Высшая математика. Том 1

, $ 2.1. + -, $ 5 3 .

. 2.1

&

	)		&			2 ,
						3		4		5
			5/ (1			1000		2000			1000
			5/ (2			2000		1000			500
			5/ (1			1500		2000			1000
			5/ (2			1800		1500			800
			5/ (1			1500		2000			1000
			5/ (2			1800		1500			800
,		6											:
A = (1000		2000	1000). 2 -
2000		1000	500
,
1500		2000	1000									$ -
B = (1800		1500	800 ). 2 ,

5 3 A+2B. 1’ Maxima. 6-

A B, .

! -

5 matrix, ,

.

! :

«*» – , «.» – , «+» – -

, «–» – .

1. 2.1. 7 Maxima

51

. , 3 :

–3 5/ (1 – 4000 ., 5/ (2 – 5600 .

–4 5/ (1 – 6000 ., 5/ (2 – 4000 .

–5 5/ (1 – 3000 ., 5/ (2 – 2100 .

+, $ 3 -

5 (1,2, :

–3 – 9600 .

–4 – 10000 .

–5 – 5100 ./

& ' . -

. " A B -

C=AB, . 2.2:

×

b1 j

+

b2 j

+

×

.

ai1ai2 ain

cij

+

.

=

×

.

bnj

1. 2.2. )

5:

(i =

1, p.)

cij = ai1 b1 j + ai2 b2 j + ... + ain bnj,

j =

1, m;

a11

a12

b11

b12

b13

a11b11

+ a12b21

a11b12

+ a12b22

a11b13

+ a12b23

a

a

b b

b

= a b

+ a b

a b

+ a b

a b

+ a b

.

21

22

21

22

23

21 11

22 21

21

12

22 22

21 13

22 23

. , $ , , - ( -

C) , $ 1- 3- c13,

1- 1- , 2- – 3- ,

. 8

- -

.

1 - . &-

, ! ! " " ( ) * + !

! " $* (

).

" , $ A = (aij) m×n

B = (bij) n×p, C m×p, -

: cij

i- A j- -

52

B .

8 , $ -

,

. +, -, . -

" ' ". :

An = A A A

n

8 - -

, -, ( ).

!, (a1 a2	b1		= (a1b1	+ a2b2	+ a3b3 ) .
	a3 ) b2
	b
	3

& 1. + c12, c23 c21 C, $ :

			1 2 3							2 0 −2
		A = 0		−1 1 , B = 3							−1 0 , C = AB .
			2 1				−2			1 1 1
,c12 = 0 − 2 + 3 = 1, c23 = 0 + 0 + 1 = 1, c21 = 0 − 3 + 1 = −2./
& 2. + :
		1	2	= (		2	+	2	4	+ 1	)=	(4 5)./
,(2 1 0) 2 1
3 1 1		2 2			3	+	2	+ 2 6	+	1 + 2		7 9
& 3. + :
			2	3						−3 − 2 − 2) = (−2 −7) ./
,(−1 −2 1) 1 1 = (−2 − 2 + 2
			2	−2
& 4.		+ :
,( 1	−2) (1		2)	– ’ , $
−1	−3
, – . /
& 5. +				, $ A = (−31								−21), B = (13 11):
, AB = (0 2), BA = (2 1 )./
	5	1		8		−1

53

& 6. + , $ A = ( 1	−2), B = (1).
−1	−3	2
, AB = (−3), B·A – . /
−7

& 5. & -

,

, 2.2. 9 -

, .

				. 2.2
9
1	&.1	&.2	&.3	&.4
&, ./	10	10	12	14
6, .	78	56	44	14
7, . .	42	80	10	53

2 , , .

25

16

45

18

, 6

	10	10	12	14
( 1, 2, 3, 4: A = 78		56	44	14	.
	42	80	10	53

25

) : B = 1645 .

18

1

A·B.

1’ Maxima. !

«.», .

1. 2.3. 7 Maxima

54

. , : – 1202 ./ , -

– 5078 ., 5 – 3734 . ./

& 2. 2 -

: (1 – , (2 – (3 – . & -

5 , 5 , -

. 1 1 , -

1 . 2.3. +-

.

. 2.3 1, 1 .

, $

	2						1 . , .				& -
											, .
		5.	5.			.				.
	(1	0,3		0,1			0,4			0,2	5400
	(2	0,2		0,2			0,5			0,1	1200
	(3	0,1		0,3			0,3			0,3	9800
			9 , ./ .
		420		430			100			50
	, :
				0,3	0,1	0,4	0,2
			A = 0,2		0,2	0,5	0,1 .
				0,1	0,3	0,3	0,3

5400

& B = 1200 .

9800

9 :

C = (420 430 100 50).

! A

B. . - , A,

AT·B. & S=AT·B.

1’ Maxima. !

AT ( ) -

5 transpose, -

«.», .

! $ '

kill(all). ! , $ $

«$».

- , – 2840 . 5 , 3720 . 5-

, 5700 . 4140 . . + C S.

55

1. 2.4. 7 Maxima

- , 3569,4 . . /

. , , $ , -, , A· B : B· A. .

. 2 · = · ,

, $ .

) , $

, (AB)C=A(BC) (A+B)C=AC+BC.

4 , $ A -

E A,

AE=EA=A.

) 5. 0 , 2- -

0, 2-

.		11) (−11 −11)= (00	00).
, $ A = (11	11), B = (−11 −11), A B = (11
	56

2.4. "$ " , 2.1

6 ’ ,

. 9

1.			2	3		− 1		− 1 0		5
	2(A+B)(2B–A), A = 4			5		2 , B =		0	1	3 .
			− 1 0			7		2	− 2 4
2.	3A–(A+B)B,	4	5	− 2			2	1	− 1
		A = 3	− 1		0	,	B = 0	1	3	.
		4	2		7		5	7	3

3.	2(A–B)(A2+B),		5	1	7	2	4	1
		A = − 10		− 2	1 ,	B = 3	1	0 .
			0	1	2	7	2	1

4.	(A2–B2)(A+B),	7		2		0	0	2			3
		A = − 7	− 2			1 ,	B = 1	0			− 2 .
		1		1		1	3	1			1
5.	(A–B2)(2A+B),	5	2		0		3	6		− 1
		A = 10	4		1 ,		B = − 1	− 2			0 .
		7	3		2		2	1			3
6.		5 − 1 3					3 7				− 2
	(A–B)A+2B, A = 0		2		−	1 ,	B = 1	1			− 2 .
		− 2	− 1 0				0 1		3
7.	2(A–0,5B)+AB,	5 3			− 1		2			4 16
		A = 2	0		4 ,		B = − 4		−		2	0 .
		3 5			−	1	6			8		2

8.	(A–B)A+3B,	3 2		− 5		− 1 2 4
		A = 4	2	0 ,	B = 0		3		2 .
		1 1		2		− 1 −		3 4
9.	2A–(A2+B)B,	1 4 2				4 6 − 2
		A = 2	1	− 2 ,	B = 4		10		1 .
		0 1		− 1		2 4			− 5
10.	3(A2–B2)–2AB#, A =		4	2	1		2		0	2
			3	− 2	0 ,	B = 5			− 7	−	2 .
			0	− 1 2			1 0			−	1
11.				1	0	3	B =		7		5	2
	(2A–B)(3A+B)–2AB, A = − 2				0	1 ,			0		1	2 .
				− 1 3 1					− 3	− 1		− 1
				2	3	1		2		7		13
12.	A(A–B2)–2(BT+A)B, A = − 1				2	4 ,	B =	− 1		0		5 .
				5	3	0		5		13		21

57

13.	(A+B)A–B(2A+3B),		1 − 2 3				B =	4 11 3
			A = 2	3	5 ,			1		6	1 .
			1 4		− 1			2		2	16
14.	A(2A–B)–B(A–B),		2	3	1		9	8		7
		A = 4		− 1	0 ,	B = 2		7		3 .
			0	1	2		4	3		5
15.	3(A+B)(ABT–2A),		2	1	3		1		2		3
		A = 1		− 2	0 ,	B = − 3			0		1 .
			4	− 3 0			2 1				2

16.	2AB–(A+B)(A–B),	4	− 2	0	0	− 2	4
		A = 1	1	2 ,	B = 1	2	3 .
		3	− 2	0	3	4	− 5

17.	2A+3B(AB–2A),		1 − 1 0							B =			5	3 1
			A = 2			0		− 1 ,				− 1		2	0 .
			7 3 2									− 3 0 0
18.	(A–B)(A+B)–2ATB, A =					3 2 − 4								0		1 − 2
					− 1			0	2 ,			B = − 1				1	2 .
					− 2 1				−	1			3		− 1 0
19.	2A–AB(B–A)+B,		3 2 − 1							B =		0		3 − 1
			A = 0		−		1	2 ,					2	− 1		2 .
			5 7 1									− 3 1 4
					4		5 6					0 − 1				1
20.	A2–(A+B)(A–3B), A =			− 1			0	3 ,			B = 1			0		−	2 .
				− 1 2 − 1								3 1					2
21.	B(A+2B)–3AB,		7 − 3 0								− 4 2 1
		A = 1			− 1		0 ,		B = 1				0	1 .
			2		0		3				3		2	1
22.	3(A+B)–(A–B)A,		1			2		3		B	4			2	1
			A = 0		−		2	3 ,			= −		1	2	0 .
			1 1 1								2 3				− 1
23.				1 − 2				− 2					0 3 5
	A(A–B)+2B(A+B), A = 1						1	−	2 ,		B = 4			1		0 .
				1			− 1	−	1				1 1 2
24.			1 − 1 2						B =		− 1 0 2
	(2A+B)B–3B, A = 3			0		− 2 ,					2		1	1 .
			2	− 1 1							−	2 0 1
25.	AB–2(AT+B)A,		2 1 − 1								2 − 1 0
		A = 1			0		1 ,		B = 0				2	1 .
			3 1				− 2				1 3			−	1
26.	(A+2B)(3A–B),		1 2				3			B	2 3 − 1
		A = 4			−	2	1 ,				= −		2	0	−	1 .
			0 1				− 1				1 0 1

58

27.	2ATB–A(BT–A),		1 2 − 1				B	1 2 − 1
		A = 2		3	0 ,			= 2	− 1 0 .
			0 2		− 1			1 2		1
28.	3(A+B)(2B–A),	A =	1	2	3			1 0 2
			− 1	0	2 ,		B = 2		3	1 .
				2				3	1	0
			1		1
29.	2A(A+B)–3AB,	A =	2 3 4				B	2 0 − 2
			1	− 2	0 ,			= 1	1	0 .
			0 1 2					1	− 1 1
30.				2 5 − 1					1 − 2 0
	3AB+(A–B)(A+2B), A = 0				2		1 ,	B = 1		0	2 .
				1	0		1		0	0	3
31.				1 2 3					2 − 2 4
	2(A–B)+(A+B)A, A = − 2				0	5 ,		B = 0		5	−	3 .
			1 2			−	1		1 1		−	1

2.5. ". & ) ! " "

9 $ . ! -

: A , det A , det (aij), ∆.

									A =	a11		a12			-
											a	a
											21			22
, $						a a − a a								a11	a12		.
						11	22 12 21							a	a
.		a11	a12		= a a − a a .									21	22
		a	a		11 22	12	21
		21	22

- , $ -

.

- :

,		2	5		= −8 − 15 = −23 ;		0	−3		= 0 + 6 = 6 ./
		3	−4				2	1

a11a12 a13

= a21a22 a23 :

a31 a32 a33

a11a12 a13 a21a22 a23 =

a31 a32 a33

a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a13 a32 − a13 a31a22 − a12 a21 a33 − a32 a23 a11 .

59

% * $ -

, , 6 ( ) -

( ). & – . '

' , « », « »,

6, $ :

! , $ « »

•• •

•• •

•• •

a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 .

1. 2.5. & 6 « »

! , $ « »

•• •

•• •

•• •

−a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 .

1. 2.6. & 6 « »

.

( ):

+						−
	a11	a12	a13		a11	a12
	a21	a22	a23		a21	a22
	a31	a32	a33		a31	a32

1. 2.7. &

- : 2 3 4

, 5 −2 1 = (2 (−2) 3 + 3 1 1 + 4 5 2) − (4 (−2) 1 + 3 5 3 + 2 1 2) =

1 2 3 = (−12 + 3 + 40) − (−8 + 45 + 4) = 31 − 41 = −10 .

60