пределы

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

4.2.6. ПРЕДЕЛЫ

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант № 1

1. Найти пределы:

	1) lim		3x3 −5x2 +2		;
	x→∞ 2x3 +5x2 − x
	3) lim 1−cos x; x				=		π		, x = 0.
								3
	x→x0 5x2			0					0
	5) lim		1+ x −	1−x		;
			3x
	x→0
	7) lim		3x2 + x	;
	x→∞ x −3

9) lim xctg2x;

x→0

11) lim tg5x ;

x→0 ln(1+4x)

13) lim arcsin(x +2) ;

x→−2 x2 +2x

15) lim 5 x −2 x ;

x→0 e− x −1

17) lim cos4x −cos2x ; x→0 arctg 2 3x

2. Сравнить б. м. α(t) = 5t2 + 2t5

2) lim			2x2 +3x +1			; x		= −1, x = 2.
x→x0 2x2 +5x +3							0	0
x				+3	x
4) lim					;
				−2
x→∞ x
6) lim				3x −2			;
x→∞5x3 +2x2 −3

8) lim x3 −4x2 +4x ;

x→2 x3 −12x +16

1

10) lim (2 + x) x3 +1;

x→−1

12) lim x tg 3 ;

x→∞ x

14) lim sin5x ; x→π sin6x

16) limsin(ex −1 −1) ; x→1 ln x

18) lim 4 x +16 −2 ;

x→0 sin5x

и β(t) = 2t2 + 2t3 при t → 0 .

3. Доказать, что при х→0 1−cos3 x 32 sin 2 x .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №2

1. Найти пределы:

1) lim

3x3 +1

;

2

x→∞ 2x3 −4x +

3) lim

arcsin 2x

; x

= 0, x =

1

.

2

x→x0

5x

0

0

5) lim

2 +x −3

;

x −7

x→7

7) lim 3x2 +3x −1;

x→∞5x3 −2x +1

9) lim 3

x ln x;

x→0

11) lim

tg3x

;

x→0 ln(1+2x)

13) lim

arctg(x +2)

;

x→−2 x2 +2x

15) lim

e− 2x −1

;

x→0 5− x −3− x

17) lim

arcsin 2x

;

x→0 5 x +3 −5 3

2. Сравнить б. м. α(t) =tsin2 t

2) lim

3x2 −14x −5; x

= 5, x = −2.

x→x0

x2 −2x −15

0

0

2x

−1 x

4) lim

;

2x

x→∞

+1

6) lim

2x2 +5x −2

;

x→∞

3x −5

8) lim

2x2 −9x +4

;

5 − x −

x −

3

x→4

5

10) lim (3 − x)

x3 −8

;

x→2

12) lim x sin

2

;

x→∞

x

14) lim tg5x ctg6x;

x→π

16) lim sin2x −2sinx;

x→0

xlncos5x

18) lim

ex −e

;

x→1 sin(x2 −1)

и β(t) = 2tsin t при t → 0 .

3. Доказать, что при x → 0 1−1+1 x x .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №3

1. Найти пределы:

1) lim 3x5 + x2 −8;

2) lim

x2 + x −2

; x

=1, x = 2.

x→∞ 6x3 −x +2

x→x0 2x2 −x −1

0

0

6x

1

3) lim

;

x0 = 0, x0 =1.

4) lim(1+2x)

x

;

x→x0 arctgx

x→0

5) lim

x

;

6) lim

3x

;

x→0 1+3x

−1

x→∞ x2 +2x −1

7) lim 2x2 +5x −3;

8) lim arctg2x ;

x→∞ 2x2 +3

x→0

5x

1

x

10) lim

2x +

7 4x

9) lim

−

;

;

x→1 ln x x −1

x→∞ 2x −

3

11) lim

tg2x

;

12) lim 2x tg

1

;

x→0 ln (1+5x)

x→∞

2 x

13) lim arcsin(1−2x) ;

x2

−π3 sin

5x

14) lim

;

x→21

4x2 −1

x→π

esin 2 x −1

15) lim

53x −43x

;

16) lim

lncos x

;

x

x→0

x→0 4 1+x2 −1

17) lim

arctg 2 2x

;

18) lim

x3 −

1

;

x→0 cos3x −cos x

x→1 sin(x −1)

2.

Сравнить б. м. α(t) =t и β(t) = tg t3 при t →0 .

3.

Доказать, что при x → 0 1−

1

1

x .

1+ x

2

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №4

1. Найти пределы:

1) lim

3x2 −5x +1

;

2) lim

x2 +7x +10

;

x = −2,

x =1.

x→∞ 2x3 +4x −5

x→x0 2x2 +9x +10

0

0

3) lim cos x −cos3 x

; x = 0,

x =

π .

4) lim (1+2x)(ln(x +1)−ln x);

x→x0

x2

0

0

6

x→∞

5) lim

1−

1−n2

;

6) lim

3x4 +2x2 −3

;

n→0

n2

x→∞ −5x4 −3x3 +2x

7) lim 3x2 −2x +1;

8) lim

2x +1 − x +6

;

x→∞ 2x −2

x→5 2x2 −7x −15

1

9) lim cos x tg5x;
π
x→2
11) lim	7 x −7− 2x	;
x→0	3x
13) lim arcsin(1−2x)			;
x→21	1−4x2
15) lim arcsin3x ;
x→0 ln(1+8x)

17) lim cos5x −cos3x ;
x→0	tg 2 2x

2

10) lim (3 +2x)1−x2 ;

x→−1

		1
12) lim x e x −1 ;
x→∞
14) lim tg3x ctg4x;
x→π
16) lim	sin(ex −2		−1)	;
		tg(x −2)
x→2
18) lim sin(1−x) ;
x→1		7 x −1

2.	Сравнить б. м. α(t) =sin 3 t и β(t) = t при t → 0 .
3.	Доказать, что	3 1+ x	1	x при x → 0 .
		3

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №5

1. Найти пределы:

1) lim

2x4 +5x2 −3

;

2) lim

2x2 −7x +3; x =3,

x = −2.

x→∞5x4 −2x3 −4x

x→x0

x2 −4x +3

0

0

3) lim

arctg2x

;

x

= 0, x

=

1

.

4) lim (3x +2)(ln(x +1)−ln x);

4x

x→x0

0

0

2

x→∞

5) lim

3x −2 −2

;

6) lim

2x3 −5x2 +3

;

n→2

x2 −4

x→∞

x2

7) lim

3x −2

;

8) lim

3 +2x −

x +4

;

−

x→∞3x3 +2x2

3

x→1

3x2 −4x +1

1

1

1

9) lim

10) lim (5 −2x)

4−x2

−

;

;

x→0

x→2

sin x x

11) lim arcsin(x −2) ;

12) lim

ctg2x

;

− x

x→2

x2 −4

x→π2 ctg π

tg10x

2

13) lim

;

14) lim

sin 2 2x

;

x→0 ln(1+15x)

x→0 x(5 1+ x −1)

15) lim

2 2x −32x

16) lim

lncosx

;

;

x→0

e− 2x −1

x→0 ln(1+x2 )

17) lim

arctg

2 2x

;

18) lim

x2

;

x→0 cos7x −cos3x

x→1 sinπx

2.

Сравнить б. м. α(t) = 9 +t −3 и β(t) = t при t → 0 .

3.

Доказать, что при

x → 0

x ln(1+ x) x sin x .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №6

1. Найти пределы:

	1) lim			3 + x −5x4			;
	x→∞ x4 +12x −3
	3) lim			x2ctg3x	;	x = 0,			x =	π .
				sin 2x
	x→x0					0			0	4
	5) lim			1−3x −	1−2x			;
	n→0			x +x2

7) lim 3x3 −2x2 −3;

x→∞ x

9) lim		1	− sin x ;
x→0			x3
	x2

11) lim	arctg (x −2)						;
x→2			x3 −8
13) lim			arcsin 2 3x			;
			ln 2 (1+3x)
x→0
15) lim		5 x −5− 3x			;
			e2 x −1
x→0
17) lim			tg 2 6x		;
		1−cos3x
x→0

2. Сравнить б. м. α(х) =11−+ xx

2) lim	2x2 −7x −4 ; x		= 4, x = 0.
x→x0	x2 −3x −4	0	0

4) lim (2x +1)(ln(x +3)−ln x);

x→∞

6) lim 3x2 −5x +1 ; x→∞6x3 + 2x2 +3x

8) lim x2 − x −2 ;

x→−1 x3 +1

3

10) lim (3 + x)x2 −4 ;

x→−2

12) lim(1− x)tg π x; x→1 2

14) lim tg4x ctg6x;

x→π2

16) lim tgln(3x −5) ;

x→2 ex + 3 −ex2 +1

	18) lim	sin3x		;
		x +3 −	3
	x→0
	и β(х) =1− x при	x →1.

3. Доказать, что при t → 0 esin t −1 t .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №7

1. Найти пределы:

1) lim		x −2x2 +5x4					;
x→∞ 2 +2x2 − x4
3) lim			1−cos6x ; x					= 0, x =	π	.
									6
x→x0			1−cos2x				0	0
5) lim				1+3x2 −1		;
x→0				x2 + x3
7) lim		5x5 −4x4 +3x3						;
x→∞				2x2 −3
9) lim				1−tgx	;
x→π				cos2x
4

11) lim x3 +2x2 ; x→0 arcsin2 x

13) lim tg 2 6 x ;

x→0 ln(1+6x)

15) lim 32x −34 x ;

x→0 e3x −1

17) lim arctg 4x2 ; x→0 1−cos2x

2) lim	2x2 −13x +20 ; x		= 4, x = −2.
x→x0	x2 −6x +8	0	0

4) lim (x −5)(ln(x −3)−ln x);

x→∞

6) lim 3x2 −2x +1; x→∞ 3x3 + 2x −1

8) lim		1+ x − 1− x					;
x→0		x			x
10) lim (7 +3x)			x2 +3x+2					;
x→−2
	1
12) lim x(2 x −1);
x→∞
14) lim		1−sin 3 x		;
x→π2 cos2 x
16) lim	ln(1+ x tgx)					;
x→0		5 1+ x2 −1
18) lim		ln2 x			;
	1+cosπx
x→1

	2.	Сравнить б. м. α(х) =	3x4 − x5	и β(х) = x			при x → 0.
			x +1			2
					x
	3.	Доказать, что при x → 0		1− cos x			.
					2

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №8

1. Найти пределы:

1) lim 5x2 −3x +1;

2) lim

3x2 −14x −5;

x = 5,

x = 2.

x→∞ x −5 +3x3

x→x0

x2

−6x +5

0

0

tg 3

x

1

4) lim(7 −6x)3x−3 ;

3) lim

2

; x

= 0,

x = 2.

x→x0

x3

0

0

x→1

5) lim

2x −1 −

5

;

6) lim

3x2 −2x +5

;

x→3

x −3

x→∞ 4x4 +3x3 +2x2

7) lim 6x3 +3x −2 ;

8) lim

5x +1 −4 ;

x→∞ −3x3 + 2x

x→3

x −3

9) lim sin xln

x;

10) lim (5x +8)[ln(2x −3)−ln(2x +5)];

x→0

x→∞

x3 −3x

2

π

11) lim

;

12) lim

− x tg 3x;

x→0 arcsin2 x

x→π2

2

13) lim

tg 2 3x

;

14) lim esinπ x −1;

x→0 ln(1+ x2 )

x→1

x −1

15) lim e3x −e− x ;

16) lim

ln(2x −5)

;

x→0

34 x −1

x→3 4 1+x −4 4

17) lim arcsin 2 2x

;

18) lim

sin6x

;

x→0 1−cos4x

x→0

x +9 −3

2.

Сравнить б. м. α(t) =tgt −sin t

и

β(t) = t при t → 0 .

3.

Доказать, что при x → 0

x

x

.

1+ x

1+ x2

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №9

1. Найти пределы:

1) lim

7x4 −2x3 +2x ;

2) lim

2x3 +3x +1; x = −1,

x = 2.

x→∞

x4 +3x

x→x0

x2 −2x −3

0

0

3) lim 1−cos4x

π

2

;

x = 0,

x =

.

4) lim (3x −5)

x−2

;

4

x→x0

2xtg2x

0

0

x→2

5) lim

1+3x −

2x +6

;

6) lim

6x3 +2x −3

;

x→5

x2 −5x

x→∞ 3x2 − x

7) lim

3x3 +2x +1

;

8)

lim

x2 +7x +10

;

x→∞ 2x5 −2x +3

x→−2 2x2 +9x +10

9) lim

1

−

1

;

10)

lim (5x −3)[ln(4 −3x)−ln(5 −3x)];

x2

x→0 xsin x

x→−∞

11) lim ln(1+sin2x) ;

12) lim

1+ x −1

;

x→0

tg5x

x→0 sin[π(x +2)]

13) lim

3x2 −5x

;

14) lim

x2 −π 2

;

x→0 arcsin3x

x→π

sin x

15) lim

1−cos7x

;

16) lim

tg(e2x −1)

;

xsin7x

x→0 ln(e −x)−1

x→0

17) lim

ex −1 −1

;

18) lim xsin

3

;

x→1 2 x + 2 −23x

x→∞

x

2. Сравнить б. м. α(t) =1 −cost и

β(t) = 3t при t → 0 .

3. Доказать, что при x → 0 1−cos8x 32x2 .