Лабораторна робота №5 Тема: обчислення множинних і часткових коефіцієнтів кореляції

Мета: надбання навичок обчислення множинних і часткових коефіцієнтів кореляції.

1. Основні теоретичні положення

Багатофакторна економетрична модель містить одну результативну ознаку (у) та m факторних ознак (х₁, х₂, …, х_m). Між кожною парою ознак існує кореляційний зв'язок, який можна вимірити кількісно парним коефіцієнтом кореляції

, ;

, .

З цих коефіцієнтів кореляції можна скласти кореляційну матрицю .

Під час побудови цієї матриці керуються таким правилом:

• ознаки нумерують в такому порядку:

у	х1	х2	…	хm ,
1	2	3	…	m+1 ;

Таким чином, i-ому рядку (стовпцю) відповідає (i–1)-а факторна ознака х_i-1;

• на перетинанні i-ого рядка і j-го стовпця розташовують коефіцієнт кореляції між (i-1)-ою і (j-1)-ою ознаками.

Коефіцієнтам кореляції притаманні дві основні властивості:

1. коефіцієнт кореляції ознаки із самою собою дорівнює 1

; .

Дійсно,

.

Аналогічно для ;

2. значення коефіцієнта кореляції не залежить від порядку проходження ознак ;.

Ця властивість випливає з формули коефіцієнта кореляції, у якій зміна порядку проходження ознак призводить до перестановки співмножників, від чого добуток не змінюється.

З цих двох властивостей коефіцієнтів кореляції випливають такі властивості кореляційної матриці:

1. елементи головної діагоналі кореляційної матриці дорівнюють 1;

2. матриця симетрична щодо головної діагоналі, тобто не змінюється при транспонуванні.

Таким чином, в остаточному вигляді кореляційну матрицю можна записати так:

.

Множинний коефіцієнт детермінації визначає частку варіації результативної ознаки (у), що пояснюється варіацією всієї сукупності факторних ознак (х₁, х₂, …, х_m). Обчислюють множинний коефіцієнт детермінації за формулою

, (1)

де – визначник кореляційної матриці;

А_1,1 – алгебраїчне доповнення до елемента матриці, що знаходиться на перетинанні 1-ого рядка і 1-го стовпця.

Алгебраїчне доповнення A_i,j обчислюється за таким принципом

i ,

j

тобто алгебраїчне доповнення A_i,j обчислюється з визначника кореляційної матриці, у якій викреслені i-ий рядок і j-ий стовпець.

Множинний коефіцієнт кореляції R вимірює тісноту кореляційного зв'язку результативної ознаки (у) із усією сукупністю факторних ознак (х₁, х₂, …, х_m)

. (2)

При обчисленні парних коефіцієнтів кореляції передбачається, що вся змінау викликана впливом лише фактора x_k . У дійсності це не так, оскільки на зміну у крім x_k впливають й інші ознаки, тому істинну (справжню) тісноту кореляційного зв'язку між у і кожною з факторних ознак (х₁, х₂, …, х_m) у випадку множинної кореляції вимірюють частковими коефіцієнтами кореляції

. (3)

При обчислення часткових коефіцієнтів кореляції за допомогою Microsoft Excel можна використовувати і метод, що заснований на обчисленні зворотної матриці. Дійсно, якщо

,

деp=m+1, то зворотна матриця буде дорівнювати

,

де . Остання рівність пояснюється симетричністю кореляційної матриці.

Тоді частковий коефіцієнт кореляції

, (4)

що еквівалентно формулі (2), тому що

.

Таким чином, існує два способи обчислення часткових коефіцієнтів кореляції:

1. Обчислення за формулою (3) на основі алгебраїчних доповнень.

2. Обчислення матриці, зворотної до кореляційної матриці, і обчислення за формулою (4).

2. Завдання

Зібрано статистичні дані про попит на одяг, а також про ціни одягу, взуття, побутових товарів і дохід за період 10 місяців (табл. 1).

Таблиця 1

Попит на одяг, ціна одягу, ціна взуття, ціна побутових товарів і дохід

Час, t	Ціна одягу, х1, грн.	Ціна взуття, х2, грн.	Ціна побутових товарів, х3, грн.	Доход, х4, грн./міс.	Попит на одяг, у, шт./рік
1	130	70	10	220	1,8·(1+0,1N)
2	110	80	12	210	1,6·(1+0,1N)
3	90	95	15	200	0,5·(1+0,1N)
4	130	75	10	230	1,9·(1+0,1N)
5	120	60	13	240	2,3·(1+0,1N)
6	105	70	16	270	2,6·(1+0,1N)
7	125	65	19	260	1,9·(1+0,1N)
8	140	90	20	300	1,6·(1+0,1N)
9	130	100	18	290	1,7·(1+0,1N)
10	150	80	17	330	2,7·(1+0,1N)

Необхідно установити ступінь сукупного впливу цін і доходу на попит (обчислити множинний коефіцієнт кореляції і множинний коефіцієнт детермінації, визначити значущість множинного коефіцієнта кореляції), а також ступінь впливу на попит на одяг кожної факторної ознаки окремо (обчислити часткові коефіцієнти кореляції двома способами).

Проаналізувати отримані результати і зробити висновки.

2. Порядок виконання роботи

3.1. Обчислити множинний коефіцієнт детермінації R², множинний коефіцієнт кореляції R та оцінити його значущість:

• за допомогою убудованої функції КОРРЕЛ(…) (категорія «Статистичні» майстра функцій) обчислити парні коефіцієнти кореляції: ;

• з парних коефіцієнтів кореляції скласти кореляційну матрицю;

• знайти визначник кореляційної матриці за допомогою убудованої функції МОПРЕД(…) (категорія «Математичні» майстра функцій);

• знайти алгебраїчне доповнення А_1,1 за допомогою убудованої функції МОПРЕД(…) (категорія «Математичні» майстра функцій);

• обчислити множинний коефіцієнт детермінації R² (формула 1);

• обчислити множинний коефіцієнт кореляції R;

• обчислити помилку множинного коефіцієнта кореляції;

• обчислити коефіцієнт надійності множинного коефіцієнта кореляції.

2. Обчислити часткові коефіцієнти кореляції ,,,двома способами.

3.2.1. Спосіб 1:

• знайти алгебраїчні доповнення А_1,2 А_1,3 А_1,4 А_1,5 А_2,2 А_3,3 А_4,4 А_5,5 за допомогою убудованої функції МОПРЕД(…) (категорія «Математичні» майстра функцій);

• обчислити часткові коефіцієнти кореляції (формула 3).

3.2.2. Спосіб 2:

• обчислити матрицю, зворотну до кореляційної матриці, за допомогою убудованої функції МОБР(…) (категорія «Математичні» майстра функцій);

• обчислити часткові коефіцієнти кореляції (формула 4).

2. Проаналізувати результати і зробити висновки.

3. Звіт з лабораторної роботи повинен містити

• вихідні дані;

• результати обчислень парних коефіцієнтів кореляції;

• результати обчислень множинного коефіцієнта кореляції і детермінації;

• результати обчислень часткових коефіцієнтів кореляції двома способами;

• висновки.

3. Приклад обчислення множинних і часткових коефіцієнтів кореляції

Для сільськогосподарського регіону обчислюється виробнича функція за даними за 10 років (n=10). Факторні ознаки моделі х₁ – основні засоби, х₂ – трудові ресурси, х₃ – земельні ресурси; результативна ознака у – валова продукція регіону.

За звітними даними розраховані парні коефіцієнти кореляції .

Необхідно установити ступінь сукупного впливу перерахованих факторних ознак на величину валової продукції сільськогосподарського регіону (обчислити множинний коефіцієнт кореляції і детермінації, визначити значущість множинного коефіцієнта кореляції), а також ступінь впливу на результативну ознаку кожної з факторних ознак окремо (обчислити часткові коефіцієнти кореляції).

5.1. Обчислюємо множинний коефіцієнт детермінації R², множинний коефіцієнт кореляції R та оцінимо його значущість:

• за вихідними даними складемо кореляційну матрицю

;

• за допомогою убудованої функції МОПРЕД(…) (категорія «Математичні» майстра функцій) знайдемо визначник кореляційної матриці = 0,3869;

• за допомогою убудованої функції МОПРЕД(…) (категорія «Математичні» майстра функцій) знайдемо алгебраїчне доповнення А_1,1 = 0,872;

• розрахуємо множинний коефіцієнт детермінації

.

• обчислимо множинний коефіцієнт кореляції 0,746;

• обчислимо помилку множинного коефіцієнта кореляції

;

• обчислимо коефіцієнт надійності множинного коефіцієнта кореляції

.

Висновок: 55,6% варіації валової продукції сільськогосподарського регіону обумовлено варіацією ресурсів, що враховані в даній моделі, а 44,4% – впливом неврахованих факторів. Щільність кореляційного зв'язку сильна, тому що R>0,7. t_табл = 2,45 (при ). Розрахункове значення статистики Ст’юдента більше табличного, тому множинний коефіцієнт кореляціїR є значущим.

5.2. Розрахуємо часткові коефіцієнти кореляції двома способами.

1. Розрахуємо часткові коефіцієнти кореляції першим способом:

• за допомогою убудованої функції МОПРЕД(…) (категорія «Математичні» майстра функцій) знаходимо алгебраїчні доповнення:

А_1,2 = -0,196; А_1,3 = -0,337; А_1,4 = -0,397; А_2,2 = 0,47; А_3,3 = 0,534; А_4,4 = 0,62.

• розрахуємо часткові коефіцієнти кореляції (формула 3):

;

;

.

1. Розрахуємо часткові коефіцієнти кореляції другим способом:

• за допомогою убудованої функції МОБР(…) (категорія «Математичні» майстра функцій) обчислюємо матрицю, зворотну до кореляційної матриці

;

• обчислимо часткові коефіцієнти кореляції (формула 4):

;

;

.

Висновок: часткові коефіцієнти кореляції в даному прикладі виявились менше парних коефіцієнтів кореляції, тому що враховують вплив на результативну ознаку (валову продукцію) тільки одного з ресурсів. Тобто дійсна сила взаємозв’зку між валовою продукцією та ресурсами дещо менша та відповідає середньому ступеню зв’язку.