2. Формализация полной термодинамической модели течения сжимаемых сред в канале.

Уравнения (5.2) и (5.3) еще далеко не образуют расчетный аппарат для поиска параметров потока газа (пара) в канале. Присоединим к этим уравнениям еще один закон, закон сохранения: сохранения массы. Его еще называют условием неразрывности (сплошности) течения.

Предварительно проведем еще одно упрощение: будем рассматривать одномерное течение, т.е. все характеристики и параметры рабочего тела в любом месте сечения F(x) (см. рис. 5.1) будем считать одинаковыми по радиусу сечения. Они теперь будут зависеть только от продольной координаты х: р = р(х), Т = Т(х), w = w(x) и т.д. Тогда массовый расход рабочего вещества в канале равен:

G = ρ(x) F(x) w(x) → G = F(x) w(x)/v(x) = const, кг/с.

Это и есть формализация закона сохранения массы в канале. Теперь это выражение прологарифмируем и далее продифференцируем:

lnF(x) + lnw(x) – lnv = lnconst → dF/F + dw/w – dv/v = 0. (5.4)

Уравнение (5.4) представляет собой запись закона сохранения массы в дифференциальной форме или уравнение сплошности (неразрывности).

Замечание. Уравнение сплошности не справедливо для потока людей, идущих по коридору переменного сечения. В узкой части коридора люди уменьшают свою скорость w(x), чтобы не толкаться и не давить друг друга (вспомните толпу людей перед эскалатором в метро в часы пик). Зато молекулы газа (пара) в узкой части канала начинают двигаться быстрее.

Для газовой и паровой фазы еще справедливо уравнение адиабаты (см. лекцию 2) pv^k=const. Опять прологарифмируем это уравнение, а затем продифференцируем его:

lnp + k lnv = ln const → dp/p + k lnv/v = 0. (5.5)

Наконец, если рабочее тело в канале находится в состоянии идеального газа, то еще

pv=RT→lnp+lnv– lnR–lnT= 0 →dp/p+dv/v–dT/T= 0.(5.6)

И одновременно в (5.5) k= с_р/с_vдля идеального газа.

Теперь напишем полную систему уравнений термодинамической модели потока газа (пара) в канале:

1. Уравнение энергии: dw²/2 +vdp= 0 илиdw²/2 +dh= 0. (5.2) и (5.3)

2. Уравнение сплошности: dF/F + dw/w – dv/v= 0. (5.4)

3. Уравнение адиабаты: dp/p+kdv/v= 0. (5.5)

4. Уравнение состояния идеального газа: dp/p+dv/v–dT/T= 0. (5.6)

Условия единственности решения:w(x = 0) = 0 или w(x = 0) = w₀.(5.7)

p(x = 0) = p₁ и p(x = L) = p₂. (5.7-a)

T(x = 0) = T₁. (5.7-b)

Всего искомых функций 5: w(x), p(x), v(x), T(x), h(x) и уравнений тоже 5. С точки зрения математики модель получилась замкнутой:число уравнений и число искомых функций одинаковы (это одно из условий корректности любой математической задачи). Заметим, что функция F(x) считается известной по постановке задачи.

Перечислим и назовем все гипотезы,предпосылки иупрощенияпри формализации модели, чтобы не было умолчаний и была ясна область применимости модели.

1 . Считаем, что канал теплоизолирован или скорость течения так велика, что процесс теплообмена не успевает произойти. Итак, адиабатичность. Одновременно, предполагаем отсутствие трения. Тогда s = const.

2. Канал, в котором движется поток газа (пара) – неподвижен. Тогда техническая работа потока нулевая.

3. Влиянием силы тяжести пренебрегаем, т.к. плотность газа (пара) ничтожно мала по сравнению с плотностью жидкости.

4. Все параметры и характеристики потока в любом сечении канала F(x) одинаковы по радиусу и зависят только от продольной координаты х.

5. Уравнение процесса в каждом сечении F(x) – политропа с показателем n = k.

6. Если рабочее тело в канале – идеальный газ, то параметры состояния еще,кроме политропы, связаны уравнением Клайперона-Менделеева pv = RT, аk= с_р/с_v.