Индив.задание "Функции нескольких переменных"

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 20

1. Найти область определения функции z = arccos(x − y). Сделать чертеж.

2.

Определить и построить линии уровня функции

z = x 2 +

y 2

.

4

sin(x − y)

∂

2

∂z

2

∂2 z

3.

Дана функция z =

.

Показать, что

x

− x

∂y 2

= 0.

x

∂x

∂x

4.

Найти экстремумы функции z = 2x3 − xy 2 +5x 2 + y 2 .

5.

Найти

экстремумы функции

z = x2 y( 2 − x − y )

при

условии, что

x + y = 6 .

6.

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функции

z = 3xy −6x 2 + 6 y 2 +15x

в

замкнутой

области

x = 0, x = 2, y = 0, y =1.

7.

Найти

приближенное

значение функции

z = y 2 − xy − x 2 в точке

А(-3.91, 5.06).

8.

Найти

z и производную

в точке А(-1;2)

по направлению вектора

grad

а =(3;4), если z = 2x2

+ xy .

9.Найти частные производные первого порядка, если а) x2 + xy 2 + zy 2 + z 3 sin x = z ;

б) z = ln( u 2 + r 2 ), u = xy , r = xy .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 21

1.

Найти область определения функции z =

x 2

+

y 2

−1.Сделать чертеж.

4

9

2.

Определить и построить линии уровня функции z =

y .

x

y

∂z

+ y ∂z = xy + z.

3.

Дана функция

z = xy + xe

. Показать, что x

x

∂x

∂y

4.

Найти экстремумы функции z =1 + 6x − x 2 − xy + y 2 .

5.

Найти экстремумы функции

z = xy2 ( 2 −3x +4 y )

при условии,

что

x

+

y

=1.

4

6

6.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy −2x − y в

замкнутой области

0 ≤ x ≤ 3,

0 ≤ y ≤ 4.

z = ln (x 2 + y 2 ) в

7.

Найти

приближенное значение

функции

точке

А(1.96, 2.03).

8.

Найти

z и производную

в точке А(2;-2) по направлению вектора

grad

а =(1;4), если

z = arctg

x

.

y

9.

Найти частные производные первого порядка, если

а) 2x2 + 2 y 2 + z 2 −8xz − zy +8z = 0;

б) u =

еyx ( y − z )

,

y = arcsin x,

z = cos x.

a2 +1

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 22

1.

Найти область определения функции z =

1 −

x2

+

y 2

.Сделать чертеж.

9

16

2.

Определить и построить линии уровня функции z =

y

.

x2

3.

Дана функция u = (x − y)(y − z)(z − x). Показать, что

∂u +

∂u +

∂u = 0.

∂x

∂y

∂z

4.

Найти экстремумы функции

z = x2 + xy + y 2 − 2x − y.

5.

Найти экстремумы функции

z = x + y при условии, что x2 + y 2 =1.

6.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x3 + y 2 −3xy

в замкнутой области x = 0,

y = 0, 3x + 2 y −6 = 0.

7.

Найти приближенное значение функции

z = x3 y 2 в точке

А(1.02, 0.97).

8.

Найти

z и производную в точке А(0;3)

по направлению вектора

grad

а=(1;-2), если z = ln( 5x2 + 4 y2 ).

9.Найти частные производные первого порядка, если а) y x + x y −zxy +arccos z =0;

	б) z =	1	ln	u	, u = tg 2 x, r = ctg 2 x.
		2		r

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 23

1.	Найти область определения функции z = x +				x2 − y2 . Сделать чертеж.
2.	Определить и построить линии уровня функции					z =	xy .
		x − y		∂u		∂u	∂u
3.	Дана функция z = x +		. Показать, что		+	∂y +	∂z = 1.
		y − z		∂x

4.	Найти экстремумы функции					z = x3 + y2	−6 xy −39x +18 y +20.
5.	Найти экстремумы функции z = x2 − y2						при условии, что x2 + y2		=1.
6.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции							z = 1 x2	− xy в
								2
	замкнутой области			y =	x2	, y = 3.
					3
7.	Найти приближенное значение функции z = x2 + y2							в точке
	А(4.05, 2.93).
8.	Найти		z и производную в точке А( 2;0) по направлению вектора
		grad
	а =(2;4), если z = xe y .

9.Найти частные производные первого порядка, если а) x3 + 2 y3 + z3 −3xyz −2 y −3 =0 ;

б) z = eu−2r , u = sin x, r = x3 + y3 .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 24

1.

Найти

область определения функции u =

a 2 − x 2 − y 2 − z 2 . Сделать

чертеж.

2.

Определить и построить линии уровня функции z =

x .

y

y

∂

∂z

∂

2 z

3.

Дана функция z =ex . Показать, что

x 2

− y

2

∂y 2

= 0.

∂x

∂x

4.

Найти экстремумы функции

z = 3x3 − x 2 y +5y 2 + x 2 .

5.

Найти экстремумы функции z = x2

− 2 y2 + 4xy −6x −1

при

условии,

что x + y = 3.

6.

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функ-

цииz = 3xy −6x 2 + 6 y 2 +15x

в

замкнутой

области

x = 0, x = 2, y = 0, y =1.

7.

Найти

приближенное значение

функции

z = xy + x − y

в точке

А(1.47, 2.53).

8.

Найти

z и производную в точке А( 2;1) по направлению вектора

grad

а=(3;-1), если z = 2x2 +3xy + y2 .

9.Найти частные производные первого порядка, если а) x = z ln z y ;

б) z = ex−2 y , x = sin t , y =t 3 .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 25

1.

Найти область определения функции z = arcsin(2x − y).

Сделать

чертеж.

2.

Определить и построить линии уровня функции z = x2 + y2 +2x −4 y.

3.

Дана

функция

z =

y2

+arcsin(xy).

Показать,

что

3x

x2 ∂z − xy ∂z + y 2

=0.

∂x

∂y

4.

Найти экстремумы функции z = y

x − x2 +3x +8 y.

5.

Найти экстремумы функции z = 2x2 +2 y2 −4xy −3x −1 при

условии,

что

x

+

y

=1.

2

2

6.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2 − y2

в

замкнутой области

x 2 + y 2 ≤ 4.

7.

Найти

приближенное значение функции z = 2x 2 + 2 y 2 − x − y

в

точке А(-2.02, 2.95).

8.

Найти

z и производную в точке А( 3;5) по направлению вектора

grad

а =(1;-1), если z = arcsin

x

.

y

9.

Найти частные производные первого порядка, если

а) z 2 y 2 − x 2 e z − z arcsin y 2 x =1;

б) z = 4u 2 + r , u =cos y + x, r = y 2 +arctg x .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 26

1.

Найти область определения функции

z =

1 + x2

− y2

.

Сделать

9

16

чертеж.

2.

Определить и построить линии уровня функции z =

x2

+

y2

.

16

4

3.

Дана функция z = cos y +(y − x)sin y. Показать, что (x − y)

∂2 z

=

∂z .

∂x∂y

∂y

4.

Найти экстремумы функции z = (x2 +5xy + y) еy .

5.

Найти экстремумы функции z =1 − x2

− y2

при условии, что

(x +1)2 +(y +1)2 =1.

6.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = xy + x + y в

замкнутой области

x =1, x = 2, y = 2, y = 3.

7.

Найти приближенное значение функции

z = x 2 − y 2 + 6x +3y

в точ-

ке А(2.02, 2.97).

8.

Найти

z и производную в точке А(3;-1;) по направлению вектора

grad

а =(2;5), если z = ln(4x −3y).

9.Найти частные производные первого порядка, если

а)

z arcsin yx = xy2 z 2

−3x −4 y + 2z ;

б) z = 5u 2 −r 2 , u =cos x + y ,

r = y3 +arcsin x .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

			ВАРИАНТ № 27
	1.	Найти область определения функции z = x + y ln (y2 − x2 ). Сделать
		чертеж.
	2.	Определить и построить линии уровня функции					z = x2 + y −1.
	3.	Дана	функция	z =	y2	+ arcsin(xy).	Показать,	что
					3x
		x2 ∂z − xy ∂z + y2 = 0.
		∂x	∂y
	4.	Найти экстремумы функции		z = x2 + xy + y2 −6 x −9 y.
	5.	Найти	экстремумы функции z = x2 y(2 + x + y) при условии, что
		x − y = 6.
	6.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x3 + y2 −3xy
		в замкнутой области x = 0,		y = 0, 3x + 2 y −6 = 0.
	7.	Найти	приближенное значение			функции	z = x3 y2 в	точке

А(1.02, 0.97).

8. Найти grad z и производную в точке А(-1;2) по направлению век-

тора а =(2;1), если z = x2 + yx − y3 .

9. Найти частные производные первого порядка, если

	а) zxy 2 + cos z	y	− arccos	x		=0;
		x		y
	б) z = r 2 u,	u = arcsin x2 ,				r = cos2 x.

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 28

1.

Найти область определения функцииz =

1 + x2 + y2

+

1 − x + y2 . Сде-

лать чертеж.

2.

Определить и построить линии уровня функции z =

xy +1.

3.

Дана функция

z = x y . Показать, что y

∂2 z

= (1 + y ln x)

∂z .

∂x∂y

∂x

4.

Найти экстремумы функции z = x

y + x2

+ y + 6x +3.

5.

Найти экстремумы функции z = x2

− y2

при условии, что 3x + 4 y =12.

6.

Найти

приближенное

значение

функции

z = x2 +2xy +3 y2

в

точке

А(1.96, 1.04).

7.

Найти

приближенное

значение

функции

z = x2 +3xy − y2 в

точке

А(0.96, 2.95).

8.

Найти

z и производную

в точке А(-2;4) по направлению вектора

grad

а =(1;-4), если z = 4x2

+6 − y2

+ 2x +5xy.

9.

Найти частные производные первого порядка, если

а)

zxе

xy +

x

+

cos(xy)3 =0;

y

б)

z = 5u 2 +

r ,

u = y −sin 2 x,

r = x + arctgy.

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	6.1.6. Функции нескольких переменных

__________________________________________________________________________________________________

ВАРИАНТ № 29
1. Найти область определения функции z = 8x −	5	. Сделать
	y −1

чертеж.

2. Определить и построить линии уровня функции z = yx .

y

3.

Дана функция z = xе−

. Показать, что x2 ∂2 z

+2xy

∂2 z

+ y2

∂2 z =0.

x

∂x2

∂x∂y

∂y2

4.

Найти экстремумы функции

z =1 +6 x − x2 − xy + y2 .

5.

Найти экстремумы функции

z = x2 + 2 y2

+ 4xy −6x −1 при условии,

что x − y = 3.

6.

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функции

z = 2xy −3x2 −2 y2 +5

в

замкнутой

области

x = −1, y = −1, x + y = 5.

7.

Найти

приближенное

значение функции

z = xy + y2 −2x

в

точке А(2.03, 0.96).

8.

Найти

z и производную в точке А(2;1) по направлению векто-

grad

ра а =(3;-1),

если z = 2x2 +3xy + y2 .

9.Найти частные производные первого порядка, если а) tgzy + x2 yz + xy sin(ax +by)=0 ;

б) z =u3 −r3 , u = x − y , r = x + y .