Расчёты по 1 части-ПРОСТОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет»

Политехнический институт СФУ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. РАСЧЁТЫ ПРИ ПРОСТОМ СОПРОТИВЛЕНИИ

Утверждено Редакционно-издательским советом СФУ в качестве учебного пособия

Красноярск 2011

1

УДК 621.7/.9(07)

Рецензенты:

Н. А. Кокорин, канд. техн. наук, доцент кафедры механики СибГТУ; С.В. Доронин, канд. техн. наук, доцент, старший научный сотрудник

СКТБ «Наука» СО РАН

Сопротивление материалов. Расчѐты при простом сопротивлении. Л.П. Шатохина, Е.М. Сигова. /Учебное пособие. Красноярск:

КПУ СФУ, 2012,150с.

Под общей редакцией Л.П. Шатохиной

В пособии рассмотрена методика решения задач по расчѐту прямого бруса при простом сопротивлении (при осевом растяжении-сжатии, кручении и поперечном изгибе), а также вычисление геометрических характеристик плоских сечений. Предназначен для выполнения расчѐтнографических и курсовых работ при изучении дисциплин «Сопротивление материалов» и «Прикладная механика» для студентов направлений 651400 – «Машиностроительные технологии и оборудование» (спец. 120300, 120400,

120500, 120600, 120700), 651500 – «Прикладная механика» (спец. 071100,

071200), 653200 – «Транспортные машины и транспортно-технологические комплексы» (спец. 150600, 190100, 190200, 190600, 170900), 653300 –

«Эксплуатация наземного транспорта и транспортного оборудования»

(спец. 150200, 150900, 230100), 653800 – «Стандартизация, сертификация и метрология» (спец. 072000), 657800 – «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» (спец. 120100, 120200, 121300), 220000 - «Автоматика и управление» (спец. 14600, 220400)

2

	СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ	.........................................................................................................		4
Раздел 1. РАСЧЁТЫ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ ................................			5
Задача 1. Подбор размеров сечения стержней стержневой системы....			13
Задача 2. Подбор размеров сечения стержней фермы...........................		..	18
Задача 3. Проектный расчѐт ступенчатого бруса .....................................			23
Задача 4. Проектный расчѐт ступенчатого статически
неопределимого бруса ...........................................................		29
Задача 5. Проектный расчѐт стержневой статически
неопределимой системы ..............................................................			37
Задача 6. Проверочный расчѐт ступенчатого бруса .................................			45
Задача 7. Проверочный расчѐт ступенчатого статически
неопределимого бруса .................................................................			50
Раздел 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ ....................................................................			55
Задача 8. Вычисление геометрических характеристик
симметричных сечений из прокатных профилей ...................			59
Задача 9. Вычисление геометрических характеристик
симметричных сечений из простых фигур ..............................			63
Задача 10.	Вычисление геометрических характеристик
несимметричных сечений из прокатных профилей .................			70
Задача 11.	Вычисление геометрических характеристик
несимметричных сечений из простых фигур ...........................			78
Раздел 3. РАСЧЁТЫ ПРИ КРУЧЕНИИ ..........................................................			82
Задача 12. Проектный расчѐт ступенчатого вала ......................................			89
Задача 13.	Проектный расчѐт ступенчатого статически
	неопределимого вала .................................................................		96
Задача 14.	Проверочный расчѐт ступенчатого вала ...............................		102
Задача 15.	Проверочный расчѐт ступенчатого статически
неопределимого вала .................................................................			107
Раздел 4. РАСЧЁТЫ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ ........................................			112
Задача 16. Проектный расчѐт консольной балки ....................................			127
Задача 17.	Проектный расчѐт двухопорной балки .................................		137
Задача 18.	Определение несущей способности балки ...........................		146
Задача 19.	Проектный расчѐт составной балки ......................................		150
Задача 20.	Проверочный расчѐт консольной балки ...............................		158
Задача 21.	Проверочный расчѐт двухопорной балки .............................		166
ПРИЛОЖЕНИЕ................................................................................................			175

3

ВВЕДЕНИЕ

При изучении учебной дисциплины «Сопротивление материалов» предусмотрено выполнение курсовых работ (КР) и расчѐтно-графических заданий (РГЗ), в которых рассматривается прочность и жѐсткость простейших типовых элементов конструкций. Выполнение КР и РГЗ по сопротивлению материалов является неотъемлемой и важной составной частью самостоятельной работы студента, так как способствует приобретению навыка расчѐта элементов конструкций и формированию инженерного мышления.

Данное пособие составлено для оказания методической помощи при выполнении КР и РГЗ по 1-й части курса «Сопротивления материалов», а также оно будет полезно преподавателям, ведущим практические занятия.

В пособии приведены методика и примеры решения задач, входящих в КР и РГЗ. В задачах рассматриваются наиболее часто встречающиеся элементы конструкций (стержни, валы и балки), испытывающие простое сопротивление: растяжение и сжатие, кручение и плоский изгиб. При этом производится расчѐт как статически определимых, так и статически неопределимых схем указанных элементов конструкций. Выполняются все три типа расчѐтов: проектный, проверочный и определение допускаемой нагрузки. В пособии также дана методика и выполнены примеры вычисления геометрических характеристик плоских сечений для наиболее распространѐнных 4-х типов составных сечений: симметричных сечений из прокатных профилей; симметричных сечений из простых фигур; несимметричных сечений из прокатных профилей; несимметричных сечений из простых фигур.

Примеры решения задач выполнены по общепринятым и разработанным методикам. В приложении к пособию представлен необходимый для расчѐтов справочный материал. Рисунки и формулы пронумерованы последовательно по каждому разделу.

Для успешного выполнения КР и РГЗ необходимо знание изучаемого учебного материала, в котором наиболее важными темами являются: построение эпюр внутренних силовых факторов при растяжении-сжатии, кручении и плоском изгибе; условия прочности и жѐсткости при простом сопротивлении; геометрические характеристики простых и составных сечений.

Курсовые работы и расчѐтно-графические задания При выполнении КР и РГЗ необходимы навыки черчения, умение понятно и грамотно изложить решение и представить результаты расчѐта. При решении задач используют знания математики, физики, начертательной геометрии и черчения, теоретической механики, материаловедения.

Выполнение КР и РГЗ оформляется студентом в виде сборника решений задач и заданий, сборник нужно жѐстко скрепить. В сборнике должны быть: 1-й лист ─ титульный лист, 2-й лист ─ содержание; дальнейшие листы содержат выполненные задания. Вид титульного листа приведѐн в Приложении к

4

данному пособию. В целом сборник она листах формата А4 (297 210) и должен содержать необходимые чертежи и расчѐты. Текстовую часть выполнять от руки, хорошо читаемым почерком. Обозначение тригонометрических функций, букв греческого и латинского алфавитов выполнять правильным начертанием (см. в Приложении табл. 1). На всех страницах сборника решений, начиная с листа содержания, нужно проставить номера в правом нижнем углу. Оформление каждой задачи начинается с нового листа. Вначале необходимо указать номер задачи и тему. Далее, перед решением каждой задачи, надо написать еѐ условие, указать требуемые пункты задания и исходные числовые значения, вычертить заданную схему в масштабе, указав на схеме все размеры и действующие нагрузки.

При изложении решения задачи к расчѐтной схеме добавляются необходимые дополнительные построения (опорные реакции, внешние и внутренние усилия по участкам и т.п.). Эпюры внутренних усилий, которые необходимы при решении задач, нужно располагать непосредственно под расчѐтными схемами, либо на следующей странице. На эпюрах указывать значения характерных ординат и единицы измерения откладываемой величины. Все схемы и эпюры выполняются по правилам и нормам машиностроительного черчения в карандаше.

Решение задач должно сопровождаться последовательными, краткими, и корректными пояснениями, названием всех величин и формул, причѐм необходимо приводить размерность величин в международной системе единиц (системе СИ), которая в настоящее время обязательна во всех областях науки и техники (см. в Приложении табл. 2 и 3). Значения величин следует представлять в виде десятичных или простых дробей, умноженных на число 10 в соответствующей степени (положительной или отрицательной). Не следует вычислять большое число значащих цифр, следует ограничиваться тремя значащими цифрами. Каждая задача должна содержать вывод согласно условию задачи (назначение размеров, вывод о прочности и жѐсткости конструкции и т. п.).

Приѐм отчѐтов по КР и РГЗ, выставление по ним оценок и зачѐтов выполняется преподавателем, выдавшем задание, и производится в виде собеседования, изложении решения и результатов, решении задач по соответствующей тематике. Полученная оценка и число проставляется преподавателем на строке, где указана фамилия и инициалы руководителя (преподавателя).

Раздел 1. РАСЧЁТЫ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ

5

Вэтом разделе рассматриваются расчѐты на прочность и жѐсткость при растяжении и сжатии. Растяжение и сжатие возникает: в опорных стержнях, поддерживающих какие либо конструкции (сооружения, плоские и пространственные рамы, ─ в целом эти системы называют стержневыми системами); в стержнях ферм (фермы − это системы из прямолинейных стержней, соединѐнных по концам шарнирами); в элементах конструкций, имеющих вид прямого бруса постоянного или переменного сечения и нагруженных продольной нагрузкой. Например, как прямой брус при действии растягивающей силы рассматривают болты и винты, применяемые в механических соединениях; трос подъѐмного механизма; как прямой брус изображают следующие элементы, воспринимающие продольную нагрузку: колонны зданий и оборудования, фабричные трубы, столбчатые фундаменты, которые сжаты собственном весом и верхней нагрузкой.

При составлении схем расчѐта при растяжении и сжатии учитываются геометрия всей системы, вид внешнего воздействия, и способ присоединения (или опирания). Если присоединение фактически препятствует смещению и повороту, то на схеме изображается так называемая жѐсткая заделка. Если опора не позволяет линейного перемещения, а поворот частей системы относительно друг друга происходит, то такое соединение называют шарнирным и на расчѐтной схеме изображается шарнир.

По количеству имеющихся опор схемы для расчѐта могут быть как статически определимыми (количество опорных связей равно количеству уравнений равновесия), так и статически неопределимыми (количество опорных связей превышает количество уравнений равновесия). Ввиду этого в данном пособии рассматривается решение следующих задач, которые задают

вкурсовой работе и в расчѐтно-графических заданиях по сопротивлению материалов.

Задача 1. Подбор размеров сечения стержней стержневой системы. Задача 2. Подбор размеров сечения стержней фермы.

Задача 3. Проектный расчѐт ступенчатого бруса.

Задача 4. Проектный расчѐт ступенчатого статически неопределимого

бруса.

Задача 5. Проектный расчѐт стержневой статически неопределимой системы.

Задача 6. Проверочный расчѐт ступенчатого бруса.

Задача 7. Проверочный расчѐт ступенчатого статически неопределимого

бруса.

Вкаждой из названных задач необходимо выполнить расчѐт на прочность, в ходе которого всегда требуется знать значение внутренней продольной силы N, так как в случае растяжения и сжатия в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы, которые и позволяют оценить сопротивление бруса внешним воздействиям.

6

Известно, что в общем случае нагружения в поперечном сечении бруса могут возникать шесть разных внутренних усилий, но при решении задач изображают и вычисляют только те усилия, которые не равны 0. Так, при растяжении и сжатии по виду внешних сил видно, что в сечении возникает лишь продольная сила N.

Выполним вычисление продольной силы N на примере бруса с нагрузкой общего вида: в начальном сечении бруса покажем сосредоточенную силу Р и по всей длине распределѐнную нагрузку интенсивности q (рис. 1.1, а). Введѐм правило знаков нагрузки: принимаем за положительное то направления, которое вызывает растяжение.

а

б

в

г

Рис. 1.1

Значения продольной силы вычисляют методом сечений, выполняя последовательно правило РОЗУ: Разрезать, Отбросить, Заменить, Уравновесить. Выполним разрез бруса на расстоянии z от свободного края (это будет текущее сечение) и изобразим правую часть (рис. 1.1, б). В текущем сечении поставим силу N. Если изобразить силу N от сечения, то она растягивает отсечѐнную часть бруса. Такое направление продольной силы принято считать положительным. Заметим, что, поставив силу N в текущем сечении, мы произвели замену воздействия отброшенной части бруса на оставленную. Составим уравнение равновесия. Как известно, для пространственного тела имеем шесть уравнений равновесия, но при

7

растяжении-сжатии из шести уравнений равновесия только одно не превращается в тождество 0=0, − это сумма проекций всех сил на продольную ось бруса:

пр z =0.	(1.1)
В нашем примере в это уравнение войдут внешние силы P и	qz и
внутренняя продольная сила N, и уравнение принимает	вид:
N qz P 0, отсюда получим формулу продольной силы
N qz P .	(1.2)

Как видно, продольная сила N в сечении равна алгебраической сумме проекций на ось z всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Получается закономерность: положительная внешняя нагрузка создаѐт положительную продольную силу.

Принято изображать график изменения N вдоль оси, который называют эпюрой N. Этот график удобен, так как наглядно показывает изменение силы вдоль бруса и определяет опасное сечение: опасным является сечение, в котором продольная сила принимает максимальное значение (определяется максимальная растягивающая и максимальная сжимающая силы). Эти значения являются расчѐтными значениями силы и необходимы для составления условия прочности.

Для построения эпюры N вычислим значения силы в начале бруса (при z

= 0) и в конце (при z = l). Получим граничные значения продольной силы:

N (0) P, N(l) ql P. Отложив эти значения от базисной (нулевой) линии, проведѐнной под брусом, соединим значения согласно с (1.2) наклонной прямой и получим эпюру N. При положительных значениях нагрузки, показанной на чертеже бруса, она выглядит нарастающей от свободного края по линейному закону (рис. 1.1, в). Реальная нагрузка вносит свои коррективы: подставляя значения реальной нагрузки в формулу (1.2), можно получить функцию продольной силы и построить эпюру N для любого грузового участка расматриваемого бруса. С другой стороны, формула (1.2) позволяет проследить закономерности функции N, связанные с видом и направлением внешней нагрузки:

на участке, где интенсивность распределѐнной нагрузки q 0, продольная N = const , и на эпюре N – прямая, параллельная оси;

на участке с распределѐнной нагрузкой, где q≠0, продольная N изменяется линейно, и на эпюре N – наклонная прямая, причѐм при q>0 продольная сила растѐт, при q < 0 продольная сила уменьшается.

Заметим следующие методические приѐмы при нахождении силы N:

1. Силу N в сечении лучше предполагать положительной (т. е. направленной от сечения). Это удобно, так как получив еѐ значение, автоматически указывается знак «+» при растяжении и знак «–» при сжатии,

8

что особенно важно при расчѐте бруса из материала, не одинаково работающего на растяжение и сжатие.

2. Определение продольной силы для бруса с заделкой удобно выполнять, рассматривая отсечѐнную часть со стороны свободного края, так как приэтом не обязательно определение опорных реакций.

Расчѐт элементов деталей машин и механизмов ведѐтся в пределах упругих деформаций, поэтому используют условие прочности по

допускаемым напряжениям, общий вид которого имеет вид ζ ζ . Согласно этому условию напряжения ζ не должны превышать допускаемого напряжения ζ . При растяжении-сжатии нормальные напряжения в

поперечном сечении бруса ζ равномерно распределены по площади (см. рис. 1.2) и определяются как отношение продольной силы к площади сечения:

ζ	N	.	(1.3)
	F

В рассматриваемых ниже задачах имеются, во-первых,стержни, в которых площадь сечения F и продольная сила вдоль оси постоянны, и, вовторых, ступенчатый брус, имеющий несколько грузовых участков с разной площадью сечения F и различным характером нагрузки. Для первых стержней условие прочности по допускаемым напряжениям записываем как

ζNF ζ ,

адля ступенчатого бруса условие прочности принимает вид

		N		ζ .
ζmax
		F max

(1.4)

(1.5)

Нужно помнить, что для пластичных материалов (например, для

малоуглеродистых	низколегированных	сталей)	имеем				одинаковые
допускаемые напряжения на растяжение и сжатие, т. е.			ζ		= ζ	c	= ζ , а для
				р

хрупких материалов (например, для чугуна) допускаемые напряжения на

растяжение	ζ		и на сжатие ζ	c	различны. Поэтому для пластичных
		р

материалов составляем одно условие прочности, а для хрупких − два условия. По условию прочности возможно выполнение трѐх видов расчѐта на

прочность:

проектный расчѐт (определение размеров сечения);

проверочный расчѐт (вычисление напряжений и проверка прочности);

определение несущей способности (нахождение величины

нагрузки).

В рассматриваемых ниже задачах рассмотрены два первых вида расчѐта.

9

При работе реальных систем длина стержня или его части изменяется, что вносит свои особенности в обслуживание и сохранение работоспособности всей системы, поэтому в задачах предусмотрено вычисление деформаций и проверка жѐсткости. Величина изменения длины стержня (рис.1.2, а), называемая абсолютной деформацией Γl, вычисляется как

	l	N
	l		dz ,	(1.6)
		EF
	0

где E – модуль продольной упругости (или модуль Юнга), для стали и чугуна Е=2∙105МПа, для алюминиевых сплавов Е=0,65 105МПа; величина EF

называется жѐсткостью сечения при растяжении-сжатии.

За счѐт деформации стержня происходит поступательное перемещение δ поперечных сечений стержня в продольном направлении. Поясним вычисление перемещений δ на нашем примере (рис. 1.1, г). Перемещение заделки δА равно 0, т. е. δА=0, а свободный край бруса переместился на величину деформации всего бруса, которую найдѐм по (1.6):

l

N

l

P q z

1

z2

l

1

l2

δ=δA l

dz

dz

P z q

P l

q

.

EF

EF

EF

2

EF

2

0

0

0

Здесь выражение, полученное после интегрирования, показывает, что имеем функцию 2-го порядка по отношению переменной z (это результат действия распределѐнной нагрузки), значит, величина перемещения текущего сечения, задаваемого абсциссой z, изменяется вдоль бруса по квадратичной зависимости от z, ─ по квадратичной параболе.

При расчѐте ступенчатого бруса для вычисления перемещений отдельных (так называемых характерных) сечений необходимо знать абсолютные деформации грузовых участков бруса, определяемые формулой (1.6). При этом перемещение i-го сечения будет равно перемещению (i-1)-го плюс деформация li i-го участка:

δi =δi-1 li .

(1.7)

Используя полученные значения перемещений, строят эпюру δ, которая наглядно показывает изменение продольных перемещений вдоль бруса и позволяет выбрать его наибольшее значение δmax. Для бруса, изображѐнного на рис. 1.1, эпюра δ будет криволинейной, для которой нужно правильно изобразить форму кривой. Для определения угла наклона касательной к кривой перемещений, возьмѐм производную от функции перемещений (1.7), с учѐтом (1.6) получим

d (δ

l

N

dz)

i-1

dδ

d (δ

l )

EF

N

tgα

i-1

i

i

0

.

(1.8)

dz

dz

dz

EF

10