Связь между величиной скорости потока w(X) и размером площади сечения канала f(X).
Из уравнения (5.5) получаем: dp/kp = - dv/v и подставляем вместо dv/v в уравнение (5.4):
dF/F + dw/w + dp/kp = 0.
Далее, из (5.2) находим dp= -dw2/2vи подставляем в предыдущее уравнение:
dF/F + dw/w – w dw/(kpv) = 0.
Из курса физики известно выражение зависимости скорости звука «а» через параметры состояния вещества:
kpv=a2.
А так как р = р(х) и v = v(x) для потока в канале , то а = а(х) и является местной скоростью звука (скоростью распространения возмущений в веществе).
Окончательно, получаем:
dF/F + dw/w – w dw/a2 = 0 → dF/F = - (1 – w2/a2)dw/w → dF/F = - (1 – M2) dw/w. (5.8)
Здесь М≡w/a называют в аэромеханике числом Маха, по имени известного австрийского ученого Х1Х века.
Это уравнение позволяет провести кинематическое исследование движения газа в различных условиях сопряжения со стенками канала в условиях разгона потока (dp < 0 и dw > 0) и в условиях торможения (dp > 0 и dw < 0). Действительно, разгон потока в канале вдоль оси х, это dw > 0. Если на входе в канал (х = 0 см. рис. 5.1) скорость невелика, т.е. меньше скорости звука (w(x = 0)< a), то число Маха М < 1. Следовательно, (см. 5.8) при разгоне дозвукового потока dF < 0. Канал должен сужаться (такой канал называют конфузором).
При зазвуковой скорости потока на входе в канал (w(x = 0) > a и М > 1) получаем dF> 0, т.е. канал должен расширяться (такой канал называют диффузором).
На уравнение (5.8) можно посмотреть и иначе:
dw/w ~ dF/F.
Следовательно, при dF = 0 получаем dw = 0, т.е. в канале постоянного сечения (например, в трубе) скорость потока по длине канала постоянна.
Уравнение (5.8) по существу содержит прямые рекомендации инженерам, которые применяют высокоскоростные потоки в технике. Действительно, для практического получения сверхзвуковых потоков необходимо соединить конфузор (dF < 0) с диффузором (dF > 0). Такое устройство называют соплом(обычно, соплом Лаваля по имени его изобретателя). В химической промышленности эти устройства широко используются в центробежных компрессорах и центробежных расширителях (детандерах). Существуют аппараты для транспортировки газов и паров – инжекторы (нагнетатели газа) и эжекторы, отсасывающие газы из аппаратов. И, конечно, сопла используют в ракетной технике и авиации, как основной элемент ракет и двигателей для самолетов сверхзвуковой авиации.
На рис 5.4 представлена форма сопла Лаваля и качественное изменение параметров состояния газа (пара) вдоль сопла.
Рис. 5.4. Форма сопла Лаваля и качественное изменение
параметров состояния потока вдоль сопла.
Связь скорости истечения с давлениями в начале и конце канала.
Эту связь не сложно установить с помощью уравнения (5.2). Если его проинтегрировать в пределах от р1до текущего давления р и перед этим воспользоваться уравнением адиабаты:
pvk = const → p1v1k = pvk → v = v1(p1/p)1/k,
то получим хорошо известный интеграл (см. лекцию 2, формула (2.24)):
w2/2 = ∫vdp = k/(k – 1) [(p/p1)(k – 1)/k – 1] p1v1.
После несложных алгебраических преобразований окончательно получаем искомую связь:
w = [2k/(k– 1)p1v1(1 –β(k – 1)/k)]1/2, м/с, β ≡ p/p1. (5.9)
Здесь, напомним, р = р(х), т.е. текущее давление в канале с координатой х.
Скорость течения потока можно получить и из уравнения (5.3):
w = (2(h1 – h))1/2, м/с. (5.10)
И здесь тоже h = h(x) – энтальпия рабочего тела в канале с координатой х.
Замечание.Если обратить воздействие, т.е. вводить сверхзвуковой поток в канал типа сопло Лаваля, то скорость и кинетическая энергия потока будут убывать, а давление (и потенциальная энергия рабочего тела) будут возрастать (так работает, например, инжектор). Подобное сравнение в термодинамике именуется принципомобращения воздействия.Однако, при любых обстоятельствах течения потока направление изменения скорости и давления противоположны:
d(w2/2) +vdp= 0 →wdw+vdp= 0 →dw/dp= -v/w< 0.