1. Питання для повторення.

1. Математичне поняття, його означення [1; 6; 7].

2. Термін і символ математичного поняття [7; 8].

3. Зміст та обсяг поняття, залежність між ними [1; 7].

4. Істотні ознаки поняття [6; 7; 8].

5. Еквівалентні (тотожні) означення [6; 7; 8]?

6. Первісні поняття [4, 6; 7; 8].

7. Види означень [7; 8].

8. Вимоги до означень [2; 7].

2. Складаємо опорний конспект

Заповніть пропуски, користуючись лекційним матеріалом та рекомендованою літературою

Поняття – це …

Символ – це …

Термін – це …

Залежність між змістом та обсягом поняття наступна:

Означення поняття – це …

Означити поняття – означає …

Істотні ознаки – це …

Два означення називають еквівалентними, якщо …

Первісні поняття це …

Існують наступні види означень:

До означень висувають наступні вимоги:

Контрприклад – це …

2. Тест для самоперевірки

Виберіть правильну відповідь

1. За допомогою чого розкривається зміст поняття?

• означення поняття;

• об'єму поняття;

• властивостей поняття;

• терміну поняття.

2. Що розуміється під обсягом поняття?

• це число рівне відношенню двох інших чисел;

• безліч об'єктів, що позначаються одним терміном;

• число, що володіє певною властивістю;

• геометрична фігура, що володіє певним набором властивостей.

3. У якому відношенні знаходяться зміст та обсяг поняття?

• чим менше зміст тим менше обсяг;

• чим більше зміст тим менше обсяг;

• чим більше зміст тим більше обсяг;

• такого відношення не існує.

4. Серед наведених понять оберіть ті, які не є первісними.

• паралельні прямі;

• пряма;

• точка;

• множина;

□ натуральне число.

5. Якщо означення конструюється через зазначення найближчого роду та видової відмінності, то це ...

• родо-видове означення;

• дескриптивне (описове) означення;

• рекурентне означення;

• конструктивне (генетичне) означення.

6. Якщо означення конструюється шляхом переліку характерних властивостей поняття, то це

• родо-видове означення;

• дескриптивне (описове) означення;

• рекурентне означення;

• конструктивне (генетичне) означення.

7. Якщо в означенні вказується спосіб побудови об'єктів, які належать даному поняттю, то це

• родо-видове означення;

• дескриптивне (описове) означення;

• рекурентне означення;

• конструктивне (генетичне) означення.

8. Якщо в означенні вказується спосіб (формулу) за допомогою якого можна відшукати всі об’єкти, що належать обсягу цього поняття, то це

• родо-видове означення;

• дескриптивне (описове) означення;

• рекурентне означення;

• конструктивне (генетичне) означення..

• БЛОК ІІ. Приклади розв'язування методичних задач

• БАЗОВІ ЗАДАЧІ

• Задача 1. Виділіть термін, обсяг та зміст поняття «паралелограм».

• Зразок відповіді. Термін - паралелограм. У обсяг поняття входять усі види па­ралелограмів, змістом є ознаки: «чотирикутник» і «попарна паралельність сторін». Якщо до наявних ознак додамо нову: «рівність усіх кутів», тоді обсяг поняття змен­шиться: тепер у нього входять усі прямокутники, тобто частина всіх паралелограмів.

• Задача 2. Укажіть істотні ознаки поняття «непарна функція».

• Зразок відповіді. Дане поняття має дві істотні ознаки: 1) область визначення симетрична відносно початку координат; 2) f(-х) = -f(х) .

• Задача 3. Представте означення поняття «квадрат» у вигляді ланцюжка родових понять, причому для кожного наступного означення родова ознака повинна вказувати найближчий рід, не перескакуючи через нього.

• Зразок відповіді.

• О₁: квадрат – ромб з прямим кутом;

• О₂: ромб – паралелограм з рівними суміжними сторонами;

• О3:паралелограм – чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні;

• О₄: чотирикутник – многокутник з чотирма сторонами;

• О₅: многокутник – фігура, обмежена замкнутою ламаною лінією;

• О₆: фігура – множина точок.

• Процес формально-логічного визначення, як видно з наведеного вище при­кладу, є процес зведення одного поняття до іншого, з більш широким обсягом, другого - до третього, з ще ширшим обсягом і т.д. Процес визначення не може бути нескінченим. Мають бути деякі початкові, первісні поняття, які не визнача­ються через інші поняття даної теорії, так як їм не передують ніякі інші поняття цієї теорії. У нашому випадку побудована послідовність доходить до понять «множина» і «точка», які беруться за первісні поняття, і саме тому не ви­значаються через інші поняття.

• Задача 4. Запропонуйте означення понять наступних видів:

• а) означень через рід та видову ознаку (родо-видових);

• б) конструктивних (генетичних) означень;

• в) рекурентних означень ;

• г) означень через абстракцію;

• д) аксіоматичних означень

• Зразок відповіді.

• а) Приклади означень через рід та видову ознаку

• Родо-видові означення мають таку структуру:

• 1) термін => 2) родове поняття => 3) видові відмінності.

• «Коло, описане навколо трикутника - це коло, яке проходить через усі вершини трикутника». Термін – коло, описане навколо трикутника. Родове поняття–- коло. Видові відмінності – усі вершини трикутника лежать на колі.

• б) Приклади конструктивних (генетичних) означень

• Конструктивні означення мають наступну структуру: 1) побудова => 2) термін.

1. При обертанні прямокутника навколо осі, що містить одну з його сторін отримується фігура, яка називається прямим круговим циліндром.

2. Якщо з довільної точки М ребра АВ (двогранного кута) проведемо на кожній грані по перпендикуляру до ребра, то утворений кут називається лінійним кутом двогранного кута.

3. «Візьмемо площину і точку поза нею. Візьмемо відрізок SX, що сполучає точку S з точкою многокутника на площині. З'єднаємо відрізками точку S з точками многокут­ника на площині. Тіло, утворене всіма відрізками виду SX називається пірамідою».

• в) Приклади рекурентних означень

• Часто означення задаються не словесним формулюванням, а рівністю. Наприклад, рівність є означення числа e. Такому означенню можна дати звичайну словесну форму, наприклад: «Числом e називається границя виразу , коли натуральне число п зростає безмежно».

• г) Приклади означень через абстракцію

• Означення через абстракцію використовують у тих випадках, коли означення за до­помогою роду і видової відмінності важко або неможливо представити. Це відноситься переважно до означення найширших родових понять, наприклад, таких як «величина», «геометричне тіло», «поверхня», «конгруентність» тощо.

• «Величиною називається все те, що володіє встановленою сукупністю властивостей».

• Ввести поняття про геометричне тіло через абстракцію можна було б таким чином. Розглянувши з учнями різні предмети (шафу, кузов вантаженого автомобіля, сірникову коробку, м'яч, глобус, більярдну кулю) і вказавши на їх різні фізичні, хімічні та інші властивості, відзначити, що спільною властивістю для всіх предметів є форма (відповідно паралелепіпед і куля). Маючи перед собою інші предмети, створити в учнів поняття про форму взагалі: звернути увагу на те, що реальні предмети можуть мати різні розміри, займати різне положення у просторі. І лише після цього учням повідомляється, що реальні предмети, які розглядаються лише з точки зору їх форми, розмірів і їх положення, можна називати геометричними тілами.

• Від учнів не слід вимагати механічного заучування означень через абстракцію. У 6 класі недоречно навіть ставити перед учнями питання: «Що називається геометричною фігурою?». Розуміння структури означень через абстракцію можна вимагати від учнів 8-9 класів [6].

• д) Приклади аксіоматичних означень

• В алгебрі через систему аксіом визначаються такі широкі поняття, як імовірність, група, кільце, поле, тіло, структура та ін.

• Наведемо приклад аксіоматичного означення натурального числа за допомогою аксіоматики Пеано.

• «Нехай N – множина, в якій один з елементів називають одиницею, позначають І, всі елементи множини називають натуральними числами і визначено відношен­ня «слідувати за», які задовольняють наступним аксіомам:

• А₁. Одиниця не слідує ні за яким натуральним числом.

• А₂. Для довільного натурального числа a існує одне і тільки одне натуральне число a , яке слідує за ним;

• А₃. Кожне натуральне число, крім одиниці, слідує лише за одним натуральним числом.

• А4. (аксіома індукції). Довільна підмножина множини N, яка містить число 1 і разом з кожним елементом наступний за ним співпадає з N.

• Позначимо елемент, який слідує за 1, через 2, слідує за 2 через 3 і т.д. Отримаємо натуральний ряд N = {1,2,3,...п,...} ».

• Усвідомлення учнями аксіоматичних означень можливе лише у старших класах, коли вони матимуть певне уявлення про дедуктивну побудову курсу математики.

• Задача 5. До якого типу означень відноситься означення медіани трикутника.

• Зразок відповіді. Відповідь залежить від того, як сформульоване означення медіани трикутника.

• 1. «Медіана - це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою сторони, що лежить навпроти».

• Сформульоване у такий спосіб означення, має структуру:

1. термін => 2) родове поняття => 3) видові відмінності.

• У цьому випадку це означення через рід та видову ознаку.

• 2. «Якщо у трикутника вершину з'єднати із серединою сторони, що лежить навпроти, то отриманий відрізок назвемо медіаною».

• Означення, сформульоване у другий спосіб, має структуру:

1. побудова => 2) термін.