Лекция №4

2.5 Анализ чувствительности

Неизбежное колебание значений таких экономических параметров, как цены на продукцию и сырье, запасы сырья, спрос на рынке и т.д. может привести к не оптимальности или непригодности прежнего решения задачи.

Анализ моделей на чувствительность – это процесс, реализуемый после получения оптимального решения. В рамках такого анализа выявляется чувствительность оптимального решения к определённым изменениям исходной модели, то есть анализ того, как возможные изменения параметров исходной модели повлияют на полученное ранее оптимальное решение задачи линейного программирования.

Для решения задач анализа ограничения линейной модели классифицируются следующим образом. Связывающие ограничения проходят через оптимальную точку. Несвязывающие ограничения не проходят через оптимальную точку. Аналогично ресурс, представляемый связывающим ограничением, называют дефицитным, а ресурс, представляемый несвязывающим ограничением – недефицитным. Ограничение называют избыточным в том случае, если его исключение не влияет на область допустимых решений и, следовательно, на оптимальное решение.

Выделяют следующие три задачи анализа на чувствительность.

1. Анализ изменений запасов ресурсов (анализ модели на чувствительность к правой части ограничений).

2. Определение наиболее выгодного ресурса.

3. Анализ изменения коэффициентов целевой функции.

Проанализируем чувствительность оптимального решения задачи об использовании ресурсов из пункта 2.3.

2.5.1 Анализ изменений запасов ресурсов

При анализе модели на чувствительность к правым частям ограничений определяются:

– предельно допустимое увеличение запаса дефицитного ресурса, позволяющее улучшить найденное оптимальное решение;

– предельно допустимое снижение запаса недефицитного ресурса, не изменяющее найденного ранее оптимального значения целевой функции.

Информация, полученная в последнем случае, особенно полезна в тех ситуациях, когда излишки недефицитного ресурса могут быть использованы для других целей.

Отметим, что увеличение избыточного ресурса не скажется на оптимальном решении (избыточный ресурс станет еще более избыточным). Очевидно, что сокращение дефицитного ресурса не улучшит значения целевой функции.

Вернёмся к задаче об использовании ресурсов. Область допустимых решений задачи (рис. 2) – многоугольник ОABC. В оптимальной точке В пересекаются прямые (II) и (III). Поэтому ограничения (II) и (III) являются связывающими, а соответствующие им ресурсы (второй и третий) – дефицитными. Ограничение (I) является избыточным, так как его исключение не влияет на область допустимых решений.

Рисунок 2 – Геометрическая интерпретация задачи

Чтобы графически определить максимальное увеличение запаса дефицитного ресурса, вызывающее улучшение оптимального решения, необходимо передвигать соответствующую прямую в направлении улучшения целевой функции до тех пор, пока это ограничение не станет избыточным.

Рисунок 3 – Геометрическая интерпретация задачи (изменение ресурса II)

При прохождении прямой (II) через точку К (рис. 3) треугольник ОКС становится областью допустимых решений, а ограничение (II) – избыточным. Действительно, если удалить прямую (II), проходящую через точку К, то областью допустимых решений ОКС не изменится. Точка К становится оптимальной, в этой точке ограничение (III) остаётся связывающим.

Чтобы численно определить максимальную величину запаса дефицитного ресурса, вызывающую улучшение оптимального решения, необходимо:

1) определить координаты точки К, в которой соответствующее ограничение становится избыточным;

2) подставить координаты в левую часть соответствующего ограничения.

Координаты точки К(0; 46) определяются путем нахождения пересечения прямой (III) и оси OX₂. То есть в этой точке предприятие будет производить 0 кг изделия А и 46 кг изделия В. Подставим х₁ = 0 и х₂ = 46 в левую часть ограничения (II) 5 · 0 + 10 · 46 = 460 и получим максимально допустимый запас второго ресурса, равный 40 кг.

Дальнейшее увеличение запаса второго ресурса нецелесообразно, потому что это не изменит область допустимых решений и не приведет к другому оптимальному решению. Доход от продажи изделий, соответствующий точке К(0; 46), можно рассчитать, подставив ее координаты в выражение целевой функции 35 · 0 + 45 · 46 = 2070 руб.

Рассмотрим вопрос о целесообразности увеличения запаса третьего ресурса. Соответствующее ограничение (III) становится избыточным в точке P, в которой пересекаются прямая (III) и ось OX₁ (рис. 4). Многоугольник OMNP становится областью допустимых решений, а точка N(10,67; 36,67) – оптимальным решением.

N

M

X₂

F_max

Рисунок 4 – Геометрическая интерпретация задачи (изменение ресурса III)

10

I

II

III

0

F=315

X₁

10

grad F

P

В точке N выгодно производить 10,67 кг изделия А и 36,67 кг изделия В. Доход от продажи при этом составит 35 · 10,67 + 45 · 36,67 = 2023,33 руб.

Ограничение (III) является несвязывающим, так как не проходит через оптимальную точку N. Соответствующий ему ресурс является недефицитным. Поэтому некоторое его колебание может никак не повлиять на оптимальный режим производства в точке N.

Например, увеличение (уменьшение) запаса третьего ресурса будет соответствовать перемещению прямой ограничения (III) вверх (вниз). Перемещение прямой (III) вверх никак не может изменить точку N максимума целевой функции. Перемещение же прямой (III) вниз не влияет на существующее оптимальное решение только до пересечения с точкой N. Из рис. 4 видно, что дальнейшее перемещение (III) приведет к тому, что точка N будет за пределами новой области допустимых решений.

Подставим координаты точки N в левую часть ограничения (III) 20 · 10,67 + 10 · 36,67 = 580 и получим максимально допустимый запас третьего ресурса, равный 120 кг.

Чтобы определить максимальное уменьшение запаса недефицитного ресурса, не меняющее оптимальное решение, необходимо передвигать соответствующую прямую до пересечения с оптимальной точкой В (рис. 5).

A

B

X₂

F_max

Рисунок 5 – Геометрическая интерпретация задачи (изменение ресурса I)

10

I

II

III

0

C

F=315

X₁

10

grad F

Чтобы численно определить минимальную величину запаса недефицитного ресурса, не меняющую оптимальное решение, необходимо подставить координаты оптимальной точки в левую часть соответствующего ограничения. Подставляем в левую часть ограничения (I) координаты точки B(2,67; 40,67), получаем 5 · 2,67 + 10 · 40,67 = 176 кг.

Результаты решения первой задачи анализа оптимального решения на чувствительность представлены в таблице 3.

Таблица 3 – Результаты анализа первой задачи на чувствительность

Ресурс	Тип ресурса	Максимальное изменение запаса ресурса, кг	Максимальное увеличение дохода, руб.
I	недефицитный	176 – 200 = –24	1923,33 – 1923,33 = 0
II	дефицитный	460 – 420 = +40	2070 – 1923,33 = +146,67
III	дефицитный	580 – 460 = +120	2023,33 – 1923,33 = +100