матем Матрицы 1 модуль_8
.doc
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГБОУ ВПО «Сибирский государственный технологический университет»
М.М. БАБКина
Математика
Сборник задач к практическим занятиям (1-й семестр)
Красноярск
2014-15 уч. год
Содержание практических занятий
Модуль 1. Линейная АЛГЕБРА
6 недель, 3 лекции, 6 практич. занятий
-
Проверочная работа по школьному курсу 2 ч
-
Матрицы, операции над ними 2 ч
-
Определители: вычисление и свойства 2 ч
-
Системы линейных уравнений. Метод определителей (Крамера) 2 ч
-
Системы линейных уравнений. Метод исключения неизвестных (Гаусса) 2 ч
-
Контрольная работа № 1 «Линейная алгебра» 2 ч
Модуль 2. Векторы и аналитическая геометрия
6 недель, 3 лекции, 6 практич. занятий
-
Векторы на плоскости 2 ч
-
Прямая на плоскости 2 ч
-
Взаимное расположение прямых. Графическое решение систем линейных неравенств.
-
Кривые второго порядка 2 ч
-
Контрольная работа № 2 «Векторы и аналитическая геометрия» 2 ч
-
* Задачи с экономическим содержанием 2 ч
Модуль 3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
6 недель, 3 лекции, 6 практич. занятий
-
Функции одной переменной: область определения и значений, свойства функции 2 ч
-
Графики функций одной переменной 2 ч
-
Предел функции 2 ч
-
Контрольная работа №3 «Введение в математический анализ» 2 ч
-
Зачетное занятие 2 ч
-
Зачетное занятие 2 ч
Модуль 1. линейная алгебра
Практическое занятие 1.
проверочная работа по школьному курсу
Тема «Линейные уравнения и неравенства, их системы»
Образец варианта
Часть 1. Линейные уравнения и их системы
№1. (1 балл) Какое из уравнений является линейным уравнением с двумя переменными?
А) 3х + 5у = 10; Б) ху = 20; В) 4х + 3 = 15; Г) х+у=17.
№2. (1 балл) Через какую из данных точек проходит график функции х + 4у = 14?
А) А(6; 3); Б) В(-10; 6); В) С(7; 7); Г) К(0; 4).
№3. (1 балл) Какая из пар чисел является решением системы уравнений ?
А) (-2; 0); Б) (0; -5); В) (3; 1); Г) другой ответ.
№4. (2 балла) Решите систему уравнений: .
№5. (3 балла) Постройте график функции . Пользуясь построенным графиком, установите, при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения.
Часть 2. Линейные неравенства и их системы
№1. (1 балл) Если , то для любых и верно неравенство:
№2. (1 балл) Решите неравенство .
№3. (2 балла) Найдите наименьшее целое решение системы
№4. (3 балла) Для каждой системы неравенств укажите множество ее решений.
1. 2. 3.
А. (-2; 4]; Б. [-2; -1]; В [-3; 5]; Г. (-∞; 2].
Практическое занятие 2.
Матрицы, операции над ними
Задачи для решения на занятии
№1. Даны матрицы , и единичная матрица .
Найти матрицы , ; , , , , , .
1) ;
2) .
№2. Найти произведение матриц.
1) 2)
3) 4) .
Задачи для домашнего решения
№3. Даны матрицы А, В и единичная матрица Е.
Найти матрицы , , , , , , .
1) ; 2) .
№4. Найти произведение матриц.
1) 2) ;
3) ; 4) .
№5. Даны матрицы и . Найти матрицу , являющуюся решением уравнением .
Практическое занятие 3.
Определители: вычисление и свойства
Задачи для решения на занятии
№1. Вычислить определители второго порядка:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .
№2. Вычислить определители третьего порядка по правилу треугольников.
1) ; 2) .
№3. Дан определитель . Вычислить все алгебраические дополнения для элементов; а) первой строки, б) второго столбца.
№4. Вычислить определители, используя теорему о разложении по элементам строки или столбца.
1) ; 2) .
Задачи для домашнего решения
№5. Вычислить определители второго порядка:
1) ; 2) ; 3); 4) ; 5) .
№6. Найти, при каком значении определитель равен нулю.
№7. Вычислить определители третьего порядка двумя способами:
а) по правилу треугольников; б) используя теорему о разложении.
1) ; 2) .
№8. Записать выражение для определителя .
Практическое занятие 4.
Системы линейных уравнений. Метод Крамера
Задачи для решения на занятии
Решение задач по новому материалу.
Для решения заданий студенту необходимо:
1) знать алгоритм решения СЛУ методом определителей (Крамера);
2) формулировать признаки совместной, несовместной, определенной и неопределенной СЛУ (с помощью определителей);
3) уметь находить значения неизвестных по формулам Крамера;
4) уметь записывать общее решение в случае неопределенной СЛУ.
№2. Решите системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера (определителей). Обоснуйте, какая СЛУ определенная, несовместная или неопределенная. В случае единственного решения системы выполните проверку.
1); 2) ; 3) .
№3. Решите систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера (определителей). Обоснуйте, какая СЛУ определенная, несовместная или неопределенная. В случае единственного решения системы выполните проверку.
1); 2) ; 3) .
Задачи для домашнего решения
Закрепление знаний и умений.
№4. Решите систему 2-х линейных уравнений методом Крамера. Обоснуйте, какая СЛУ определенная, несовместная или неопределенная. В случае единственного решения системы выполните проверку.
1) ; 2) .
№5. Решить систему 3-х линейных уравнений методом Крамера. Выполните проверку.
1); 2) .
Ответы.
№2. 1) система уравнений совместная и определенная, ее единственное решение ;
2) система несовместная;
3) система совместная и неопределенная; общее решение , - любое действительное число.
№3. 1) ; 2) несовместная; 3) .
№4. 1) ; 2) несовместная.
№5. 1) ; 2) .
Практическое занятие 5.
Системы линейных уравнений. Метод исключения неизвестных (гаусса)
Задачи для решения на занятии
Актуализация школьных знаний.
При решении задания №1 повторить понятия: 1) линейное уравнение,
2) система линейных уравнений, 3) решение системы уравнений,
4) несовместная система уравнений, 5) неопределенная система уравнений.
№ 1. Устный опрос.
1) Какая из данных пар чисел является решением уравнения :
а) (2; 3); б) (– 2; – 3); в) (2; – 3); г) (– 2; 3).
2) Является ли пара чисел решением системы уравнений ?
3) Имеет ли решения каждая система уравнений и сколько? Ответ обоснуйте.
1) ; 2) .
№2. Решите систему уравнений: методами:
а) подстановки; б) алгебраического сложения. Выполните проверку.
Решение задач по новому материалу.
При решении заданий студенту необходимо:
-
знать элементарные преобразования с уравнениями системы,
-
обосновать треугольный вид СЛУ,
-
описать «обратный ход Гаусса» нахождения значений неизвестных,
-
уметь записать общее решение неопределенной системы,
-
знать признаки отсутствия решения СЛУ и бесконечного множества решений СЛУ.
№3. Решить систему 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными методом Гаусса (исключения неизвестных), применяя элементарные преобразования над уравнениями.
Записывать ответ в видах: а) СЛУ совместная и определенная, решение ; б) СЛУ несовместная; в) СЛУ совместная и неопределенная, общее решение
1) ; 2) ; 3) .
№4. Решить систему 3-х линейных уравнений методом Гаусса (исключения неизвестных).
Виды ответа: а) СЛУ совместная и определенная, решение ; б) СЛУ несовместная; в) СЛУ совместная и неопределенная, общее решение .
1); 2).
Задачи для домашнего решения
Закрепление знаний и умений.
№5. Решите систему линейных уравнений методом подстановки или методом алгебраического сложения:
1) 2)
№6. Решить систему двух линейных уравнений методом исключения неизвестных (Гаусса).
1) ; 2) .
№7. Решить систему трех линейных уравнений методом Гаусса.
1); 2) .
№8. * Задача с экономическим содержанием
Для выполнения плана товарооборота производственно-торговая фирма должна продать товары в количестве (тыс. штук) соответственно. Если продавать эти товары в количествах (тыс. штук) соответственно, то план товарооборота будет перевыполняться в 1,5 раза. Если продавать в количествах соответственно, то выполнение плана составит 75%.
Постройте математическую модель задачи: составьте систему линейных уравнений и определите стоимость единицы товара каждого вида, если план товарооборота фирмы составляет тыс. руб.
1) , ; 2) , ;
3) , ; 4) , .
Ответы.
№3. 1) ; 2) ;
3) система несовместная;
№4. 1) ; 2) .
№6. 1) ; 2) .
№7. 1) ; 2) .
Практическое занятие 6.
Контрольная работа № 1 «Линейная алгебра»
Примерный вариант
Задачи на оценку «удовлетворительно»
Задача 1. Даны матрицы и , число :
, , .
Найти матрицы: 1) , 2) .
Задача 2. Вычислить определитель по правилу треугольников:
.
Задача 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
.
Задача 4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Задачи на оценку «хорошо» и «отлично»
(1-3 задачи на выбор студента)
Задача 5. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса (исключения неизвестных):
.
Задача 6. Вычислить определитель разложением по строке или столбцу:
.
Задача 7. Найти общее решение системы линейных уравнений и одно из частных решений:
.