пределы

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №20

1. Найти пределы:

1) lim

8x6 −3x3 +1

;

2) lim

2x2 −5x +2 ; x

= 2, x = −3.

x→∞ 2x5 −4x6 +3

x→x0

x2 −5x +6

0

0

π

4) lim(3x −8)

2

3) lim 6x ctg4x;

x

= 0,

x =

.

x−3

;

4

x→x0

0

0

x→3

5) lim

x2 −4

;

6) lim

4x5 −2x2 +1

;

x→2 2x −2

x→∞ 2 −3x +5x3

7) lim

2x2 +4

;

8) lim

3x −2 −2

;

x→∞3x3 −2x +1

x→2 2x +5 −3

9) lim cos2x −cos4x ;

10) lim (3x2 +2) ln(5x

2 −4) −ln(5x

2 +7) ;

x→0

x2

x→∞

arctg 2x

1

11) lim

;

12) lim x

3 x

−1

;

x→0 sin[2π(x +10)]

x→∞

13) lim

2 x −27 x

;

14) lim

e− x −1

;

ln(1−3x)

x→0 tg3x

x→0

ex

2

−9 −1

cos

πx

15) lim

;

16) lim

2

;

→

2

−4x +3

→

5

x −1

x

3 x

x 1

17) lim

esin 2x −esin x

;

18) lim

2 x 2 −4 −1

;

tgx

x→0

x→2

tg ln

x

2

2.

Сравнить б. м. α(t) =1 −cos 6t и

β(t) = t sin 3t

при t →0 .

3.

Доказать, что при x →0

3 1+2x −1

2x

.

3

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №21

1. Найти пределы:

1) lim		1−4x ;
	x→∞6x −5
3)	lim		cos x −cos3x		; x = 0,	x =	π	.
			x				6
	x→x0				0	0
5) lim			3x −2 −2	;
	x→2		x2 −4

7) lim 3x2 +3x −2 ; x→∞5x5 −2x4 +3

9) lim 1−cos4x ; x→0 xsin 3x

11) lim arctg 3x;

x→0 3− 4x −1

13) lim arcsin(x −5) ;
x→5		x2 −7x +10
15) lim			e− 3x −1		;
x→0 tg[π (2 +x)]
17) lim			ln(3 −x) −ln3			;
			x
x→0

2) lim 3x2 −14x −5; x = 5,									x = −1.
x→x0 x2 −8x +15								0	0
4) lim	x			+4 x
					;
x→∞ x				−2
6) lim		2x3 −5x4 +6x5						;
				2 −2x
x→∞
8) lim		x2		+ x −2			;
x→1 2x2 − x −1

x+1

10) lim (6 + x) x2 −25 ; x→−5

12) lim sin 3x ctg2x ;

x→0

14) lim 5 x3 +1 −1; x→0 ln(1+ x3 )

16) lim ln(2 +cosx) ; x→π (3sin x −1)2

18) lim e5x − 3 −e2x 2 ; x→1 tgπx

2.	Сравнить б. м. α(t) = 25 −t −5			и		β(t) = t при t →0 .
3.		x →0	x5 − x	4		x4
	Доказать, что при						.
			x +2			2

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №22

1. Найти пределы:

1) lim			2x4 +5x2 −3		;
x→∞5x4 −2x3 −4x
3) lim 5x ctg3x; x					= 0, x =		π	.
x→x0			0		0	12
5) lim			2 +x −3	;
x→7 x2 −6x −7

7) lim 3x4 −2x +1 ; x→∞3 −2x2 +x3

9) lim 1−cos4x ; x→01−cos8x

11) lim

(e4x −1)2

;

−cos3x

x→0 1

13) lim

ln(1+ x tg 2 x)

;

x→0 4 1+x4 −2x3 −1

15) lim

4x2

;

x→0 cos7x −cos5x

17)

lim

arcsin3x2

;

3π

x→0

tg2x cos x +

2

2) lim			x2 −5x +4				;		x =1,	x = 3.
x→x0			2x2 − x −1						0	0
				2x
4) lim (3x −5)x2 −4 ;
x→2
6) lim			3x −5						;
x→∞ 2x3 +3x2 −1
8) lim			2x +3 −1			;
x→−1			5 + x −2

10) lim (7x +11)[ln(3x +4) −ln(3x −11)];
x→∞
12) lim		3	ctg	7	;
x→∞ x				x
14) lim			ex −e3			;
x→3 arcsin(x −3)

16) lim1−x2 ; x→1sinπx

18)lim sin x −sin 2 ; x→2 sin ln(x −1)

2.	Сравнить б. м. α(t) = cos 3t −cos 7t и		β(t) = t при t → 0 .
3.	Доказать, что при x →0 3 − 9 + x	−	x	.
		6

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №23

1. Найти пределы:

1) lim 8x4 + x2 −8 ;

x→∞ x2 +7x4 +9

3) lim

tg 2 3x

;

x

= 0,

x = π .

x→x0

x2

0

0

9

5) lim

1+3x −

2x +6

;

x→5

x2 −6x +5

7) lim 3x4 +2x3 −1;

x→∞

x12 +4

9) lim

sin 4x

;

x→0 arcsin3x

11) lim

x arcsin2 x

;

x→0

tg3 2x

arctg

x2

13) lim

;

2

x→0

x

ln 2 1−

3

15) lim

x3 +2x2 −x −2

;

sin(x −1)

x→1

17) lim

arcsin8x3

;

x(cos7x −cos5x)

x→0

2) lim		x2 −2x −8			; x = −2,	x = 3.
x→x0 2x2 +9x +10					0	0
		5x +1 2x
4) lim				;
x→∞		5x

6) lim 3x3 −2x +1;

x→∞ x3 −4

8) lim 1− x −4 ; x→5 2 − 2x −6

1+x

10) lim(7 − x) x2 −5x−6 ;

x→6

12) lim			2	ctg2		1	;
						x
x→∞ x2
14) lim			cos5x −cos3x ;
x→π					sin 2 x
16) lim			e2x −1				;
x→0 5 1+2x −1
18)	lim				ln cos x			;
	x→2π esin 2x −1

2. Сравнить б. м. α(t) = t tg 2t и β(t) = 3t sin t при t →0 .

3. Доказать, что при x →0 sin 5x +sin x 6x .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №24

1. Найти пределы:

1) lim 7x4 −3x2 +1;
x→∞		2x4 −3
3) lim		cos7x −cos2x		; x = 0,
x→x0		x		0
5) lim		2x +5 −3	;
x→2		x2 −4
7) lim		4x5 −2x4 +3x3 −2x +1;
x→∞		x +2

9) lim 1−x ; x→1 ln x

11) lim 4 1+xsinx −1;

x→0 3x 2 −1

13) lim arctg3x ;

x→0 7 x −25x

15) lim arcsin(x −2) ; x→2 x3 +x2 −4x −4

17) lim 3x tgx ; x→0 1−cos x

2. Сравнить б. м. α(t)

x0 = π3 .

= sin t 3

2) lim

x2 −4x −5

;

x = −1,

x = 4.

x→x0 2x2 +

5x +3

0

0

x +3 x

4) lim

;

x→∞ x −2

6) lim

3x2 −5x +1

;

x→∞ 2x3 +2x −1

8) lim

3 −

x +11

;

x→−2 2 −

x +6

5

10) lim (13 +2x)

36−x 2

;

x→−6

12) lim ln(a +x) −ln a ;

x→0

x

14) lim

tg ln(3x −5)

;

x→2 ex+3 −e x2 +1

16) lim

sin3πx

;

x→1

10 −x −3

18) lim xtg 1 ;

x→∞ 2x

и β(t) = t 2 при t → 0 .

	3. Доказать, что при x → 0	3 x + 27 − 3	x	.
			27

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №25

1. Найти пределы:

1) lim

2x −3

;

x→∞ x2 −4x +1

3) lim

1−cos2x

; x

= 0,

x→x0

3x2

0

1

5) lim(1+2x)

x

;

x→0

7) lim 3x2 +2x −1;

x→∞

5x +3

9) lim 1− 1− x2

;

x→0

sin5x

11) lim

lntgx

;

x→π cos2x

4

arcsin(x −3)

13) lim

;

x→3

x2 −5x +6

15) lim

5 x −3x

;

x→0 e− 2x −1

17) lim

x arctg4x

;

x→0 cos3x −cos5x

2. Сравнить б. м. α

x0 = π3 .

(t) = tgt

2) lim

x2 −4x −5

; x

=5, x = −2.

x→x0 3x2 −14x −5

0

0

4) lim

x −2 −1

;

x→3

x2 −9

6) lim

3x2 −2x2 −1

;

x→∞ 2 − x +2x2 −4x3

8) lim

x2 +10x +21

;

x2 +8x +15

x→−3

10) lim (25x −13)ln

3x −11

;

x→∞

3x +14

12) lim x tg 4 ;

x→∞ x

14) lim tg3x ctgx;

x→π

	16) lim	ln(1−7x)	;
	x→0 sinπ(x +7)
	18) lim	1+ x2 − x	−1		;
		sin(x −1)
	x→1

и β(t) =t при t →0.

3. Доказать, что при x →1	x −1		x3 −1	.
	1+ x2
			x +5

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №26

1. Найти пределы:

1) lim 3x3 −5x2 +2 ;

x→∞2x3 −5x2 +3

3) lim			x2 −4x −12			; x = −2,	x =3.
x→x0 2x2 +9x +10						0	0
5) lim			x +3	3x	;
x→∞ x −4

7) lim 3x3 +2x −4 ; x→∞5x4 −3x2 +4

9) lim 1−cos6x ; x→0 cos2x −1

11) lim tg3x ; x→0 lncos5x

	13) lim	sin 2 x −1	;
		arctg(2x −π)
	x→π
	2

15) lim 53x −2 x ;

x→0 1−e2x

arcsin 3x

17) lim 2 ;

x→0 ln(1−7x)

2) lim			9 + x −2					;
x→−5			x2 −25
4) lim			3x			; x0 = 0, x0 =				π	.
					5x					5
x→x0 arcsin
6) lim	2 −3x +x2							;
x→∞			x +5
8) lim			3 −	x2 −				7	;
			2 −	8 +x
x→−4

1

10) lim (15 −2x) x2 −7 x;

x→7

12) lim x2 sin			3		;
x→∞			x2
3		x −5 +3 5
14) lim							;
		arcsin4x
x→0
16) lim cosx +cos4x								;
x→π		x3 −π3
18) lim		sin 4x −4sin x ;
x→π		ecos		x		−1
				2

2. Сравнить б. м. α(t) =tgt3 и β(t) =t2 sin2t при t → 0 . 3. Доказать, что при x → 0 1−cos3 2x 273 tg 2 2x .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №27

1. Найти пределы:

1) lim

3x2 −5x +1

;

2) lim

3x +6

;

x

= −2, x =3.

x→∞3x3 +5x2 −1

x→x0 x3 +8

0

0

3) lim sin x −cos x ; x =

π , x

3

= 0.

4) lim(2x −1)

x2 −1

;

x→x0

cos

2x

0

4

0

x→1

5) lim

ax −x

;

6) lim

3x2 +4x −5

;

x→a x −2

x→∞ −2x +1

7) lim 1−3x ;

8) lim

1−

x −3

;

x→∞ 2 +5x

x→4 2 − x

cos

πx

9) lim

6

;

10) lim (x2 −3x +1) ln x2

−3 −ln(x2 +4x −2) ;

x→31−tg πx

x→∞

12

1

x2 −3x

11) lim

;

12) lim x2

e−x2

−1

;

x

x

x→0

7

−4

x→∞

13) lim

3

6 +x −2

;

14) lim sin 6x ctg21x;

π

x→2

x→π

ctg x

15) lim cosπx +cos4πx ;

16) lim

ln(1+4

x)

;

x→1

x3 −6x +5

x→0

arcsin7x

17) lim

tg8x

;

18) lim

sinπx ;

arcsin3x

x→0

x→2 x2 −4

2. Сравнить б. м. α(t) = 3

arcsin2 t и

β(t) =

t

при t → 0 .

t −1

3. Доказать, что при x → 0 arcsin x ln(1+ 3x) x xtg3 x .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №28

1. Найти пределы:

1) lim

1−4x3

;

2) lim

x2 + x −2

;

x = −2,

x =5.

x→∞ 2x +3x2 +5x3

x→x0 x2 +2x

0

0

x

arcsin(1−2x)

x =

1

x = 0.

x −

3

2

3) lim

2

;

,

4) lim

;

x→x

4x

−1

0

2

0

x→∞

x

0

5) lim	2 −		x −3		;		6) lim		4x4 −2x3 −2	;
x→7 x2 −49							x→∞ x2 +3
7) lim			3x +1			;	8) lim		2x2 −7x −4		;
x→∞5x3 +2x				−1			x→4 2x2 −13x +20
									1

9) lim tg2x ctg3x;

x→0

11) lim			ln3 (1+2x)							;
x→0 tgx2 arcsin5x
13) lim			e	x −1				;
x→0 2			3x −2− x
					1
15) lim x3 1−3 x2								;
x→∞
17) lim			x5 −x3						;
							2 )
x→0 arctg(5x

2.Сравнить б. м. α(х) =1 − x2

1+ x3

3.Доказать, что при t → 0

10) lim (2x −13)7 x2 −x3 ;
x→7
12) lim (x −2)tg			πx		;
x→2		4
14) lim		sin ln(4x +5) ;
x→−1 x3 +3x −2
16) lim	1−sin3 5x			;
x→π2		cos2 3x
18) lim		2 − 13 +3x				;
x→−3		x2 −9

и β(х) = sin(cosxπ−x1) при x →1.

1 −etg 5t −5 t sin t .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
4.2.6. Пределы	Комплект № 1

_________________________________________________________________________________________

Вариант №29

1. Найти пределы:

1) lim

1−4x4

;

2) lim

x2 −x −2

;

x

= −1, x =3.

x→∞ 2x +3x2 −5x4

x→x0

x3 +1

0

0

3) lim

tgx

; x

=π,

x =

π .

4) lim

9 − x2

;

x→x0 sin 2x

0

0

4

x→3

3x −3

2

2x3 +3x2 −2x

5) lim(1−3x)

x

;

6) lim

;

x→0

x→∞ −3x2 +1

7) lim 2x2 −3x +1;

8) lim

x +7 −

3 −x

;

x +2

x→∞

x

x→−2

9) lim sin 6x ctgx;

10) lim (11−2x)[ln(3x +19)−ln(3x −10)];

x→0

x→∞

1−

3

1+5x

2

4

2

11) lim

;

12) lim tg

e x

−1

;

x→0 ln(1+xsinx)

x→∞

x2

13) lim

25x2 −

4

;

14) lim

2 x −8

;

sin(5x −

2)

6 − x −

5 + x

x→5

x→0

2

15) lim

a x −a − x

;

16) lim

ln(3x −2)

;

3+x2

x→0 arcsin4x

x→1

2

−4

17) lim ctg3x arctg

x

;

18) lim

sin x +3sin 4x ;

x→0

5

x→π cos5x −cos3x

2.

Сравнить б. м. α(х) = 1 +tg 2 x

и

β(х) = 3x sin x при x → 0 .

3.

Доказать, что при t → π 1+ cos3 t

3

(π −t )2 .

2