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Национальный горный университет

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[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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Высшая математика. Том 1

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= 5 − 1 C2 + C3 + 5 C4 , 2 6

C1,C2 ,C3 ,C4 – . + ’ :

+ C3 +

5C4

5 −

X = x3 =

−2 −

2C4

& 2. + ’ :

x1 + x2 + 2x3 − x4 = 3,

2x1

− x2

+ 3x3

+ 4x4

= −1,

+ x

= 6,

= −3.

5x1

− x2

3x3

+ 2x4

, + :

−1

A* = 2

−1 3 4

−1 .

−1 3 2

−3

(−2) ,

, (−4) , -

, (−5) :

	1	1	2	−1	3

A* = 0		−3	−1	6	−7 .
	0	−3	−1	6	−6
	0	−6	−7 7		−18

9 :

	1	1	2	−1	3

A* = 0		−3	−1	6	−7 .
	0	0	0	0	1
	0	−6	−7 7		−18

" : ,

. - , , ’ . 9: X = ./

	2x1		− x2 + 3x3			− x4	= 1,
& 3.	3x1		+ 2x2		− x3	+ x4	= 2,
	1’ 2x		+ x	+ 2x		− 3x		= 1,

		1	2		3	4		= 2.
	4x		− 2x	2	− x	− 3x
		1			3	4

101

, + :

	2	−1	3	−1			1

A* = 3		2	−1	1			2 .
	2	1	2	−3			1
	4	−2	−1	−3			2

& ,				−	3	, (−1) ,		(−2) , -

				2

, :

																						2		−1					3					−1			1
														A* =								0	7					−11						5			1
														A* =										2					2					2			2	.
																						0		2				−1						−2			0
																					0			0				−7						−1			0
																																								−	4
! ,																																										. - :
! ,																																									7	. - :
																																									7
																				2			−1					3						−1			1
																				0			7				−11		2					5			1
											A* =												2				15		2					2			2
											A* =								0 0								15						−24				−2	7		.
																							0					7						7				7
																			0				0					−7						−1			0
! ,																																								49
																																											:
																																											:
																																								15
																			2			−1						3					−1				1
																			0			7				−11						5					1
										A* =													2					2						2			2
										A* =							0 0							15								−24					−2			.
																			0				0					7						7				7
																			0				0					0				−61				−14
																																		5				15
+ :
					2x1 − x2 + 3x3 − x4 = 1,
					7			x −	11				x			+			5		x =			1		,						2x1 − x2					+ 3x3 − x4 = 1,


					2			2	2				3						2			4		2								7x −					11x + 5x = 1,
								15									24							−2											2			3				4
											x				−						x		=				,									15x			− 24x					= −2,
											x				−						x		=				,									15x			− 24x					= −2,
								7					3						7			4		7													3					4
								7											7					7															183x4 = 14.
																−61 x4 =								−14 .															183x4 = 14.
																−61 x4 =								−14 .
																	5							15
+ :
			14							24x4 −									2				24		14			− 2					8	14	− 122							2		5			2
																							24					− 2
x4	=				,			x3 =													=			183						=								= −							= −			,
x4	=	183			,			x3 =					15								=			15						=				61	15			= −			183 5				= −			,
		183											15											15										61	15						183 5					183
			−	11 2		−	5 14			+		1						−22				− 70 +					183					91					13
			−			−				+		1
x2	=		183					183						=															=							=			,
x2	=	7												=								183		7					=							=			,
		7																				183		7							7 183 183

102


x =	1 + x2 − 3x3 + x4			=	183 + 13 + 6 + 14				=	216	=	108	.
x =				=					=		=		.
1	2						183 2			2 183	183
	2						183 2			2 183	183
	x1					108
	x	=	1				13
9: 2							−2	./
9: 2			183					./
	x3		183
	x						14
	4

/$" ' 3. . , ’ -

2, ? -

. # , $ - $ . . ’

. !

. 0$ , -

. 2

? -6.; > &%19@ -3

. +

& 4. + 5 ’

’ :
x1 + x2 − x3 + 2x4				− x5 = 0,
2x1 − x2 − x3			− x4	+ 2x5 = 0,
−5x + 7x + x + 10x − 11x = 0,
− x + 5x − x + 8x − 7x = 0.
1		2	3		4	5
1		2	3		4	5
, 6 :
1		1	−1		2	−1		0

	2 −1 −1				−1	2		0
A* =	−5	7	1		10	−11		0

	−1 5		−1			−7
					8		0

& (–2), 5 1 , ,

, . - :

1		1	−1	2	−1	0

	0	−3	1	−5	4	0
A* =	0	12	−4	20	−16	0	.

			−2		−8
0		6		10		0

! 4 2 , ,

. - :
1		1	−1	2	−1	0

	0	−3	1	−5	4	0
A* =	0	0	0	0	0	0


0		0	0	0	0	0

103

& ? . 9 -

rang A = rang A*=2	1	1	. + -
	0	−3

’ 5 -

n .

’ : n–rang A = 5–2=3.

& :

{x1 + x2 − x3 + 2x4 − x5 = 0,

−3x2 + x3 − 5x4 + 4x5 = 0.

x1 x2 ,

{x1 + x2 = x3 − 2x4 + x5 ,

−3x2 = −x3 + 5x4 − 4x5.

- 5 ’ -

, $ . ! x3 , ,

1, – . - ,

’ 5 . ! x4

1, – , ’ 5-

. .

• & x3 = 1, x4 = 0 , x5 = 0 . - -

:	x =	x3 − 5x4 + 4x5	=	1 − 0 + 0	=	1	. +

	2	3	3		3

: x = − x		+ x	− 2x	+ x = −	1	+ 1 − 0 + 0 =	2	.

1	2	3	4	5	3	3

& ’ 5 :

• & x4 = 1, x3 = 0 , x5 = 0 .

		2
		3
		1
X1	=	3	.
		1
		0
		0
		0
		0

- :


x =	x3 − 5x4 + 4x5			=	0 − 5 + 0				= −	5	.
x =				=					= −		.
2		3				3			3
		3				3			3
+ :
x = − x + x − 2x + x =							5	+ 0 − 2 + 0 = −				1	.
x = − x + x − 2x + x =								+ 0 − 2 + 0 = −					.
1	2	3	4	5		3			3
						3			3

104

																	− 1
																	− 5	3
																	− 5
! ’ 5 ’ : X 2															=			3	.
! ’ 5 ’ : X 2															=		0		.
																	0
																	1
																	1
																	0
																	0
• & x5 = 1,					x3 = 0 ,				x4 = 0 .
- :
x =	x3 − 5x4 + 4x5			=		0 − 0 + 4				=	4	.
x =				=						=		.
2		3					3		3
		3					3		3
+ :
x = − x + x − 2x + x = −								4	+ 0 − 0 + 1 = −				1	.
x = − x + x − 2x + x = −									+ 0 − 0 + 1 = −					.
1	2	3	4		5		3		3
							3		3							− 1
																− 1
																	3
																4
. ’ 5 ’ : X3 =																	3	.
																	0
																	0
																	0
																	1
																	1

7 ’ . + ’

X = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3

9: 7 ’ :

		2								− 1				− 1
				3						3				3
			1							− 5				4
X1	=			3		,	X	2 =		3	, X3		=	3		.
X1	=			1		,	X	2 =		0	, X3		=	0		.
										1				0
				0						1				0
										0				1
				0						0				1
	x1							2			− 1				−	1
	x1								3			3				3
	x							1			−	5		4
			2						3		−	3				3
									3			3				3
+ ’ :					= C1			1		+ C2		0	+ C3			0	.
+ ’ :	x3				= C1			1		+ C2		0	+ C3			0	.
	x4															0
	x4							0				1				0
	x															1
			5					0				0				1

1’ - 5-

. . 5 -

’ :

105

		2				−1				−1
		1				−5				4
′		1		′		−5		′		4
′	=	3	, X	′	=	0	, X	′	=	0	.
X1	=	3	, X	2	=	0	, X	3	=	0	.
		0				3				0
		0				3				0
						0
		0				0				3

+ ’ :
x1			2			−1			−1
x				1			−5			4
	2
x3		= C1		3	+ C2		0	+ C3		0	./
x				0			3			0
	4
x				0			0			3
	5

2.21. "$ " , 2.6

6 ’ ,

+ 5 ’ :

	3	1 −4 2							1					7	2			−1 −2						2
	3	1 −4 2							1					7	2			−1 −2						2
1.	2	−2 −3		−7					2			2.		1	−3 1				−1							−1
	1	11 0 34									−5			2	3							2 1		1
	1	1	10				1				−1			6 −9 21 −3															−12
	1	1	10				1				−1			6 −9 21 −3															−12
3.	5	−1 8		−2							2		4.	−4 6				−14 2										8
	3	−3	−12	−4							4			2	−3 7								−1							−4
	2	−1 2 −1					1							5	−2 9 −4											−1
	2	−1 2 −1					1							5	−2 9 −4											−1
5.	1	10	−3	−2						−1		6.		1	4			2 2							−5
	4	19	−4	−5						−1				6	2			11	−2						−6
	12 −1 7 11									−5				1	2	1 4				1
	12 −1 7 11									−5				1	2	1 4				1
7.	24	−2 14		22							−2		8.	2	1			3	1		−5
	1 1 1			−1						2				1	3		−1 6					−1
	2	3	3 −3			−1								1	2	−1 1						−1
	2	3	3 −3			−1								1	2	−1 1						−1
9.	1	6	−1	1				2				10.		1	1			2	−1				1
	1	16	−6 6		7									2	3	1 0						0
	8	1	1 −1				2							1	3			−1 12									−1
	8	1	1 −1				2							1	3			−1 12									−1
11.	3	−3	−2	1						−3		12.		2	−2			1	−10									1
	5	4	3	−2			5							3	1			0	2									0
	7	−14 3 −1				1								1	2			3 1							−1
	7	−14 3 −1				1								1	2			3 1							−1
13.	1	−2 1		−3				7					14.	2	−2			−6	−4							1
	5	−10 1 5								−13				3	−2 3 3												−1

106

	1		1	1		−1						−1								2		2 −2 1													−3
	1		1	1		−1						−1								2		2 −2 1													−3
15.	2		1	−2		−1					−2							16.		3		−1		2		−1								2
	1		2	5		−2						−1								1		−3 4				−2								5
	1 2 −3 10															−1					2	1 −1 7											5
	1 2 −3 10															−1					2	1 −1 7											5
17.	−1		−2		3			10					1					18.			1	−2		3		−5									−7
	1 6				−9 30										−3						3	−1 2 2													−2
	2		−2 −3 −7											2						3		1		−8 2							1
	2		−2 −3 −7											2						3		1		−8 2							1
19.	1		11		0			34									−5		20.	1		11	−12			0									−5
	1		−5		−2		−16							3						1		−5 2 1									3
	1		3	−5 9								−1								5		2	−1 3				4
	1		3	−5 9								−1								5		2	−1 3				4
21.	2		7	−3			−7					2						22.		3		1	−3		3		5
	1		4	2		−16						3								6		3	−2 4				5
	3		2	−2 −1						4										6		3	−2 4						7
	3		2	−2 −1						4										6		3	−2 4						7
23.	7		5	−3		−2					1							24.		7		4	−3		2						4
	1		1	1 0							−7									1		1	−1		−2						−3
	3		−5 2				5													1		1	3		−2			3
	3		−5 2				5													1		1	3		−2			3
25.	7		−4		1			3										26.		2		2	5		−1			3
	5		7		−4		−9													1		1	4		−5			6
	1	2 3 −2							1											6		3	2		3	4
	1	2 3 −2							1											6		3	2		3	4
27.	1		2	7	−4				1									28.		4		2	1		2	3
	1	2 11 −6							1											2		1	1		1	1
	3		2	4		1		2													1	1		1		2					1
	3		2	4		1		2													1	1		1		2					1
29.	3		2	−2		1		0										30.			1	−2		−3		1						−1
	3		2 16 1					6													2	−1		−2 3						0
	1		−1		1		−2				1
	1		−1		1		−2				1
31.	1		1	−2			−1				2
	1		−3		4		−3				0

2.22. "$ " , 2.7

6 ’ ,

+ 5 ’ ’

	1	2	−2	−3	4		1	−4 2		0 3				5
	1	2	−2	−3	4		1	−4 2		0 3				5
1.	2	5	−1 −4		9	2.	2	−7	4	1		0		9
	1	3	1	−1	5		1	−3 2		1		−3		4
	1	2	−3	−4	1		1	−5	3		4		0		4
	1	2	−3	−4	1		1	−5	3		4		0		4
3.	3	7	−2	−1	4	4.	2	−9	2		0		1		7
	2	5	1	3	3		1	−4	−1 −4 1						3

107

	1	3	−1 −2						1										1	1	4 0 2					0
	1	3	−1 −2						1										1	1	4 0 2					0
5.	2	7	−4	−3					3							6.			3	4	1 3 0					1
	1	4	−3	−1					2										2	3	−3 3			−2		1
	1	−2 2 3				0													1	−1 4 3 0												0
	1	−2 2 3				0													1	−1 4 3 0												0
7.	2	−3 1 4				1										8.			3	−2 1 0 2												1
	3	−5 3 7				1													2	−1 −3			−3 2									1
	1	−2 2 3						0											1	−3 4 0 3											2
	1	−2 2 3						0											1	−3 4 0 3											2
9.	3	−5	1	4				1								10.			3	−8	1		2	0							5
	2	−3	−1 1					1											2	−5	−3 2			−3							3
	1	−3 1 2				4													1	−1 3 4 0														0
	1	−3 1 2				4													1	−1 3 4 0														0
11.	2	−5	4	3			7									12.			4	−3	1		0	2										1
	1	−2 3 1				3													3	−2	−2 −4 2													1
	1	4	−2 −3						2										1	−2 3 0 4										1
	1	4	−2 −3						2										1	−2 3 0 4										1
13.	2	9	−1	−4					5							14.			4	−7	2	1		0						3
	1	5	1	−1					3										3	−5	−1 1			−4						2
	1	−1 3 4			0														1	1	−3	−4 0								1
	1	−1 3 4			0														1	1	−3	−4 0								1
15.	2	−1	2	1			1									16.			4	5	−2	0		−1						3
	4	−3 8 9			1														3	4	1 4			−1						2
	1	−4 2 3								5									1	2	−2 0 −3												4
	1	−4 2 3								5									1	2	−2 0 −3												4
17.	2	−7	4	1						9						18.			2	5	−1	−4		0									9
	1	−3 2		−2						4									1	3	1	−4 3											5
	1	−5 3 4											4						1	2	−3 −4 0						1
	1	−5 3 4											4						1	2	−3 −4 0						1
19.	2	−9	2	1									7					20.	3	7	−2	0		1				4
	1	−4	−1	−3									3						2	5	1 4 1						3
	1	1	4 2		0														1	3	−1 0 −2												1
	1	1	4 2		0														1	3	−1 0 −2												1
21.	3	4	1	3			1									22.			2	7	−4	−3		0									3
	2	3	−3 1		1														1	4	−3	−3 2											2
	1	−1 4 3										0							1	−2 2		3 0			0
	1	−1 4 3										0							1	−2 2		3 0			0
23.	3	−2	1	2								1					24.		2	−3	1	0		4	1
	2	−1	−3	−1								1							3	−5 3		3 4			1
	1	−3 4 3									2								1	−2 2 0 3									0
	1	−3 4 3									2								1	−2 2 0 3									0
25.	3	−8	1	2							5						26.		3	−5	1	4		0					1
	2	−5	−3	−1							3								2	−3	−1 4			−3					1
	1	−1 3 4													0				1	−3 1 2 0							4
	1	−1 3 4													0				1	−3 1 2 0							4
27.	4	−3	1	2											1			28.	2	−5	4	0		3				7
	3	−2	−2	−2											1				1	−2 3		−2 3					3
	1	−2 3 4												1					1	4	−2 0 −3												2
	1	−2 3 4												1					1	4	−2 0 −3												2
29.	4	−7	2	1										3				30.	2	9	−1	−4		0									5
	3	−5	−1	−3										2					1	5	1	−4 3											3
	1	1	−3	−4					1
	1	1	−3	−4					1
31.	4	5	−2	−1					3
	3	4	1	3					2

108

1.+ ?

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6." ’ 2-

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