Индив.задание "Функции нескольких переменных"

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

	ВАРИАНТ № 10
1.	Найти область определения функции z = x + y ln (y 2 − x 2 ). Сделать
	чертеж.
2.	Определить и построить линии уровня функции z = xy .

3.Дана функция z = cos y +(y − x)sin y. Показать, что (x − y)∂∂x2∂zy = ∂∂yz .

4.Найти экстремумы функции z = 7x 2 −6xy +3y 2 − 4x + 7 y −12.

5.	Найти	экстремумы		функции	z = x2	+	y2 при условии,	что
	x2 + y 2 −2x −2 y +1 = 0 .
6.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x 2 − y 2 + 2a 2
	в замкнутой области x 2 + y 2 ≤ a 2 .
7.	Найти	приближенное		значение	функции	z = xy + 2 y 2 − 2x		в
	точке А(0.97, 2.03).
8.	Найти		z и производную в точке А(1;4)				по направлению вектора
		grad

а =(3;-2), если z = y2 + x2 −1 + 4xy.

9.Найти частные производные первого порядка, если а) z + xy + arctgxyz = 0 ;

б) z = ln	x −	x2	− y2
	x +	x2	, y = x cos a .
			− y2

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 11

1.

Найти область определения функции z =

9 − x 2 − y 2 .

Сделать

чертеж.

2.

Определить и построить линии уровня функции z =

y

.

x 2

3.

Дана функция z = e xy . Показать, что x2 ∂2 z

− y 2 ∂2 z = 0.

∂x2

∂y 2

4.

Найти экстремумы функции

z = x

y − x 2 − y + 6x +3.

5.

Найти экстремумы функции

z = x2

+ y2 при условии, что

x

+

y

=1.

3

4

6.

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функции

z = 2x3 + 4 y 2 + y 2 − 2xy

в замкнутой области y = x2 ,

y = 4.

7.

Найти приближенное значение

функции

z = x2 +3xy + y 2

в

точке А(0.03, 1.97).

8.

Найти

z и производную

в точке А(4;2)

по направлению вектора

grad

а =(3;-2),

если z = y2 + x2

+ 4xy .

9.Найти частные производные первого порядка, если а) 12 ln(x2 + y2 ) −arctg xy =9xz +e−z ;

б) z = arctg	y	, x = е2t +1, y = е2t −1.
	x

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 12

1.

Найти область определения функции

z = x 2 + y −3.

Сделать

чертеж.

2.

Определить и построить линии уровня функции z =

y .

x

3.

Дана функция z = e

−cos(ax + y)

. Показать, что

a

2 ∂2 z

=

∂

2 z

.

∂y

2

∂x 2

4.

Найти экстремумы функции

z = x3 + xy 2 + 6xy.

5.

Найти экстремумы функции

z =1 −x2 −y2

при условии, что

( x −1)2 +( y −1)2 =1.

6.

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функции

z = x3 +8y3 −6xy +1 в замкнутой области x = 0, x = 2, −1 ≤ y ≤1.

7.

Найти

приближенное

значение

функции

z = xy + y 2 − 2x

в точке А(2.03, 0.96).

8.

Найти

z и производную

в точке А(3;-1)

по направлению вектора

grad

а =(2;5),

если z = ln (4x −5y).

9.

Найти частные производные первого порядка, если

а) 3cos

x

−2 sin

y +1 = cos xz;

y

x

б) z = 3

x3 + y3 +3xy ,

r = sin x cos y,

u = cos x sin y.

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 13

1.

Найти

область определения функцииz =

1 − x + y2 +

1 − x2

− y2 .

Сделать чертеж.

2.

Определить и построить линии уровня функции z = x + y2 .

y

1 ∂z

1 ∂z

z

3.

Дана функция z =

. Показать, что

∂x +

∂y =

.

(x2 − y 2 )5

x

y

y 2

4.

Найти экстремумы функции z = (x − y2 )

ey .

5.

Найти экстремумы функции

z =

1

+

1

при условии, что

x − y = 4

у

х

6.

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функции

z = x 2 + y 2 − xy + x + y в замкнутой области x = 0,

y = 2, x + y = −3.

7. Найти приближенное значение функции z = x2 − y2

+3x −2 y +1

в

точке А(1.98, 3.91).

8.

Найти

z и производную

в точке А(3;-1;)

по направлению вектора

grad

а=(2;5), если z = ln(5x −3y).

9.Найти частные производные первого порядка, если а) zy + x2 y + y 2 x − x + y 2 + arcsin(x − y)=0;

б) z = 3u3 + r , r = Sin y + x , u = x +arcctg y .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 14

1.Найти область определения функции z = ln (x 2 + y). Сделать чертеж.

2.Определить и построить линии уровня функции z = x2 + 2x + y 2 .

3. Дана функция z = sin 2 (y − ax). Показать, что a 2 ∂2 z	=	∂2 z .
∂y 2		∂x 2

4.Найти экстремумы функции z = y x − y 2 − x + 6 y.

5.Найти экстремумы функции z = 3xy при условии, что x2 + y 2 = 2 .

6.	Найти наибольшее и наименьшее значения			функции z = x 2 − y 2
	в замкнутой области x 2 + y 2 ≤ 4.
7.	Найти приближенное значение функции z = 2x 2 + 2xy − y 2				в
	точке А(0.95, 2.94).
8.	Найти		z и производную в точке А(4;1)	по направлению вектора
		grad

а=(7;2), если z = x2 y + xy2 .

9.Найти частные производные первого порядка, если а) x2 −x2y+1 +4y −zyx +2y +2 =0;

	б) z =	u 2	, u = x − 2 y, r = x + 2 y .
		r

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 15

1.

Найти

область определения

функции

z = x 2 − 4 +

1 − y 2 . Сделать

чертеж.

z = ln (x 2 + y).

2.

Определить и построить линии уровня функции

3.

Дана функция z =

y

. Показать, что x

2

∂2 z

+ 2xy

∂2 z

+ y

2

∂2 z

= 0.

x

∂x2

∂x∂y

∂y 2

4.

Найти экстремумы функции

z = x3 +8y3 −6xy +1.

5.

Найти экстремумы функции

z = xy

при условии, что 2x +3y −5 = 0 .

6.

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функции

z = x 2 + y 2

в замкнутой области

x 2 + y 2 ≤ 25.

7.

Найти

приближенное

значение

функции

z = x2 +3xy − y 2

в точке А(0.96, 2.95).

8.

Найти

z и производную в точке А(4;1)

по направлению вектора

grad

а =(7;2), если z = 2x2 y + y2 x.

9.Найти частные производные первого порядка, если а) zyx 2 − x + arctg z −y x = 0;

б) z =	u 2	+r 2	, u = xy, r =	x	.
		2		y

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 16

1.

Найти область определения функции

z = x 2 − y 2 − 4.

Сделать

чертеж.

2.

Определить и построить линии уровня функции z = x 2 + y 2 + 2 y.

3.

Дана функция z = y

y

. Показать, что

x

2 ∂2 z

− y

2

∂2 z

= 0.

x

∂x2

∂y 2

x

z = e

(x + y 2 ).

4.

Найти экстремумы функции

2

5.

Найти экстремумы функции

z = xy

при

условии,

что

3x + 4 y − 5 = 0 .

6.

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функции

z = x 2 − y 2 − x + y в замкнутой области x = 2,

x = 0, y = 0,

y =1.

7.

Найти приближенное значение функции z = xy + 2x − y в точке

А(1.93, 2.05).

8.

Найти

z и производную в точке А(4;-3)

по направлению вектора

grad

а =(2;-1), если z =

x

.

y 2

9.Найти частные производные первого порядка, если

а) xеy + yеx + zеxz = 0 ;

б) z = u 2 r 2 , u = x2 − y2 , r = x2 − y2 .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 17

1.

Найти область определения функции

z =

1

+ 1 .

Сделать

x −1

y

чертеж.

2.

Определить и построить линии уровня функции

z =

x 2

+

y 2

.

4

9

x

∂2 z

∂

∂z

3.

Дана функция z =

. Показать, что

x2

−

y 2

= 0.

y

∂x2

∂y

∂y

4.

Найти экстремумы функции

z = 3x + 6 y − x 2 − xy − y 2 .

5.

Найти экстремумы функции

z = x2 − xy + y2 −4x

при

условии, что

2x +3y −12 = 0 .

6.

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функции

z = x2 +2xy −4x +8y

в

замкнутой

области

x = 0, y = 0,5x −3y + 45 = 0.

7.

Найти

приближенное

значение функции

z = 3y 2 −9xy + y

в

точке А(1.07, 2.94).

8. Найти grad z и производную в точке А(1;2) по направлению вектора

а=(-2;1), если z = x2 + xy + y2 .

9.Найти частные производные первого порядка, если а) x − ytgaz = 0;

	б)	z =	x2	− y	,	y = 3x +1.
			x2	+ y

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 18

1.

Найти область определения функции

z = ln (x 2 − y +5).

Сделать

чертеж.

2.

Определить и построить линии уровня функции

z =

x

2

−

y 2

.

9

4

3.

Дана функция

z = arctg

x

.

Показать, что

∂2 z

+

∂2 z

= 0.

y

∂x 2

∂y

2

4.

Найти экстремумы функции

z = x 2 + y 2 − 2x − 2 y +8.

5.

Найти экстремумы функции

z = x2 − xy + y2 −4x при условии, что

x

+

y

=1.

6

4

6.

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функции

z = 2xy −3x2 − 2 y 2 +5 в замкнутой области x = −1,

y = −1, x + y = 5.

7.

Найти приближенное значение функции z = xy + x − y

в точке

А(1.43, 2.35).

8.

Найти

z и производную в точке А(-1;-2) по направлению вектора

grad

а =(1;-1),

если

z = 4xy2

−2 yx2

−3 + y2 .

9.

Найти частные производные первого порядка, если

а)

arcsin xz + 2x 2 + arcctg

y 2

;

y

− x

б)

z = 2u 2

−

r ,

u = sin x − y2 ,

r =

y − arctg x2 .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 19

1. Найти область определения функции z = arcsin(2x +3y). Сделать чер-

теж.

2.

Определить и построить линии уровня функции z =

y 2

−

x 2

.

4

9

y

∂

∂z

∂2 z

3.

Дана функция

z =еx . Показать, что

x 2

− y

2

∂y 2

= 0.

∂x

∂x

4.

Найти экстремумы функции

z = 3x 2 − 2x

y + y −8x +8.

5.

Найти экстремумы функции

z = x2 +3y2

+ x − y

при

условии, что

x + y =1.

6.

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функции

z = −3x 2 + 2 y 2 +12x − 4 y

в

замкнутой

области

x = 0, y = 0, 3x + 4 y =12.

7.

Найти приближенное значение функции

z = x 2 + y 2 − x − y

в

точке А(1.08, -2.94).

8.

Найти

z и производную в точке А(3;5)

по направлению вектора

grad

а =(1;-1), если

z = arcsin

x

.

y

9.

Найти частные производные первого порядка, если

а) sin( xy ) −еxy − x 2 y + sin xz + yz 2 =0 ;

б) z = u 2 + r 2 ,

u = x + y ,

r = x − y .