Шпаргалка - 2000 / matan0005

Производная функции нескольких переменных. Полная производная. Полный диф­-ал

Функция z = f(x, y) называется диф-мой в точке М(х, у), если в этой точке ее полное прира­щение представимо в виде , где и

Теорема 1 (о связи диф-мости и непрерывнос­ти). Если функция z = f(x, y) дифференцируема в точке М(х, у), то она непрерывна в этой точке.

Теорема 2 (о связи диф-мости с существовани­ем частных производных). Если функция z = f(x, y) диф-ма в точке М{х, у), то в этой точке она имеет частные производные по X и у, которые равны

Теорема 3 (достаточное условие диф-мости). Если функция z = f(x, y) имеет в некоторой окрестности точки М(x, y) непрерывные частные производные по х и у, то функция f(x, y) диф-ма в (·)М и в формуле (1)

Теорема 4 Пусть ф-ции х = х(u, v), y = y(u, v) диф-мы в некоторой точке P(u, v), а z = f(x, y) диф-ма в соотв точке М(x, y). Тогда сложная ф-ция z = f(x(u, v), y(u, v)) как ф-ция переменных u и v, диф-ма в точке P(u, v) и ее частные производные в этой (·) выч-тся по формулам:

Теорема 5. Пусть ф-ции х=х(u), у=у(u) диф-мы в некоторой точке u, а функция z = f(x, y) диф-ма в соотв точке М(x, y). Тогда сложная функция z = f(x(u)), у(u), как функция одной переменной u, диф-ма в точке u и ее полная производная в этой точке вычисляется по формуле:

Следствие. Пусть ф-ция y=y(u) диф-ма в некоторой точке x, а функция z = f(x, y) диф-ма в соотв точке М(х, у). Тогда сложная функция z = f(x, y(u)), как ф-ция переменной x, диф-ма и ее полная производная в точке x вычисляется по формуле:

Диф-ние функции одной переменной. заданной неявно уравнением

Определение. Если функция F(x, у) определена на не­котором множестве DR² и существует такая функция y=f(x), определенная на некотором множестве IR¹, что (х, f(x))D xI и выполняется равенство F(x,f(x))  0 хI, то функция y=f(x) называется не­явной функцией, заданной уравнением F(x,y)=0.(1)

Теорема 1. Пусть функция у = f(x) задана неявно урав­нением (1), где F(x,y) дифференцируема в точке (x₀,y₀), для которой .F(x₀,y₀)=0, и . Пусть функция у = f(x) диф-ма в точке x₀, тогда

Дифференцирование функции двух переменных, заданной неявно уравнением

Определение. Если функция F(x, у, z) определена на некотором множестве GR³ и. существует такая функция z = f(x, у), определенная на некотором множестве DR² , что (х, у, f(x, у))G (x, y)D и выполняется равенство F(x, y, f(x, y))0 (x, y)D, то функция z=f(x,y) называется неявной функцией, заданной уравнением F(x,y,z)=0. (2)

Теорема 2. Пусть функция z = f(x, у) неявно задана уравнением (2), где F(x, у, z) дифференцируема в точке (x₀, y₀, z₀), для которой F(x₀, y₀, z₀)=0 и F'_z(x₀, y₀, z₀). Пусть функция z = f{x, у) диф-­ма в точке (x₀, y₀), тогда Замечание. В точке (x₀, y₀) полный диф-ал z = f(x, у), заданной неявно ур-ем (2), выч-ся по формуле