Высшая математика. Том 1

	2)	3 − x ≥ 0		x ≤ 3		x	< −2 (3 ').
			< 0		< −2
		x + 2		x
								( !
								3 − x + x + 2 = 5 5 = 5 . %
	$ . 1.15. 3& -							x (−∞, +∞ ), 3 '
								x < −2 $ ’ : x (−∞, −2)
	!
	3)	3 − x	< 0	x	> 3	x	≥ 3 (3 ').
			≥ 0		≥ −2
		x + 2		x
								( !
	$ . 1.16. 3&						-	x − 3 − (x + 2) = 5 −5 = 5.
								$ ’ .
	!
	4)	3 − x < 0		x > 3		(3 ').
			< 0		< −2
		x + 2		x

0 ! ,

3 ' !, ! $ . 1.17. 3& - & & !.

!

# ’ , !: x ≤ −2

2 : ; -’-

* ’ . # -

’ , ! ! 1=–2;

2=3.

$ . 1.18. $ ’ -

" & (–∞,–2] &- , ! x=–4, , !

: 3 − x = 3 − (−4) = 3 + 4 = 7 > 0 ,

& "+ " ! -

; x + 2 = −4 + 2 = −2 < 0 , & "− "

.

% , (–∞,–2] ! ’ ! &

! «+»,

«–». % &:

3 − x − (−(x + 2)) = 5 3 − x + x + 2 = 5 5 = 5 .

% x (−∞, +∞ ), 3 ' x ≤ −2 . $ ’ : x (−∞, −2].

31

!

x (−2, +3). # «+» «+». % &,

3 − x − x − 2 = 5 x = −2 . ' = –2 3 ', ’

.

!

x [+3, +∞). # «–» «+». % &: −3 + x − x − 2 = 5 − 5 = 5 . $ ’ .

" !: x (−∞, −2].5

# 4. $ ’ : x + 2 − x + 1 = 0 . 4 ' 3 ': x ≥ −2 .

' , , -

, ! !:				x + 2 = x − 1.
# : x + 2 = (x − 1)2 ,
3 x + 2 ≥ 0 , ! &-
, & x − 1 ≥ 0 x ≥ 1. % 3 ': x ≥ 1.
3 x2 − 3x − 1 = 0 .
' ’ : x = 3 ±			9 + 4 1 = 3 ±		13
		1,2	2		2
x1 = 1 (3 − 13 ), x2 =		1 (3 + 13 ).
2		2				1
3& ’ 3 ', x =							(3 + 13)
& x ≥ 1.						2
" !:	x = 12 (3 +	13 ).5
# 5.	$ ’ :		x2 − 6x + 9 −		x + 2 = −1.

4 ' 3 ': x ≥ −2 .

# , , ! -, (–1) ! :

x2 − 6x + 9 + 1 = x + 2 .

# ! &,

’ :

x1,2 = 6 ± 36 − 4 9 = 3. 2

% &, : (x − 3)2 + 1 = x + 2 . ( ! ! !:

(x − 3)2 = x − 3 .

32

, ! ! & : (x − 3)2 = x − 3 .

, & !' ! ! ! &

, ! ! & ’ . % , :

	x − 3		+ 1 =	x + 2 .
$ !:
1) x − 3 ≥ 0 x ≥ 3 (3 ').
$				"+ " :
x − 3 + 1 = x + 2 x − 2 = x + 2 .
# & : (x − 2)2 = x + 2 ,
!					x + 2 ≥ 0 &,
& x − 2 ≥ 0 x ≥ 2 . * &					3 ' .

$ ! ! -

. 3 x2 − 5x + 2 = 0 .

x =	5 +		17	, x =	5 −	17	. % ’
1		2	2			2
3 ' x ≥ 3.
2) x − 3		< 0 x < 3				(3 ').

$

x =	5 + 17	-
1	2

"− " :

3 − x + 1 = x + 2 4 − x = x + 2

# & :

(4 − x)2 = x + 2 .

!

x + 2 ≥ 0 &,

& 4 − x ≥ 0

x ≤ 4 . * &

3 ' .

$ ! ! -

. 3 x2 − 9x + 14 = 0 .

x =

9 + 25

= 7, x

=

9 −

25

= 2 . % ’ x =

9 − 25

= 2

1

2

2

2

2

2

3 ' x < 3.

# ’ .

" !:

x =

5 +

17

,

x = 2 .5

1

2

2

1

−

1

=

2

3 .

# 6.

x

y

$ ’ :

xy = 9

4 ' 3 ': x > 0, y > 0 .

33

' x =

9

&

x =

9

=

3

!

y

y

y

y

1

2 y

y − 3 − 2

y

{y − 2

y − 3 = 0}.

!:

−

=

= 0

3

y

3 y

3

$& : t = y	(t > 0) . 3
t: t2 − 2t − 3 = 0 .
3 ’ :	x = 1 ±	4	+ 3 = 1 ± 2 .
	1,2	4
t1 = −1, t2 = 3 . . , ! , t = −1 !.
% y = 3 . ' y = 9, x = 1.			" !: (1; 9) .5

1.6. ' ' -' 9 1.3

2 ! ’ , &

!.

2! :

1. a + 2 ab + b a a − b b ;
a − b	a + b + ab

3.x3 + 5x2 − 14x ;

x2 + 6x − 7

5.

(abc + 4): a + 4

b c : a

: a−1/ 2 ;

abc + 2

7. 23 x2 +

3 9x5 − 4x

;

23 x − 3 3x2

9.

x + 1

÷

1

;

x

x + x + x

x2 −

x

11.

a5 / 4 − a1/ 4

a1/ 2 + 1

+ 1;

:

a

3/ 4

1/ 2

1/ 2

1/ 4

+ a

a

+ a

13.

8x−3 + 8x−2

+ 2x−1

.

0,25x2 + x + 1

' ’ : 14. x + 1 = 2 x − 2 ;

16. x2 − 2x = x − 1 .

2.

x − y

−

x x − y

y

(

x +

y

)

;

x −

x − y

y

	a5 / 4 − a1/ 4				a1/ 2 + 1		+ 1;
4.				:
	a	3/ 4	1/ 2		1/ 2	1/ 4
			+ a		a	+ a

6.x2 + yx − 6 y2 ; x2 − yx − 2 y2

8.

m − n

+

n − m

(m + n);

m2 + mn m2 − n2

10.

x − 1

÷

x

12

+ 1

+

2

;

1

3

x

−0,5

2 + 1 x

2

− 1

x + x

12.

a + 2

−

a

+

2

a − 2

;

2a + 2

a

−

a + 2

2a

2a

15.(x − 2)2 (x + 1) = (1,5x − 3)(x2 − 4);

34

' & ’ :

17. 2(x2 + 5)−

9

= 17 .

x2

+ 5

3& & :

18.

8

7

= −2 ;

19.

8

7

= −2 ;

+

+

x2 − 8

x2 − 7

x2 − 8

x2 − 7

20.

x2 +

x

=

5 .

4

' ’ :

1

−

1

=

1

21.

5 3 ;

22.

(x − 3)(x −1)3 + (3 − x)(x − 2)3 = 7(x − 3).

x(x + 1)

(x + 0,5)2

' :

23.

14

;

24.

4

.

4 3 + 8 2

4 13 − 4 9

':

25.

2 & ’

1

−

1

=

1

;

x3 +

4

56

x3 + 5

26.

'

3x − 23 2 y

2

3x

+ 3 4 y ;

+ 3 4 y

27.

'

3x0

,

x2 +

8

0

x0

– ’

x − 4

2x − 7 = x − 2 ;

28.

2

24 − t2 8 − t2 ,

,

2

( t

! &);

29.

$ ’

2x

− 3x + 1 −

3

= 0 ;

x +

1

x − 1

x2 − 1

30.

$ ’

(x2 − 4)(x3 − 1)

> 0 ;

x2 − 2x − 3

x2 + 6x + 5 ≥ 0

31.

$ ’ x2 − 25 ≤ 0

2x

+ 11 > 0.

35

1.7." %#$

" %# – , ! -

, & & . : – , -

! !: ab = c, a = b c b = logac. " &-

! ,

, ! ! & , -, .

$ ’ ; ! -

:

(logax=b) (ab =x), > 0, a ≠ 0;

loga xk = k loga x , x >0;

alogax =x;

log a=1;

log 1=0;

log

m b =

1

log

a

b = log

m b ;

a

a

a

m

a

1

log

a

b =

;

log

a

m b = log

a

m b ;

log b a

x

loga x

loga xy = loga x + loga y ;

loga

= loga x − loga y ;

logb x =

.

y

logab

’ logaf(x)>(<)logaϕ(x)

& !:

3 ': f(x) >0; ϕ(x)>0;

f(x) ≠ 1;

logf(x)ϕ(x) = a.

7 a>1, : f(x)>ϕ(x); 0<a<1, : f(x)<ϕ(x).

'

# 1. $ ’ : 0,4

log22

x+1

< 6,25

2−log2

x3

.

4 (,

0, 4 =

2

5

2

2

−2

5

6, 25 =

2

=

5

, & -

:

	2	log22 x+1		2	−4+2 log2 x3
	5		<	5		.

3 ! 0 < 52 <1, ! ! ,

! !, : log22 x + 1 > 2log2 x3 − 4 . / log2 x ! x > 0 , ,

loga xk = k loga x , : 2log2 x3 = 6log2 x .

# ! . 3 -

: log22 x − 6log2 x + 5 > 0 .

36

$& y = log2 x , ! :

y2 − 6 y + 5 > 0	y = 3 ± 9 − 5 = 3 ± 2 .
	1,2
	8
	:
	y < 1	y > 5 .
	% ,			,
	3 ', -
$ . 1.19. $ ’	! :
	log2	x < 1
		x > 5	.
	log2

3 & , :	0 < x < 2		.
		x > 25
" !: (0;2) (32;+∞).5
# 2. ' & :	y =	1− log8 (x2 − 4x + 3).
4 3 ,

– ’ ,

’ :

	x	2	− 4x + 3 > 0,
					.
	− log8 (x2			− 4x + 3) ≥ 0
1

:	!
x1,2 = 2 ± 4	− 3 = 2 ± 1, 1 log8 8:
		( x − 3)( x − 1) > 0,
	log8	(x2 − 4x + 3) ≤ log8 8.

3 8 > 1, , ! -

, ! :

( x − 3)( x − 1) > 0,		( x − 3)( x − 1) > 0,
	x2 − 4x + 3 ≤ 8.	&	x2 − 4x − 5 ≤ 0.

: :

	x3,4 = 2 ±		( x − 3)( x − 1) > 0,
		4 + 5 = 2 ± 3 ( x − 5)( x + 1) ≤ 0.
			3 -
			: ( x − 3)( x − 1)( x − 5)( x + 1) ≤ 0 ,
			(! x ≠ 3 x ≠ 1).
			8 :
	$ . 1.20. $ ' -		[−1;1) (3;5].
			" !: [−1;1) (3;5].5

37

# 3. $ ’ :

log627

2,5 −

x

− log96

3

x

+ 0,6 ≤ 0 .

6

25

4 ' 3 ':

−

x

> 0

2,5

15 − x > 0

x < 15

6

x

x + 15

> 0

x > −15

+ 0,6 > 0

25

1

' log

m b =

loga b = loga m b ;

loga m b = log

m b .

a

m

a

8 :

log27 2 2,5 −

x

= log 3 2

2,5 −

x

= log 6

2,5 −

x

;

6

6

6

3

3

log9 3

x

+ 0,6 = log 2

3

x

+ 0,6 = log 6

x

+ 0,6

.

25

3

25

3

25

% ! ! :

log66		2,5 −	x		≤ log66		x	+ 0,6	,
							25
3		6			3

( ! ! !) :

log 6		2,5 −	x		≤	log 6		x	+ 0,6	.
								25
3		6				3

3 , , &'

.

# , , 36 > 1.

log

2,5 −

x

≥ 0

2,5 −

x

≥ 1

6

3

6

6

x

x

+ 0,6 ≥ 1

1)

log 6

+ 0,6

≥ 0

25

3

25

x

x

−

x

≤

x

+ 0,6

log 6

2,5 −

≤ log

+ 0,6

2,5

6

6

25

6

25

3

3

15 − x ≥ 6

x ≤ 9

x + 15 ≥ 25

x ≥ 10

.

− 25x ≤ 6x + 90

375

x ≥ 285 31 ≈ 9,2

* ! , -3 ' ! & & !.

$ . 1.21. 3& -

! !

38

x

x

log 6

2,5 −

< 0

2,5 −

< 1

6

3

6

x

x

+ 0,6 < 1

2)

log

+ 0,6

< 0

25

36

25

x

x

x

x

− log

2,5 −

≤ − log

+

0,6

2,5 −

≥

+ 0,6

6

25

6

25

36

36

15 − x < 6

x > 9

x + 15 < 25

x < 10 .

285

≈ 9,2 .

31

− 25x ≥ 6x + 90

375

x ≤ 285 31

$ ’

&

x (9;

285

.

$ . 1.22. 3& -

31

!

x

x

log 6

2,5 −

< 0

2,5 −

< 1

6

3

6

x

x

+ 0,6 ≥ 1

3)

log

+ 0,6 ≥ 0

25

25

36

x

x

x

x

− log

2,5 −

≤ log

+ 0,6

2,5

−

+ 0,6

≥ 1

6

25

6

25

36

36

15 − x < 6

x > 9

x > 9

x + 15 ≥ 25

x ≥ 10

x ≥ 10

.

3

x

2

0,6x

2

− 75 ≤

0

(x − 5

3 )(x + 5

3 ) ≤ 0

2,5x

+

−

−

−

1 ≥

0

x

25

2

150

6

	$ . 1.23. 3& -	5 3 ≈ 8,67 .
		$ ’ .
	!

39

x

x

log36 2,5

−

≥

0

2,5 −

≥ 1

6

x

x

6

4)

log 6

+ 0,6

< 0

+ 0,6 < 1

25

3

25

x

x

x

x

log 6

2,5 −

≤ − log

6

+ 0,6

2,5 −

+ 0,6

≤ 1

6

3

3

25

25

6

15 − x ≥ 6

x ≤ 9

x ≤ 9

x + 15 < 25

x < 10

x < 10

.

2,5x

3

x

2

0,6x

2

− 75 ≥ 0

+

−

−

− 1 ≤

0

x

(x

− 5

3 )(x + 5

3 ) ≥ 0

25

2

150

6

					$ ’			&
					x (−∞; − 5 3		5 3; 9 .
$ . 1.24. 3& -
!
	# ’ , 3 ',						!:
x	−15;−5 3	5	3;285		.5
			31

# 4. $ ’ log2− x ( x + 2) logx+3 (3 − x) ≤ 0 . 4 3 ’ ! & :

(loga u ( x) − loga v( x)) p( x) ≤ 0

(u ( x)

− v( x)) p( x) ≤ 0

u ( x) > 0 . v( x) > 0

– ! > 1;

– ! ! !-

& ;

– ! &-

( ), , & ! !-

!, & ! ,

, ! ! . log2− x ( x + 2) logx+3 (3 − x) ≤ 0

# a = 2 .

log2

( x + 2)

log2

(3 − x)

≤ 0

log2

( x + 2) − log2 1

log2

(3 − x) − log2 1

≤ 0

log2

(2 − x)

log2

( x + 3)

log2

(2 − x) − log2 1

log2

( x + 3) − log2 1

40