7) lim	3x2 +2x −3;
x→∞				x −5
9) lim xctg5x;
x→0
11) lim			1−cosx				;
x→0 (e3x −1)2
13) lim				xarcsin				2 x	;
				sin 3 2x
x→0

15) lim tgx −sin x ;

x→0 x(1−cos2x)

17) lim	3 x −9	;
x→2 arctg(x −2)

2) lim

x2 +10x +21

;

x

= −3, x = 2.

x→x0 2x2 +5x −3

0

0

1

4) lim(1+3x) x ;

x→0

6) lim

2x3 −2x +3

;

x→∞ 4x5 + 5x −2

8) lim

4 −4x

3

;

ln x

x→1

10) lim

2x2

+3

x −1

;

x→∞

2x2 − x +

1

12) lim sin

1

ctg

1

;

5x

3x

x→∞

14) lim

1−

5x +1

;

π(x +3)

x→0

cos

2

16) lim lnx −1;

x→e

x −e

18) lim

ln(1− x4 )

;

x→0 5 1−3x4 −1

2.	Сравнить б. м. α(х) = tg 2 (x2 −3x) и β(х) = x2 −3x при x → 0 .
3.	Доказать, что при t → 0 etgx −1 t .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №15

1. Найти пределы:

1) lim

3x4 −2x3 − x

;

x→∞ x −8x2 −5x4

3) lim

cos x −cos3 x ;

x = 0,

x =

π .

x→x0

x2

0

0

4

5) lim

1

−

1− x2

;

x2

x→0

7) lim

3x +2

;

x→∞ 2x3 −5x +

3

9) lim (π −x)tg

x

;

x→π

2

11) lim

arcsin4x2

tg 2 5x

;

x→0

13) lim

5ln(1−7x)

;

x→0 3arctg4x

15) lim

x +5 −

5

;

sin3x

x→0

17) lim

e2 x −ex

;

sin 2x −sin x

x→0

2) lim	2x2 + x −10 ; x		= 2, x =3.
x→x0	x2 −5x +6	0	0

4) lim (1+4x)(ln(x +1) −ln x);

x→∞

6) lim 3x2 +2x −1;

x→∞ x3 − 5x

8) lim e x −1; x→0 sin 2x

x

10) lim (13 +3x) x2 −16 ;

x→−4

12) lim sin 1 ctg2 1 ;

x→∞ 8x x

14) lim 7 1+ x4 −x2 −1; x→0 arcsin(x3 −4x)

16) lim lncos2x; x→π lncos4x

18) lim 35x − 3 −32x 2 ; x→1 sinπx

	2.	Сравнить б. м. α(t) = 9 +t −3 и β(t) = 4t при t → 0 .
	3.	Доказать, что при x → 0 tgx − sin x	x3
				.
			2

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №16

1. Найти пределы:

1) lim

2x3 −3x +1;

2) lim 2x2 − 7x +3;

x

=3,

x = −1.

x→∞ 3x2 +5x

x→x0

x2 −x −6

0

0

y2ctg4 y

= π .

4) lim (7 −3x)

4

3) lim

;

y = 0, y

x−2

;

y→y0

sin3y

0

0

4

x→2

5) lim

1−3x −

1−2x

;

6) lim − x2 +5x −2 ;

x +x2

x→0

x→∞ 4x4 − 2x +1

7) lim

3x3 +2x −1;

8) lim

2x2 + x −3

;

x→∞ 1−3x3

x→1 x2 + x −2

x −tg2x

1−2x2

x 2

+4

9) lim

;

10) lim

;

3

2

x→0

x

x→∞

5 −2x

11) lim

3 1+x tgx −1

;

12) lim tg2

1

ctg2

1

;

3x

2x

x→0

e− x

2

−1

x→∞

13) lim

x arctg 5x 2

14) lim tgπx ctg2πx;

;

x→0

ln(1+ x3 )

x→2

15) lim

arcsin 2 (x −3)

;

16) lim

2 x −4

;

x→3 x3 −5x2 +3x +9

x→2 ln (x −1)

17) lim

1−cos8x

;

18) lim

ex −eπ

;

x tg3x

x→0

x→π sin 5x −sin 3x

2. Сравнить б. м.

α = tg(t 2 −2t) и

β = t 4 −8t при t → 0 .

3. Доказать, что при

x → 0

3x

3x + x

2

.

+ x 2

1

− x

1

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №17

1.Найти пределы:

	1) lim 1+ x −2x2			;
	x→∞		3x −2
	3) lim		cos3x −cos5x ; x =0,			x =	π	.
							3
	x→x0		x2	0		0
	5) lim		1− x −4		;
	x→5 (x −5)(x +5)

7) lim 3x2 −4x3 +5 ;

x→∞ x2 −3x +1

9) lim ln x tg4x;

x→0

11) lim 9ln (1−2x) ; x→0 4 arctg 3x

13) lim tg(x −3) ; x→3 x 2 −4x +3

15) lim 2xarcsin x ; x→0 1−cos x

17) lim	e4x −1					;
			x
x→0
	sin π			+1
			2

2) lim

x2 + 2x −8

;

x = −4,

x =1.

x→x0 2x2 +7x −4

0

0

4) lim (9 −2x)

3

;

4−x

x→4

6) lim

2x +1

;

x→∞ x 2 −3x +1

8) lim

3x 2 +4x +1

;

x +3 −

5 +

3x

x→−1

10) lim

4x +17 x

;

4x −21

x→∞

12) lim

2 x −32

;

x→5 e x − 4 −e

14) lim

1+cos3x

;

x→π

sin 2 7x

16) lim

ln(5 −2x)

;

2

x→2 4 10−3x −

18) lim xsin

5

;

2x

x→∞

2.	Сравнить б. м. α(t) =cost −cos3 t	и	β(t) =3t2 при t → 0 .
3.	Доказать, что при x → 0 1 −	2		x	.
		4 + x
			8

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №18

1. Найти пределы:

1) lim

2x3 −5x2 −3;

2) lim

x2 +8x +15

;

x = −3,

x = 2.

x→∞ 1−3x3

x→x0 2x2 +5x −3

0

0

3) lim cos2x −cos4x ;

π

4) lim(7 −6n)

n

x =0,

x

=

.

3n−3

;

x→x0

x2

0

0

8

n→1

5) lim

2 y −1 −

5

;

6) lim

3x5 +2x3 −3x +1

;

y→3

y −3

x→∞

3x 2 −1

7) lim

2x2 −3x4 +2 ;

8) lim

x −2

;

x→∞

5x5

x→4 2x +1 −3

1

−

ctgx

10) lim (5x +4)[ln(3x +17)−ln(3x +2)];

9) lim

;

x

x→∞

x→0 xsin x

x

x 2 −1

11) lim ln(1+2x)ctg π

+1 ;

12) lim

;

ln x

x→0

2

x→1

13) lim

arcsin 3x

;

14) lim sin5x ctg3x;

2 +x − 2

x→0

x→π

15) lim ex+3 −ex2 +1

;

16) lim xctg 2x;

x→2 32x −3x+2

x→0

17) lim

cos6x −cos4x ;

18) lim

1−

3x +1

;

x→0

x

arctg2x

x→0

cos π(x +1)

2

3t

2.

Сравнить б. м.

α(t) =3t2 −t3 и

β(t) =

при

t → 0 .

2 −t

3.

Доказать, что при x → 0

1− cos4 x 2x2 .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №19

1. Найти пределы:

1) lim		7x3 −2x2 + x −2 ;
	x→∞		3x3 +2x −3
3)	lim		arcsin 2x			; x = 0,	x =	1	.
			x					2
	x→x0					0	0
5) lim			x		;
			1+3x −1
	x→0

7) lim 3x2 −−2x +1;

x→∞ 2x 7

9) lim arcsin 2x ; x→0 arctg 5x

11) lim 2sin[π(x +1)]; x→0 ln (1+10x)

13) lim			arctg(x +1)				;
x→−1 e3 x3 −4x2 +6 −e
15) lim		arcsin(x −3)				;
x→3			x2 −x −6
17) lim cos10x −cos2x ;
x→0			e x	2	−1
2.	Сравнить б. м.						α(x) = x3 −3x2			и
3.	Доказать, что при t → 0 1							−		2
										+t
								2

2) lim	x2 −6x +5			; x =1,	x = −1.
x→x0 2x2 − x −1				0	0
2
4) lim (3x −5)		2−x	;
x→2

6) lim −5x2 +2x −3 ; x→∞ 4x 2 − 3x 2 +2x −1

8) lim 2x +3 −3; x→3 x −2 −1

10) lim

5x +19 3−x

;

5x −2

x→∞

12) lim

4x sin

1

;

4 x

x→∞

1−sin

x

14) lim

2

;

π − x

x→π

π

tg2xcos

+

3x

16) lim

2

;

arctg3x2

x→0

18) lim 5 x2 − x +1 −1; x→1 tgπx

	β(x) =	2x3		при x → 0 .
		7	+ x

2t .