Voprosy_ekz_3_semestr

ВОПРОСЫ к экзамену по ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ 3 семестр

спец. «Защита в чрезвычайных ситуациях» и

«Безопасность технологических процессов и производств»

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Случайные события.

1. Комбинаторика: основные комбинаторные конфигурации (сочетания, размещения, перестановки); правила умножения и сложения в комбинаторике.

2. Случайные события: определение, примеры. Классификация событий. Действия над событиями: сложение, произведение, разность, дополнение.

3. Аксиоматическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности.

4. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.

5. Основные теоремы теории вероятностей.(5 теорем)

6. Формулы полной вероятности и формула гипотез (формула Байеса).

7. Повторные независимые испытания: формула Бернулли (вывод); формула Пуассона (вывод); локальная и интегральные формулы Муавра-Лапласа.

Случайные величины.

8. Случайные величины: основные понятия, примеры.

9. Действия над СВ: сложение и умножение.

10. ДСВ: закон распределения (ряд распределения; многоугольник распределения);

11. Функция (интегральная) распределения СВ F(x): определение, свойства. Функция распределения ДСВ.

12. Числовые характеристики ДСВ: характеристики положения и характеристики рассеивания.

13. Математическое ожидание: определение, свойства. Мода. Медиана СВ.

14. Дисперсия: определение, свойства. СКО.

15. Биномиальный закон распределения: определение, числовые характеристики.

16. Пуассоновский закон распределения: определение, числовые характеристики.

17. Дифференциальная функция распределения f(x) и ее свойства.

18. НСВ: определение, пример, числовые характеристики.

19. Основные законы распределения НСВ и их числовые характеристики:

1. - равномерное распределение

2. - показательное распределение

3. -нормальное распределение. Кривая Гаусса: формула, исследование функции и построение графика. Док-во M(X)=a.

20. Правило 3-х сигм.

Преподаватель: к.т.н., доцент О.Р. Воронцова

Задачи к экзамену по ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ 3 семестр

Комбинаторика.

1. Из 6 мужчин и 5 женщин надо выбрать трех понятых так, чтобы среди них было 2 женщины. Сколькими способами это можно сделать?

2. Их 10 офицеров и 15 солдат надо составить наряд так, чтобы в него входили 2 офицера и 3 солдата. Сколько существует таких нарядов?

3. Сколькими способами из 28 студентов группы, в которой половина юношей, можно выбрать команду делегатов на студенческую конференцию, в которую входят 2 девушки и 4 юношей?

4. Сколькими способами из урны, содержащей 30 белых и 10 черных шаров, можно извлечь 40% всех шаров так, чтобы 2 из них были черными?

5. Сколько можно составить целых четырехзначных чисел, каждое из которых изображается различными цифрами?

6. Сколько существует четырехзначных чисел, которые нацело делятся на 5 и все цифры которых различны?

7. В столовой имеются четыре первых блюда, пять вторых и три третьих. Сколькими способами можно составить их них полноценный обед?

8. Решить уравнение:

А) б) …..

Случайные события.

1. В ящике 10 шаров: 7 черных и 3 белых. Из ящика вынимают сразу 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется 3 черных и 2 белых шара.

2. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. Наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

3. В ящике имеется 20 деталей, из которых 15 окрашены. Наудачу извлечены 4 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

4. В урне 20 шаров: 16 белых и 4 черных. Из урны вынимают сразу три шара. Найти вероятность того, что 2 шара будут белые и 1 черный.

5. В учебную группу выделили 9 книг, из которых 6 справочников. Найти вероятность того, что среди 5 взятых наугад книг ровно 3 справочника.

6. Студент знает три четверти из 32 вопросов программы. Билет состоит из трех случайно выбранных вопросов. Найти вероятность того, что студент знает:

а) только один из трех вопросов билета;

б) все три вопроса билета;

в) хотя бы один из трех вопросов билета.

7. Бросаю два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков будет меньше 9?

8. Из урны, в которой находятся 50 шаров, пронумерованных числами от 1 до 50, наудачу извлекают один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара без остатка делится на 4?

----------------------------------------------

1. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии устройства сработают равна 0,8 и 0,9 для первого и второго устройств соответственно. Найти вероятности следующих событий:

а) при аварии сработает только второе устройство;

б) при аварии сработает только одно устройство;

в) при аварии сработает хотя бы одно устройство

2. Два стрелка стреляют по одной мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,7, вторым – 0,8. Каждый стрелок делает по одному выстрелу. Найти вероятности следующих событий:

а) оба стрелка поразят мишень;

б) мишень поразит только первый стрелок;

в) хотя бы один стрелок поразит мишень.

3. Абитуриент хочет поступить в КГТУ на ЛМФ и сдает три вступительных экзамена по математике, физике и русскому языку. Вероятность получения проходного балла по математике 0,6, по физике 0,5, а по русскому языку 0,7. Найти вероятность того, что а) абитуриент получит хотя бы один проходной балл; б) получит один проходной балл; в) получит два проходных балла.

4. Два автомобиля участвуют в гонках по пересеченной местности. Вероятность того, что первый автомобиль пройдет трассу без поломок, равна 0,65, для второго автомобиля эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что без поломок пройдет трассу: а) только один автомобиль; б) три автомобиля; в) хотя бы один автомобиль.

------------------------------------

1. Имеются семена пшеницы трех сортов. Причем, 97% семян первого сорта, 2% семян второго сорта и 1% семян третьего сорта. Вероятность того, что из одного зерна вырастет колос с более чем пятьюдесятью зернами, равна 0,6 для зерна первого сорта, 0,3 для зерна второго сорта и 0,1 для зерна третьего сорта. Найти вероятность того, что из наудачу выбранного зерна вырастет колос с более чем пятьюдесятью зернами.

2. При исследовании жирности молока коров все стадо было разбито на три группы. В первой группе оказалось 70%, во второй 23% и в третьей 7% всех коров. Вероятность того, что молоко, полученное от отдельной коровы, имеет не менее 4% жирности, равна 0,6; 0,35 и 0,1 для каждой группы коров соответственно.

1. Определить вероятность того, что для взятой наудачу коровы, жирность молока составит не менее 4%.

2. Взятая наудачу корова дает молоко жирностью не менее 4%. Найти вероятность того, что эта корова из первой группы.

3. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй – 85%, третьей – 75%. Найти вероятность того, что приобретенное изделие оказалось стандартным? Приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой?

4. Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: I класс – малый риск, II класс – средний, III класс – большой. Среди этих клиентов 50% – первого класса риска, 30% – второго и 20% – третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для I класса риска равна 0,01, II – 0,03, III – 0,08. Какова вероятность того, что застрахованный получит денежное вознаграждение за период страхования? Какова вероятность, что получивший денежное вознаграждение застрахованный относится к группе малого риска?

----------------------------------

1. Вероятность того, что в течение смены произойдет неполадка данного станка равна 0,15. Найти вероятность того, что за 5 рабочих смен данный станок будет иметь: а) ровно две неполадки; б) не больше трех неполадок; в) по крайней мере одну неполадку.

2. Стрелок производит 5 выстрелов по мишени. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что цель будет поражена: а) 4 раза; б) более трех раз.

3. Вероятность того, что баскетболист при броске попадет в корзину равна 0,3. Определить вероятность того, что, сделав 6 бросков, он попадет: а) ровно 4 раза; б) не менее 4 раз.

4. В продукции некоторого производства брак составляет 10%. Наудачу отбираются семь изделий. Найти вероятности событий: В – среди отобранных – два бракованных; С – не более двух бракованных; D – хотя бы одно бракованное.

5. Численность работников предприятия составляет 500 человек. Вероятность невыхода на работу из-за болезни равна 0,01 для каждого работника. Определить вероятность того, что в ближайший день не выйдет на работу 3 работника.

6. В пчелиной семье 5000 пчел. Вероятность заболевания в течение дня равна 0,001 для каждой пчелы. Найти вероятность того, что в течение дня заболеет:

а) три пчелы; б) более чем одна пчела.

7. В автобусном парка 100 автобусов. Вероятность того, что в течение дня мотор автобуса выйдет из строя равна 0,1. Найти вероятность следующих событий:

а) в течение дня выйдут из строя ровно 12 моторов;

б) в течение дня выйдут из строя от 15 до 20 моторов;

8. Вероятность того, что зашедший в ресторан посетитель сделает заказ, равна 0,6. Определить вероятность того, что из 100 посетителей ровно 75 сделают заказ.

9. Стрелок выполнил 400 выстрелов. Найти вероятность 325 попаданий, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.8.

10. Стрелок выполнил 400 выстрелов. Найти вероятность того, что он попадет от 310 до 325 раз, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.8.

11. Всхожесть семян 80%. Какова вероятность того, что из 1000 посеянных семян взойдут от 650 до 760?

Дискретные случайные величины.

1. В урне 8 шаров, на двух из них номер «0», на одном – номер «1», на двух – номер «3» и на трех – номер «4». Наудачу извлекают один шар. Пусть Х – число на извлеченном шаре. Для случайной величины Х составить таблицу распределения, найти F(x), M(x), D(x).

2. На шести гранях кубика написаны цифры 1; 1; 2; 4; 4; 4.Пусть Х –цифра, выпавшая при одном бросании кубика. Для случайной величины Х составить таблицу распределения, найти F(x), M(x), D(x).

3. В ящике находятся 4 белых и 6 черных шаров. Наудачу извлекают два шара ( без возвращения). Пусть Х – число извлеченных белых шаров. Для случайной величины Х составить таблицу распределения, найти F(x), M(x), D(x).

4. В урне 3 шара, пронумерованных числами 1, 2, 3. Наудачу извлекают один шар. Пусть Х – число на извлеченном шаре. Для случайной величины Х составить таблицу распределения, найти F(x), M(x), D(x).

Непрерывные случайные величины.

1. Задана функция распределения случайной величины Х:

Найти: 1) P(X<2); 2) P(X 3) 4) f(x); 5) M(X); 6) D(X).

Построить графики функций F(x) и f(x).

2. Задана функция распределения случайной величины Х:

Найти: 1) P(X<4); 2) P(X 3) 4) f(x); 5) M(X); 6) D(X).

Построить графики функций F(x) и f(x).

3. Задана функция распределения случайной величины Х:

Найти: 1) P(X<3); 2) P(X 3) 4) f(x); 5) M(X); 6) D(X).

Построить графики функций F(x) и f(x).

4. Задана функция распределения случайной величины Х:

Найти: 1) 2) P(X 3) 4) f(x); 5) M(X); 6) D(X).

Построить графики функций F(x) и f(x).

5. Определить, при каком значении функция может быть дифференциальной функцией распределения (плотностью вероятностей) некоторой случайной величины Х.

6. Определить, при каком значении функция может быть дифференциальной функцией распределения (плотностью вероятностей) некоторой случайной величины Х.

7. Определить, при коком значении функция может быть дифференциальной функцией распределения (плотностью вероятностей) некоторой случайной величины Х.

8. Определить, при каком значении функция может быть дифференциальной функцией распределения (плотностью вероятностей) некоторой случайной величины Х.

9. Найти вероятность попадания нормальной случайной величины Х с математическим ожиданием а = 0 и дисперсией D² = 4 в интервал (-2; 2).

10. Найти вероятность попадания нормальной случайной величины Х с математическим ожиданием а = 20 и дисперсией D² = 25 в интервал (15; 25).

11. Задана дифференциальная функция распределения (плотность вероятностей) случайной величины Х: . Вычислить вероятность того, что эта случайная величина примет значения в интервале (2; 6).

12. Задана дифференциальная функция распределения (плотность вероятностей) случайной величины Х: . Вычислить вероятность того, что эта случайная величина примет значения в интервале (2,5; 10).

13. Найти М(2Х+3Y) и D(X - 4Y), если М(Х) = 1,8; D(X) = 0,4; M(Y) = 5; D(Y) = 2,1.

14. Найти М(3Х - 2Y) и D(2X +3Y), если М(Х) = 7; D(X) = 3,8; M(Y) = -1; D(Y) = 0,6.

15. Найти М(2Х - Y) и D(X - 3Y), если М(Х) = 4; D(X) = 0,3; M(Y) = -3; D(Y) = 1,2.

15. Найти М(3Х - 8Y) и D(2X - 5Y), если М(Х) = 12; D(X) = 3; M(Y) =2; D(Y) = 1,1.