3.2. Внутренняя энергия идеального газа (свойства и расчет).

Из определения идеального газа следует, что внутренняя энергия (определение см. в лекции 1) идеального газа является просто кинетической энергией хаотического поступательного движения молекул газа. Потенциальная энергия взаимного расположения молекул в геометрическом пространстве, вращательная и колебательная энергия молекул идеального газа пренебрежимо малы по сравнению с кинетической энергией поступательного движения. Именно это обстоятельство позволило Больцману корректно провести усреднение кинетической энергии по множеству всех молекул и получить знаменитую формулу, известную из курса физики:

u = 3/2 kT, (2.18)

где k – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура, u – средняя по множеству всех молекул кинетическая энергия.

Выражение (2.18) по существу показывает, что внутренняя энергия идеального газа является функцией только температуры и что изменение внутренней энергии Δuопределяетсятолько изменением температуры:

(∂u/∂(∙))_T= 0

Здесь вместо точки в выражении частной производной можно подставить любой параметр состояния (конечно, кроме Т).

Отсюда сразу следует, что для идеального газа (см.(2.13) и (2.14)) расчет изменения внутренней энергии и энтальпии существенно упрощается, т.к. (∂u/∂v)_T= 0 и (∂h/∂p) = 0 и

du=c_vdTиdh=c_pdT→ Δu=(t₂–t₁); Δh=(t₂–t₁); (2.19)

И такой способ расчета изменений функций состояния справедлив для любых процессовс идеальным газом.

Можно также предложить другой способ расчета изменения функций состояния, если имеется в наличии диаграмма p – v или T – s для какого-то вещества в идеальном состоянии. Например, рассмотрим диаграмму T – s и процесс 1 – 2 на рис. 2.7.

Рис 2.7. Графический способ расчета изменения

внутренней энергии и энтальпии для идеального газа в процессе 1 – 2.

Точки 1 и 2 характеризуют два состояния с температурами Т₁и Т₂(на рис 2.7 показаны две соответствующие изотермы). Изменение энтальпии Δhопределяется (см.(2.5)):

, (2.20)

и для функций состояния Δh не зависит от траектории процесса, а зависит только от температурыв начальном и конечном состоянии (изотермы Т₁и Т₂). Глядя на (2.20), видно, что по диаграмме T – s нельзя найти определенный интеграл от vdp. Тогда расчет Δhбудем вести не по реальной кривой 1 -2 на рис 3.1, а по изобаре p = const (dp= 0 иvdp= 0) и второй интеграл станет нулевым.

Строим изобару p = const на диаграмме, тогда площадь под изобарой в нужном температурном интервале Т₁и Т₂и будет численно равна изменению энтальпии Δh.

Аналогично,

(2.21)

Строим изохору v = const, и площадь под ней в тех же температурных пределах будет численно равна изменению внутренней энергии в процессе 1 – 2.

Замечание. Расположение изохоры или изобары на плоскости с координатами T – s правее или левее относительно процесса 1 – 2 здесь не существенно: площадь под кривыми неизменна.

Также просто найти изменение функций состояния в любом процессе с идеальным газом, если он изображен на диаграмме с координатами p – v. Предлагаем студентам самим проделать эту процедуру в качестве тренировки.

Замечание. Такая простота и легкость расчета изменения функций состояния в любом процессе обусловлена двумя обстоятельствами:

1. Зависимостью внутренней энергии идеального газа только от температуры.

2. Независимостью приращения функций состояния от траектории процесса, а, следовательно, возможностью выбора удобнойдля интегрирования траектории в интервале лишь температур начала и конца процесса.