Высшая математика. Том 1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный горный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

= 0 (3 − λ )−(2 − λ )(4 − λ ) − 1. = 0 .

(3 − λ )(6 − 6λ + λ 2 − 1) = 0 (3 − λ )

(λ 2 − 6λ + 5) = 0 .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2015

Размер:

1.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1716 17 > Следующая >>>

																		yi	= f (x1 ,x2 , ,xn ).											/			,
				,					L(x1 ,x2 , ,xn )
L1 ( y1 ,y2 , , yn ) .

	( , -
L( x ,x		) = 2x2 − 6x x + 10x2 .
1	2		1			1	2			2
	4								-
							( x1 ,x2 ):
							2										2		−	2						3		!		3		!2				2			3		!2 .
		L( x1 ,x2 ) = 2x1						−	6x1x2 + 10x2									=	2 4 x1 −		2x1						x2	#	+			x2 # + 5x2					−			x2	#	5 =
		L( x1 ,x2 ) = 2x1						−	6x1x2 + 10x2									=	2 4 x1 −		2x1					2	x2	#	+			x2 # + 5x2					−		2	x2	#	5 =
																			4							2		%		2		%							2		%	5
																			0																							2
		−			3			!2					9			!	2 .						3			!2			11		2
		= 2 4 x1		−		x2		#	+	5	−					# x2		5 = 2 x1			−				x2 #		+				x2 .
		= 2 4 x1		−	2	x2		#	+	5	−					# x2		5 = 2 x1			−		2		x2 #		+		2		x2 .
		4			2			%					4 %					5					2			%			2
		0																2																3
	' y																															= x −		3	x	;	y		= x .
	' y																															= x −			x	;	y		= x .
																															1	1	2			2		2			2
	#
, :
			L	( y , y				) = 2 y2							+	11	y2 .
			L	( y , y			2	) = 2 y2							+		y2 .
			1		1		2				1					2		2
																2										!2
										2		11					2					3				!2		11			2
	#:							2 y1 +								y2		=	2	x1 −				x2		#	+			x2		=
	#:							2 y1 +					2			y2		=	2	x1 −		2		x2		#	+		2	x2		=
													2									2				%	20		2
			2						9	2	!			11			2			2							20		2			2								2
		= 2 x1 − 3x1x2						+		x2	#	+					x2 =		2x1 − 6x1x2							+			x2		= 2x1 − 6x1x2						+ 10x2 .5
		= 2 x1 − 3x1x2						+	4	x2	#	+				2	x2 =		2x1 − 6x1x2							+	2		x2		= 2x1 − 6x1x2						+ 10x2 .5
									4		%					2											2

% " –

, . '-

) ) , L( x1 ,x2 , ,xn ) :

			λ1		0		0 ! y1		!
								#	#
L = ( y1		y2	yn )	0	λ2		0	# y2	#	,
								#	#
			#						#
			0 0 λn % yn %
	λ1 ,λ2 , ,λn –							) ) ,,
y1 , y2 , , yn – ) ) ,.
% L = Y						T
% L = Y						AY ,
		) ) , , ))
	A –	) ) , , ))

, Y – – ,

) ) ,.

151

/ , , : L( y1 , y2 , , yn ) = λ1 y12 + λ2 y22 +, ,λn yn2 . # -

: y1 = y2 =, ,= yn = 1.

( , -

L( x ,x ) = 2x2 − 6x x + 10x2 .
		1	2	1	1	2	2
	4 &				) ) ,. :) -
			, , 2, 10, -
–							, ) ,,
	2	−3!
A =	−3	# .
	−3	10 %

+ #:

A − λ E

2 − λ

−3

= 0

−3

10 − λ

(2 − λ )(

10 − λ ) − (−3)(

−3) = 0 ,

20 − 2λ − 10λ + λ 2 − 9 = 0 .

’ :

−λ 2

− 12λ + 11 = 0. &

[λ = 1; λ = 11]

& :

x1 = C1

λ1 = 1: x1 − 3x2 = 0

x1 − 3x2 = 0 &

C & y1 = C1

# .

−3x1 + 9x2 = 0

− x1 + 3x2 = 0

x2 =

3 %

$ ) C1 y1

	y = C 12 + ( 1				)	2			10							9					9		1		!					3	! .
							=		10	C		= 1& C =				9		.		y =	9		1		# =			10		3
							=			C		= 1& C =						.		y =					# =
1		1		3				9			1		1		10					1	10				#						#
								9							10						10			3 %			10 1%
λ = 11:			−9x1	− 3x2 = 0					3x1 + x2 = 0											x1 = C2				& y					= C		1	!	.
λ = 11:				− x	= 0			&					= 0	&										& y					= C				.
2			−3x	− x	= 0				−3x − x				= 0				x2			= −3x = −3 2						2		2		−3#
			1	2								1	2							1												%
0 C2 y2 :
						2											1				1			1	!						1	!
						2																		1	!						1	!
	y2	= C2 12 + (−3)					= 10C2					= 1& C2 =							.	y2 =					#	=		10				# .
	y2	= C2 12 + (−3)					= 10C2					= 1& C2 =							.	y2 =					#	=						# .
															10							10		−3%		10		10 −3%
'														:									y =			10			(3x + x				),
'														:									y =						(3x + x				),
																							1		10			1				2
																									10

152

y		=	10	( x − 3x						) .
y	2	=		( x − 3x						) .
	2		10			1		2
			10
			#
, :
																L		( y ,y		)	= y2		+ 11 y2 .
																	1	1	2			1		2
			#: y2									+ 11 y2		= 1		−		10	(3x + x				).2	+ 11−			10		( x − 3x			)	.2		=
			#: y2									+ 11 y2		= 1		4			(3x + x				).2	+ 11−					( x − 3x			)	5		=
											1		2			4	10			1		2	5	4			10		1		2		5
																0	10						2	0			10			6 − 66			2
			=		1		(9x2		+ 6x x				+ x2 )	+	11	(x		2 − 6x x				+ 9x2 ) =			20	x2		+		6 − 66	x x			+		100	x2	=
			=				(9x2		+ 6x x				+ x2 )	+		(x		2 − 6x x				+ 9x2 ) =				x2		+			x x			+			x2	=
			10					1			1	2	2	10			1		1	2			2	10			1		10		1		2		10		2
			= 2x2					− 6x x + 10x2 5
						1				1	2		2

3.29. , " # - 3.8

+ ’ , ))

) .

& , L( x1 ,x2 )

- .

1.	3x2	+ 2x x + 2x2					2.	2x2	− 2x x + 2x2
	1		1	2		2		1		1	2		2
3.	−2x2		− 2x x − 2x2				4.	−3x2		+ 4x x − 3x2
		1		1	2	2			1		1	2	2
5.	4x2	− 2x x + 5x2					6.	6x2	+ 4x x + x2
	1		1	2		2		1		1	2		2
7.	4x2	+ 2x x + 4x2					8.	3x2	+ 2x x + 4x2
	1		1	2		2		1		1	2		2
9.	3x2	− 2x x			+ 3x2		10.	8x2	+ 4x x			+ 4x2
	1		1	2		2		1		1	2		2
11.	3x2	+ 2x x			+ 2x2		12.	−4x2		+ 6x x			− 8x2
	1		1	2		2			1		1	2	2
13.	6x2	− 4x x			+ 8x2		14.	4x2	+ 4x x			+ 6x2
	1		1	2		2		1		1	2		2
15.	2x2	− 5x x			+ 4x2		16.	−4x2		+ 4x x			− 2x2
	1		1	2		2			1		1	2	2
17.	3x2	+ 6x x			+ 4x2		18.	−3x2		+ 4x x			− 3x2
	1		1	2		2			1		1	2	2
19.	5x2	− 8x x			+ 5x2		20.	−4x2		+ 6x x			− 6x2
	1		1	2		2			1		1	2	2
21.	3x2	− 4x x			+ 5x2		22.	2x2	− 8x x			+ 10x2
	1		1	2		2		1		1	2		2
23.	−4x2		+ 2x x			− 3x2	24.	6x2	− 6x x			+ 4x2
		1		1	2	2		1		1	2		2
25.	−4x2		+ 6x x			− 5x2	26.	4x2	+ 4x x			+ 6x2
		1		1	2	2		1		1	2		2
27.	4x2	+ 2x x			+ 4x2		28.	8x2	+ 4x x			+ 4x2
	1		1	2		2		1		1	2		2
29.	6x2	− 4x x			+ 8x2		30.	−3x2		+ 4x x			− 3x2
	1		1	2		2			1		1	2	2
31.	6x2	+ 4x x			+ x2
	1		1	2		2

153

( , L( x1 ,x2 , ,xn )

3.30. # 1 " 1 & )

' , -

, ) .

(# 1 & )). * -

( ) , ) ) ,

, -

, .

/, , ,

L	( y , y		) = 2 y2		+	11	y2	L	( y , y	2	) = y2	+ 11 y2 .
		2
1	1			1	2		2	2	1		1	2

! , , -
,.
+ , ) ,,
) ,,				, -

) , .

( , ,

, L(x1 ,x2 , ,xn ) > 0 .

’' ,

,
L(x1 ,x2 , ,xn ) < 0 .
/, , ,	L = 3x2		+ 4x2		+ 9x2		-
	1	1		2		3

, , - ,

. 0 , L	= − x2	+ 2x x			− x2		– ’					,
2	1	1	2			2				+ x2 ) = − ( x − x
)) )				L		= − (x2		− 2x x		+ x2 ) = − ( x − x			)2
					2		1	1	2	2	1	2

- .

# % " & . $

, L( x1, x2 , , xn ) ( ’') -, , λi , # -

( ).

%, , ) ) ,-

, )

, +.

. ". $ ,

, , , )

, , M1 > 0, M2 > 0, , Mn > 0 , :

154

	a11	a12	a1n
	a11	a12	a1n
Mn =	a21	a22	a2n	.

	an1	an2	ann

8 n- ) .

+ , ’ ,

, « »

( ’ , -

’' , ,. $ )

, ,

	3.2.
					/ 3.2
	,

;		&		& -
;		-		-
/		-		) ) ,
/		-		) ) ,
		) ,		(i = 1,2,…, n)
1.	$	λi	> 0	Mi	> 0
2.	"’	λi	≥ 0	Mi	≥ 0

3.	’	λi	< 0	Mi < 0 i
				Mi > 0 i
4.	"	λi	≤ 0	Mi ≤ 0 i
				Mi ≥ 0 i
5.	&	-		-

# 1. ' ) ,:

			L(x ,x ,x			) = x2	+ 4x2			+ 3x2	+ 2x x
			1	2	3	1	2			3	1	2
4 2- ( )
&			) , )) :
	2	1	0!						2 − λ		1	0
	2	1	0!						2 − λ		1	0
A =	1	4	0## .			A − λ E		=	1		4 − λ	0	= 0 .
	1	4				A − λ E		=	1		4 − λ	0	= 0 .

0		0	3%#							0	0	3 − λ

155

# ’ λ1 = 3 . ’ -

λ2 = 5; λ3 = 1.

/ ’ # ,

) , L( x1 ,x2 ,x3 ) – -

" ( ' )

& #:


			2	1	0!
A =			1	4	0##
	0			0	3%#
	2	= 2 > 0 .
	2	= 2 > 0 .

& #:

			2 1			= 8 − 1 = 7 > 0 .
			1	4
& #:
	2	1	0		= 3		2 1		= 3 7 = 21 > 0 .


	1	4	0
	0	0	3				1	4
	0	0	3
/ # , +-
,		L( x ,x ,x ) . 5
		1	2	3

# 2. & , L( x1 ,x2 ,x3 ) -

- :

) – +;) – )

) ,:

L(x1 ,x2 ,x3 ) = 2x12 + 4x1x2 + 2x1x3 + 3x22 − 4x2 x3 − 3x32 .

4 ) ) ) ,

+. $ ) )

	2	2	1 !
A =	2	3	−2 ## .
1		−2	−3%#

156

& #:

								2		= 2 > 0 .
								2		= 2 > 0 .
& #:
						2	2		= 6 − 4 = 2 > 0 .
						2	2		= 6 − 4 = 2 > 0 .
						2	3
& #:
	2	2	1		0	6	7					6 7


	2	3	−2	=	0	7			4		= 1			= 24 − 49 = −25 < 0 .
	1	−2	−3		1	−2 −3						7	4
	1	−2	−3		1	−2 −3

' -
, + , L(x ,x ,x )
.																																												1	2	3
.
) ) , –
.
) ) x1 :
	−	2								x3		!						x3		!2 .																	x3	!2			2				2
L( x1 ,x2 ,x3 ) = 2 4 x1			+ 2x1 x2 +									#			+ x2 +					#		5		− 2 x2											+			#		+	3x2			− 4x2 x3 −	3x3	=
L( x1 ,x2 ,x3 ) = 2 4 x1			+ 2x1 x2 +									#			+ x2 +					#		5		− 2 x2											+			#		+	3x2			− 4x2 x3 −	3x3	=
	4								2 %										2 %			5														2 %
	0																					2
							x	!	2														x		2	!
	= 2 x		+ x +				3	!			− 2 x2 + x x									+				3				+				3x2				− 4x x					− 3x2 .
	= 2 x		+ x +					#			− 2 x2 + x x									+						#		+				3x2				− 4x x					− 3x2 .
		1		2				#								2	2 3									#									2				2 3					3
							2 %															4 %								x3
									" y = x + x																+					x3				, :
									" y = x + x																+									, :
																1			1			2								2
																								2						2
																								2
	L( y ,x ,x ) = 2 y2										− 2x2					− 2x x −						x3				+ 3x2									− 4x x − 3x2									=
	L( y ,x ,x ) = 2 y2										− 2x2					− 2x x −										+ 3x2									− 4x x − 3x2									=
	1		2	3				1							2		2		3			2										2						2		3	3
																						2					7
								=			2 y			2 + x2			− 6x x −										7			x		2
								=			2 y			2 + x2			− 6x x −													x
													1			2				2	3					2					3
		) ) x2 :
L( y ,x ,x ) = 2 y2								+			− x2				−	2x	(3x			) + (3x											)2 .				− (3x					)2 −		7	x2 =
L( y ,x ,x ) = 2 y2								+			− x2				−	2x	(3x			) + (3x											)2 .				− (3x					)2 −			x2 =
	1	2		3			1				0		2			2			3									3				2						3			2			3
						= 2 y2 + ( x − 3x													)2	− 9x2 −												7		x2 .
						= 2 y2 + ( x − 3x													)2	− 9x2 −														x2 .
									1						2		3									3						2			3
" y2 = x2 − 3x3 , :																													25
							L( y ,y							,x		) =	2 y2			+ y				2		−			25				x2 .
							L( y ,y						2	,x		) =	2 y2			+ y				2		−							x2 .
									1				2		3				1					2							2				3
																															2
! y3 = x3 , -
y = x + x				+	x3	;	y	2	= x						− 3x ;			y		= x .
y = x + x				+		;	y		= x						− 3x ;			y		= x .
1	1		2	2								2				3			3			3
				2

# -

, :

157

L( y , y		, y	) = 2 y2	+ y2	−	25	x2	) :
L( y , y	2	, y	) = 2 y2	+ y2	−		x2	) :
1	2	3	1	2	2		3
					2								!
									2	0		0	!
													#
								=	0	1		0	# .
							A	=	0	1		0	# .
												25	#
									0	0	−	25	#
									0	0	−		2 %

, ,

L( y ,y ,y ) . 5

1 2 3

3.31. , " # - 3.9

+ ’ , ))

) .

& , L(x1 ,x2 ,x3 )

- :

) – +;) – )

) ,.

x12 + 4x1x2 + 4x1x3 + 4x2 x3 + 4x32

4x12 + 4x1x2 + 8x1x3 − 3x22 + 4x32

4x12 + 8x1x2 + 4x1x3 + x32

4x12 + 8x1x2 + 4x1x3 + 3x22 − 2x32

4x12 − 2x1x2 + 5x22 − 3x32

x12 + 4x1x2 + 4x2 x3 + x32

x12 + 2x1x2 + 2x1x3 − 3x22 − 6x2 x3 − 2x32

x12 + 4x1x2 + 2x1x3 + 3x22 + 2x2 x3 + x32

x12 + 4x1x3 − x22 − 2x2 x3 + 4x32

10.

x12

+ 2x1x2

+ 2x1x3

+ x32

11.

x12 + 4x1x2 + 4x1x3

+ 8x22 + 16x2 x3 + 7x32

12.

4x12 + 4x1x2 + 8x1x3

+ 5x22 + 8x2 x3 + 4x32

13.

4x12 + 8x1x2 + 4x1x3 + 8x22 + 8x2 x3 + x32

14.

4x12 + 8x1x2 + 4x1x3

+ 5x22 + 8x2 x3 + 4x32

15.

x12 + 4x1x2 + 4x1x3

+ 5x22 + 12x2 x3 + 7x32

16.

x12

+ 4x1x2

+ 4x1x3

+ 8x22 + 16x2 x3 + 7x32

17.

x12 + 2x1x2 + 2x1x3

+ 5x22 + 10x2 x3 + 4x32

18.

x12

+ 4x1x2

+ 2x1x3

+ 5x22 + 6x2 x3 + x32

19.

x12 + 4x1x2 + x22 + 2x2 x3 + 4x32

20.

x12

+ 2x1x2

+ 2x1x3

+ 2x22 + 4x2 x3 + x32

21.

x12 + 4x1x2 + 4x1x3

+ 4x2 x3 + 2x32

22.

4x12 + 4x1x2 + 4x1x3 − 3x22 + 2x32

23.

4x12 + 8x1x2 + 4x1x3 + x32

24.

4x12

+ 8x1x2

+ 4x1x3

+ 3x22 − 4x32

25.

x12

+ 4x1x2

+ 4x1x3

+ 3x22 + 4x2 x3 − x32

26.

4x12

+ 8x1x2

+ 4x1x3

+ 3x22 − 2x32

27.

x12

+ 2x1x2

+ 2x1x3

− 3x22 − 6x2 x3 − 2x32

28.

4x12

+ 8x1x2

+ 4x1x3

+ 5x22 + 8x2 x3 + 4x32

29.

x12

+ 4x1x2

+ 4x1x3

+ 4x2 x3 + 4x32

30.

4x12

+ 8x1x2

+ 4x1x3

+ x32

31.

x12

+ 4x1x2

+ x22 + 2x2 x3 + 4x32

158

" #

1. ! ?

2.! ?

3.! ?

4.1 ?

5.1 ,

6.1 ) ,?

7.! ) ,

8.% ) ,?

9.! ? " ,, -

10.! ? " -

. " ,,

11.$ . " -

. " ,,

, -

% -

159

. . -

« ». « »

! ’ , ' -

" . , # -

# , # ’ ,

# ’ . $

%, ’ «& " »

«' " "». ' (

# . % "" # # -

( ", # . .

, , - ! ’ 20 ,

'# " Maxima, - ! , ! ’ -

. )# « '# " » $

« # # #», ! -

#, $# ( , ' -'#), # # "

. Maxima ! , -

( ) ` . ) ! $ -

" . ' -

$ Maxima -

: $ , , ( !

( , , $ -

` , ` -

- ; * -

; # $ -

, -# # #,

% # Maxima $

160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1716 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.09.2019200.7 Кб3Вопросы_2008-9.doc
#
06.06.2015423.42 Кб31Вправи іст. ек.doc
#
06.06.2015774.14 Кб63ВПРАВИ МІКРО.doc
#
06.06.2015293.38 Кб10ВСТУПИТЕЛЬНАЯ ЛЕКЦИЯ №1 по ОТО_2014-2015.doc
#
16.09.2019219.14 Кб5Высшая геодезия.doc
#
06.06.20151.61 Mб24Высшая математика. Том 1.pdf
#
06.06.20152.75 Mб21Высшая математика. Том 2.pdf
#
28.03.2016942.19 Кб12Вышка.pdf
#
06.06.2015270.34 Кб3Гірничий закон України.doc
#
06.06.20151 Mб291Гелогия МПИ.doc
#
06.06.2015186.37 Кб24Генетика.doc