- •1 Розрахунок інтервалів прибуття поїздів та кількості поїздів, що прибувають у парк за 1 годину
- •2 Розрахунок параметрiв розподілення інтервалів прибуття поїздів
- •3 Визначення закону розподілення інтервалів прибуття поїздів
- •4 Визначення параметрів та закону розподілу кількості поїздів, що прибувають на станцію за одну годину
3 Визначення закону розподілення інтервалів прибуття поїздів
Показники функціонування транспортних об’єктів залежать не тільки від параметрів вхідного потоку, а й від закону розподілення інтервалів між подіями у потоці. Для визначення закону розподілення випадкової величини не існує формальних методів, тому на практиці користуються евристичними методами. Їх зміст полягає у тому, що на базі статистичного матеріалу, наприклад гістограми, візуально визначається характер розподілення і висувається гіпотеза про можливий закон. Далі ця гіпотеза за допомогою формальних методів перевіряється і робиться відповідний висновок.
Розглянемо цю методику на прикладі визначення закону розподілення інтервалів прибуття поїздів за даними, приведеними в п.1 і 2. Враховуючи неперервний характер випадкової величини І та форму гістограми (рис.2), висуваємо гіпотезу про можливий закон розподілення – Ерланга з параметром К=2.
Щільність ймовірностей для цього закону (диференціальна функція розподілення) виражається формулою:
Для наочності та можливості візуального порівняння статистичного та теоретичного розподілень потрібно подати функцію у графічному вигляді. Для цього потрібно для будь-яких значень І розрахувати f(I) і побудувати графік відповідної функції. На практиці достатньо розрахувати f(I) на межах розрядів та екстремальних точках функції. Розрахунки f(I) належить подати в табличній формі (табл. 3).
Таблиця 3
За результатами розрахунків будується диференціальна функція f(I) закону Ерланга (рис.3).
Слід мати на увазі, що площа фігури, обмежена кривою f(I), як і гістограми, повинна становити одиницю. Якщо візуально видно, що ця площа значно менша або більша площі гістограми, потрібно заново, більш уважно, виконати розрахунки f(I).
Між графіками теоретичного закону f(I) і статистичного розподілення (гістограмою) завжди мають місце деякі розходження, які пов’язані з випадковими відхиленнями або невірним підбором теоретичного закону. Кількісна оцінка розходження теоретичного і статистичного розподілень може бути визначена з допомогою так званих критеріїв згоди, одним з яких є критерій Пірсона 2 (хі-квадрат).
Критерій Пірсона розраховується за формулою:
де n – кількість спостережень;
с - кiлькiсть розрядiв статистичного ряду;
Pj - теоретична ймовiрнiсть влучання випадкової величини в окремий розряд статистичного ряду;
Вj - статистична ймовірність (частота) влучання випадкової величини в окремий розряд статистичного ряду.
За змістом теоретична ймовірність Pj являє собою площу, обмежену кривою f(I) у межах окремого, яка може бути визначна таким чином:
де a, b - значення випадкової величини лiвої (а) і правої (b) межi розряду;
F(I) - інтегральна функцiя розподiлення випадкової величини відповідного закону.
Функцiя F(I) закону Ерланга виражається формулою:
і для відповідних значень К має наступні вирази:
К=1 |
– |
|
К=2 |
– |
|
К=3 |
– |
|
К=4 |
– |
|
Розрахунки для кожного розряду статистичного ряду подаються у вигляді табл.4.
Таблиця 4
З використанням значень Bj та Pj кожного розряду виконують розрахунки елементів суми у формулі для визначення критерія Пірсона 2, які подаються у вигляді табл.5.
Таблиця 5
При загальній кількості спостережень n=100 і отриманій величині =0,1153 (табл.5) згідно з визначається Критерій Пірсона:
2=1000,1153=11,53
Теоретично обґрунтовано, що 2 є випадковою величиною з відповідним законом розподілення, для якого розраховані ймовірності Р(2) і приведені в спеціальних таблицях Р=f(2;r) [2] або 2= f(Р;r), фрагмент останньої подано в табл. 6.
В табл. 6 приведені значення з відповідними ймовірностями їх перевищенняР(2 >) у залежності від кількості степеней свободиr. Величини Р являють собою ймовірність того, що відхилення теоретичного і статистичного розподілень є чисто випадковим. При малій ймовірності (на практиці Р<0.1) відхилення не можна вважати випадковими. При Р>0.1 відхилення вважаються несуттєвими і ними можна нехтувати, тобто висунута гіпотеза про відповідний закон розподілення вважається дійсною.
Т
р
P
r |
0.95 |
0.90 |
0.80 |
0.70 |
0.50 |
0.30 |
0.20 |
0.10 |
0.05 |
4 |
0.711 |
1.064 |
1.649 |
2.20 |
3.36 |
4.88 |
5.99 |
7.78 |
9.49 |
5 |
1.145 |
1.610 |
2.34 |
3.00 |
4.35 |
6.06 |
7.29 |
9.24 |
11.07 |
6 |
1.635 |
2.20 |
3.07 |
3.83 |
5.35 |
7.23 |
8.56 |
10.64 |
12.59 |
7 |
2.17 |
2.83 |
3.82 |
4.67 |
6.35 |
8.38 |
9.80 |
12.02 |
14.07 |
8 |
2.73 |
3.49 |
4.59 |
5.53 |
7.34 |
9.52 |
11.03 |
13.36 |
15.51 |
Кількість степеней свободи визначається як:
r = с – S – 1
де S - кількість зв’язків теоретичного і статистичного розподілень;
с - кiлькість розрядiв статистичного ряду.
Під зв’язками розуміють параметри теоретичного розподілення, числові значення яких приймають зі статистичних даних. Наприклад, в закон Ерланга входять параметри М[І] та D[І], тобто S=2.
Для статистичного ряду, який має с= 8 розрядів знаходимо:
r = 8 – 2 – 1 = 5
По табл. 6 для Р=0.1 та r=5 маємо .
Таким чином, розрахункове значення 2 =11,53 більше від (11,53>9.24) і гіпотеза про розподіл випадкової величини інтервалу прибуття за законом Ерланга з параметром К=2 суперечить дослідним даним.